Essays in empirical finance and monetary policy

Tilburg University Essays in empirical finance and monetary policy van Holle, Frederiek Publication date: 2017 Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Link to publication in Tilburg University Research Portal Citation for published version (APA): van Holle, F. (2017). Essays in empirical finance and monetary policy. CentER, Center for Economic Research. 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Jun. 2022 Essays on Empirical Finance and Monetary Policy Van Holle, Frederiek Document version: Publisher's PDF, also known as Version of record Publication date: 2017 Link to publication Citation for published version (APA): Van Holle, F. (2017). Essays on Empirical Finance and Monetary Policy Tilburg: CentER, Center for Economic Research General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognize and abide by the legal requirements associated with these rights. - Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research - You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain - You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal Take down policy If you believe that this document breaches copyright, please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 10. Nov. 2017 Essays on Empirical Finance and Monetary Policy Frederiek Van Holle Essays on Empirical Finance and Monetary Policy Proefschrift Proefschrift ter verkrijging van de graad van doctor aan Tilburg University op gezag van de rector magnificus, prof. dr. E.H.L. Aarts, in het openbaar te verdedigen ten overstaan van een door het college voor promoties aangewezen commissie in de Ruth First zaal van de Universiteit op dinsdag 19 december 2017 om 16.00 uur door Frederiek Germain Magdalena Van Holle geboren te Gent, België Promotor: prof. dr. J.J.A.G. Driessen Copromotor: dr. L.T.M. Baele Promotiecommissie: Prof. dr. F. A. de Roon Dr. P. C. de Goeij Dr. L. Swinkels Dr. K. Inghelbrecht To Lowiek and Yeleni To my parents, Paul and Lieve To my wife, Ellen Acknowledgements This Ph.D. dissertation is the result of a challenging and enriching journey at Tilburg University. As with every great achievement, this success depends on many factors: planning, a bit of luck, personal features, operational and emotional support from friends, family, colleagues and academics. Every single contribution from each person culminates in this very moment. Therefore, since it is a joint effort, I would like to thank some key players. First, many thanks to my promotors Lieven Baele and Joost Driessen. Lieven showed exceptional commitment as an expert, but also as a coach. You were there when I needed you and you stimulated me to get out of my comfort zone. Your contribution to this dissertation cannot be overestimated. I will surely remember our Skype chats, our discussions during lunch and your flexibility. I would also like to thank Joost. You impressed me as a very fast and critical thinker. Your questions and remarks were always spot-on and forced me to think harder and translate technical results into intuitive conclusions. Many thanks as well to the remaining members of my dissertation committee: Frans de Roon, Peter de Goeij, Laurens Swinkels and Koen Inghelbrecht for their careful reading, thoughtful comments and practical suggestions to improve my papers. The quality of my final versions improved substantially thanks to your suggestions. Koen, thank you for your helpful comment when I was struggling with the translation of my GMM formula into coding. You pointed me to a small coding error that kept me awake for many nights. Obtaining a Ph.D. as a practitioner with a full-time job is challenging. After two years at Petercam, during our annual evaluation meeting, my responsible at that time, Johnny Debuysscher, asked me whether I was interested in obtaining a Ph.D. Of course, I was interested, but I couldn’t imagine how this was practically feasible. However, with the joint effort of Hugo Lasat and Johnny we worked out a way with the necessary flexibility and financing to start this enriching project. After the merger with Bank Degroof, my new co-responsible, Jan Longeval who also acknowledges the value of academic research, immediately expressed his support for my project as well. Without the backing of Bank Degroof Petercam this journey wouldn’t even have started. It is clear to me that our company’s values are not just words on paper. A stimulating professional environment and investment in personal development via a long-term partnership and trust, leads to a solid relationship between the management and its employees, thereby stimulating intrapreneurship in a humane manner. Carl, Sam and Joeri, thank you for you involvement and silly jokes. The deepest gratitude goes to my family for their never-ending support. My parents were always present to listen to my excited calls when my estimations revealed interesting insights, but also to give support when my energy level was low. My two charming kids, Lowiek and Yeleni, who were 6 and 4 years old when I started my PhD, had to miss their daddy at many events. Nevertheless, they always supported me, made nice drawings to put on my desk and brought fresh tea when I was working. Finally, my Ph.D. would have been impossible without the support of my wife, Ellen. With two little kids, Ellen managed to run the family on her own, thereby breaking the wind for me. You had to cope with my restless nights, my weird and nerdy behavior when I was programming and with my physical and/or mental absence at many occasions. Frederiek Van Holle 19 December 2017 Contents Introduction ........................................................................................................................... i Chapter 1:Stock-Bond Correlations, Macroeconomic regimes and Monetary Policy ............ 1 Chapter 2: The Time-Varying Risk Profile of Currency Carry Strategies............................... 78 Chapter 3: Monetary Policy Transmission and the Impact on Financial Markets, Inflation and the Real Economy .......................................................................... 178 Introduction This dissertation is a combination of three papers. The first empirical paper, co-authored with Lieven Baelen, relates correlations between equity returns and bond returns to regimes in inflation, output and monetary policy. These correlations show quite some variation over time. Before 1999, the correlation between stock and government bond returns was typically positive. Since the end of the 90’s, stock-bond correlations turned negative for a large set of developed market countries. Understanding the drivers behind this change is important for balanced portfolio managers. Changes in correlations between investment portfolio components have an impact on the risk profile of the portfolio. We link the evolution of stock-bond correlations for an international sample to both local and global regimes in inflation, the output gap and monetary policy. We find that negative stock-bond correlations only occur during regimes of low to medium inflation, combined with an accommodating monetary policy. The relationship becomes stronger for global regimes. From the moment monetary policy turns restrictive, stock-bond correlations become significantly positive. This observation is highly relevant in the current environment of potential policy normalization of central banks after a decade of unseen stimulus. Policy normalization could push stock-bond correlations back into positive territory resulting in a higher volatility of balanced investment portfolios. The second empirical paper studies the dynamic risk profile of currency carry strategies. Investors who buy high yielding currencies and finance this by selling low yielding currencies earn a significant premium of about 4%-5% per year (from a U.S. perspective). This is at odds with theory that states that the gain via the interest rate differential should be fully offset by an equivalent loss on the currency exposure. Recent research indicates that these kind of strategies, are exposed to a mix of country specific currency risk, a higher probability of extreme negative returns, downside stock market risk, global currency volatility risk, liquidity risk and commodity price risk. This paper contributes to a better understanding of the time-varying risk exposure of the currency carry strategy applied on the G10 currencies. Risk exposure changes significantly over time and therefore, a dynamic model is needed. Over a longer period, the dollar factor, the global currency volatility factor and the global skewness factor are highly relevant. I apply Bayesian model averaging techniques to determine the most probable model over time and I show that dynamic forecasts substantially improve the return-risk trade-off of a conditional carry strategy by limiting the impact of the typical large negative corrections in the currency carry strategy. I also study some practical issues when implementing carry strategies. Transaction costs can be quite important for non-institutional investors. Unless trades can be done at low costs, a quarterly rather than monthly rebalancing seems to maximize the excess return. Finally, the G10 carry excess return is driven by only a few currencies (AUD, NZD, CAD and SEK) that are present in the long leg of the trade. The final paper is a literature study on monetary policy transmission for both conventional and unconventional policy measures. The transmission through households, firms and banks to the real economy is still an active area of research. I identify the different channels and document that many characteristics like size, capital structure, funding structure, market power, financial integration, regulation, … dynamically interact and influence the transmission of monetary policy. The recent unfolding of unconventional policy measures like QE and forward guidance further complicates the picture. On the one hand are the effects on the real economy difficult to assess and, on the other hand, potential limits to these policies are also important. A lot will depend on the credibility of the central bank to succeed. Finally, the transmission is asymmetrical, i.e. restrictive monetary policy has a larger negative effect on financial markets compared to comparable stimulus. I identify several factors like capital constraints, impact on bank profitability, higher risk taking when rates are low, leverage and the relationship between housing price changes and consumption to explain this asymmetry. Policy normalization should be handled with care and will take many years. Moving too fast will result in large financial market movements and could push the economy rapidly into a recession. When a new recession hits the economy at a time when central bank balance sheets are still large, policy credibility will be an issue. Moving too slow will result in inflationary pressure and more aggressive policy action in the future. Given the complexity of the transmission channels and the asymmetrical effects, this calibration is a challenging task. Finally, a study of the literature revealed that in terms of modeling a lot of progress is needed to be able to simulate and assess the impact and effectiveness of monetary policy on the real economy and inflation. The still low inflation after trillions of stimulus indicate that we (the models) do not yet fully understand (capture) the transmission. Upgrading the standard models with financial frictions and asymmetrical effects should be an active field for future research. -i- ❙t♦❝❦✲❇♦♥❞ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥s✱ ▼❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❘❡❣✐♠❡s ❛♥❞ ▼♦♥❡t❛r② P♦❧✐❝②✯ ❆♥ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ P❡rs♣❡❝t✐✈❡ ▲✐❡✈❡♥ ❇❛❡❧❡ ❋✐♥❛♥❝❡ ❉❡♣❛rt♠❡♥t✱ ❚✐❧❜✉r❣ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❋r❡❞❡r✐❡❦ ❱❛♥ ❍♦❧❧❡✯✯ ◗✉❛♥t ❙♦❧✉t✐♦♥s✱ ❉❡❣r♦♦❢ P❡t❡r❝❛♠ ❆ss❡t ▼❛♥❛❣❡♠❡♥t ❖❝t♦❜❡r ✷✵✶✼ ❆❜str❛❝t ❚❤✐s ♣❛♣❡r ❞♦❝✉♠❡♥ts ❛ str♦♥❣ ❛ss♦❝✐❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ st♦❝❦✲❜♦♥❞ ✭❙❇✮ ❝♦rr❡❧❛✲ t✐♦♥s ❛♥❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡s ❢♦r ❛ s❛♠♣❧❡ ♦❢ ✶✵ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ♠❛r❦❡ts✳ ◆❡❣❛t✐✈❡ st♦❝❦✲❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ♣❡r✐♦❞s ♦❢ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ❜✉t ♦♥❧② ✐♥ t✐♠❡s ♦❢ ❧♦✇ ✐♥✢❛t✐♦♥✳ ■rr❡s♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛♥❞✴♦r ❣r♦✇t❤ r❡❣✐♠❡✱ st♦❝❦✲❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛❧✇❛②s ♣♦s✐t✐✈❡ ✇❤❡♥ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ✐s r❡str✐❝✲ t✐✈❡✳ P✉r❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❣r♦✇t❤ r❡❣✐♠❡s ✐♥st❡❛❞ ❤❛✈❡ ❧✐tt❧❡ ❡①♣❧❛♥❛t♦r② ♣♦✇❡r ❢♦r st♦❝❦✲❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✳ ❖✉r ✜♥❞✐♥❣s ❛r❡ ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ r❡❝❡♥t t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ r❡s❡❛r❝❤ t❤❛t ❛ttr✐❜✉t❡s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r♦❧❡ ♥♦t ♦♥❧② t♦ t❤❡ 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✉♥♦❜s❡r✈❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♠♦❞❡❧✳ ❲❡ r❡❢❡r t♦ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇ ❢♦r ❛ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❢♦r ❡st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts✳ ✼ ✸✳✷ ❯♥✐✈❛r✐❛t❡ ❘❡❣✐♠❡ ❙✇✐t❝❤✐♥❣ ▼♦❞❡❧s ❲❡ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ t❤❡ r❛♥❞♦♠ s❡r✐❡s xt ✱ ✇✐t❤ x ❜❡✐♥❣ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❡✐t❤❡r ✐♥✢❛t✐♦♥ ♦r t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣✱ ✉s✐♥❣ ❛ r❡❣✐♠❡✲s✇✐t❝❤✐♥❣ ✐♥ ♠❡❛♥ ❛♥❞ ✈♦❧❛t✐❧✐t② ♠♦❞❡❧✿ xt = µx,St + σx,St εt , ✭✸✳✶✮ εt ∼ N (0, 1) ✇❤❡r❡ µx,St r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ r❡❣✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠❡❛♥ ♦❢ s❡r✐❡s x✱ ❛♥❞ σx,St t❤❡ ❝♦r✲ r❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡❣✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈♦❧❛t✐❧✐t②✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❝❛s❡s ✇❤❡r❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡❣✐♠❡s ✭K ✮ ✐s ❡✐t❤❡r ✷ ♦r ✸✳ ❚❤❡ ♣r♦❝❡ss St ❢♦❧❧♦✇s ❛ ✜rst✲♦r❞❡r ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ ✇✐t❤ K r❡❣✐♠❡s ✇✐t❤ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✿ ✭✸✳✷✮ p (St = i|St−1 = j) = Pij ▲❡t x̃T = [xT xT −1 ...x1 x0 ]T ❛♥❞ ❧❡t θ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ f ✳ ❋♦❧✲ ❧♦✇✐♥❣ ❍❛♠✐❧t♦♥ ✭✶✾✾✹✮✱ t❤❡ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s✿ f (x̃T ; θ) = T K Y X t=1 i=1 f (xt |It−1 , St = i; θ) p (St = i|It−1 ; θ) ! ✭✸✳✸✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❡①✲❛♥t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② pit = p (St = i|It−1 ; θ) ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s✿ pit = K X j=1 " Pij PK f (xt−1 |St−1 = j, It−2 ; θ) p (St−1 = j|It−2 ; θ) m=1 f (xt−1 |St−1 = m, It−2 ; θ) p (St−1 = m|It−2 ; θ) # ✭✸✳✹✮ ❲❡ st❛rt ✉♣ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜② s❡tt✐♥❣ p (S1 = i|I0 ) ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡r❣♦❞✐❝ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✳ ✸✳✸ Pr♦✴❈♦✉♥t❡r❝②❝❧✐❝❛❧ ■♥✢❛t✐♦♥ ❘❡❣✐♠❡s ✸✳✸✳✶ ❚❤❡ ❘❛✈♥ ❛♥❞ ❙♦❧❛ ✭✶✾✾✺✮ ▼♦❞❡❧ ❚♦ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❧✐♥❦ ❜❡t✇❡❡♥ st♦❝❦✲❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❜❡✐♥❣ ♣r♦✲ ♦r ❝♦✉♥t❡r❝②❝❧✐❝❛❧✱ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡ ❛s ✐♥ ❘❛✈♥ ❛♥❞ ❙♦❧❛ ✭✶✾✾✺✮ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❜✐✈❛r✐❛t❡ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ✐♥✢❛t✐♦♥ π ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ y ❝❤❛♥❣❡s✿ △πt = µπ (Stπ ) + ξπ,t △yt = µy (Sty ) + ξy,t [ξπ,t , ξy,t ]T ∼ N (0, Σ (Stπ , Sty )) ✭✸✳✺✮ ❇♦t❤ Stπ ❛♥❞ Sty ❝❛♥ t❛❦❡ ♦♥ t✇♦ st❛t❡s✿ ❡✐t❤❡r ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭♦✉t♣✉t✮ ✐s ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤ ✭h✮ ♦r ✐♥ t❤❡ ❧♦✇ ✭l✮ r❡❣✐♠❡✳ ▲❡t St ❜❡ ❛ ✹ st❛t❡ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ t❤❛t ❝♦♠❜✐♥❡s ✽ t❤❡ ✹ ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥✢❛t✐♦♥✴♦✉t♣✉t r❡❣✐♠❡s✿ St = {(πh , yh ) , (πl , yh ) , (πh , yl ) , (πl , yl )} ✭✸✳✻✮ ❆❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ ♠❡❛♥ ✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✐♠♣♦rt❛♥t ❤❡r❡ ❛s ❘❛✈♥ ❛♥❞ ❙♦❧❛ ✭✶✾✾✺✮ ❤❛✈❡ s❤♦✇♥ t❤❛t ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ❡st✐♠❛t❡s✱ ♦✉r ♠❛✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ ✐♥t❡r❡st ❤❡r❡✱ ✇✐❧❧ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❜❡ ❜✐❛s❡❞ ✉♥❧❡ss ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ ♠❡❛♥ ❛r❡ ❛❝❝♦✉♥t❡❞ ❢♦r✳ ❲❡ ♠♦❞❡❧ t❤❡ st❛t❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐① ❛s✿ Σ St = σπ2 (St ) σπ,y (St ) σπ,y (St ) σy2 (St ) ! ✭✸✳✼✮ ❲❡ ✐❞❡♥t✐❢② s♣❡❧❧s ♦❢ ♣r♦✲ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❡r❝②❝❧✐❝❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛s r❡❣✐♠❡s t❤❛t ❢❡❛t✉r❡ ♣♦s✲ ✐t✐✈❡ ✭♥❡❣❛t✐✈❡✮ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ ♦✉t♣✉t ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ s❤♦❝❦s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❋✐✲ ♥❛❧❧②✱ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ❡❛❝❤ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡✐r ♦✇♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❡❣✐♠❡ ♣r♦❝❡ss✷ ✱ t❤❡ ✹ ❜② ✹ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❛tr✐① ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ✹ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ st❛②✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❧♦✇ ♦r ❤✐❣❤ r❡❣✐♠❡ ✭Pyh , Pyl , Pπh , Pπl )✱ ❛♥❞ ❣✐✈❡♥ ❜②✿ indep Y    =   P yh P π h (1 − Pyl ) Pπh Pyh (1 − Pπl ) (1 − Pyl )(1 − Pπl ) (1 − Pyh )Pπh Py l Pπh (1 − Pyh )(1 − Pπl ) Pyl (1 − Pπl ) Pyh (1 − Pπh ) (1 − Pyl )(1 − Pπh ) P yh P π l (1 − Pyl )Pπl (1 − Pyh )(1 − Pπh ) Pyl (1 − Pπh ) (1 − Pyh )Pπl Py l Pπl ✭✸✳✽✮ ❚♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♠♦❞❡❧✬s ✶✻ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✷✳ ✸✳✸✳✷ ❆♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ r❡❣✐♠❡✲s✇✐t❝❤✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ❆ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❘❛✈♥ ❛♥❞ ❙♦❧❛ ✭✶✾✾✺✮ ♠♦❞❡❧ ✐s t❤❛t ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❝❛♥ ♦♥❧② ❞✐✛❡r ❛❝r♦ss ♦✉t♣✉t✴✐♥✢❛t✐♦♥ ♠❡❛♥✴✈♦❧❛t✐❧✐t② r❡❣✐♠❡s✳ ❚♦ ♦✉r ❦♥♦✇❧❡❞❣❡✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❡❝♦♥♦♠✐❝ t❤❡♦r② t❤❛t ❞✐r❡❝t❧② ❧✐♥❦s ✐♥✢❛t✐♦♥ ❝②❝❧✐❝❛❧✐t② t♦ ❡✐t❤❡r t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t② ♦❢ ♦✉t♣✉t ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥✳ ❆s ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❛ s✐♠♣❧❡ r❡❣✐♠❡✲s✇✐t❝❤✐♥❣ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ❛❧❧♦✇s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ♦✉t♣✉t ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ t♦ ✷ ❘❡❧❛①✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❡❣✐♠❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❜② ✽✱ ❛s t❤❡ ✹ ❜② ✹ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❛tr✐① ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ✶✷ r❛t❤❡r t❤❛♥ ✹ ❢r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ s❤♦rt s❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❞✐❞ ♥♦t ♣✉rs✉❡ s✉❝❤ ♠♦❞❡❧✳ ✾ ●✐✈❡♥       s✇✐t❝❤ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ❢r♦♠ ♦✉t♣✉t ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t②✳ △yt = cy (Sty ) + σy (Sty ) εy,t , εy,t ∼ N (0, 1) △πt = cπ (Stπ ) + β (Stcov ) εy,t + σπ (Stπ ) επ,t , επ,t ∼ N (0, 1) ✭✸✳✾✮ ❚❤❡ ❧❛t❡♥t st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s Sty ❛♥❞ Stπ ❣♦✈❡r♥ t❤❡ t✐♠❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ✐♥ ♦✉t♣✉t ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t②✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❆s ✐♥ t❤❡ ❘❛✈♥ ❛♥❞ ❙♦❧❛ ✭✶✾✾✺✮ ♠♦❞❡❧✱ ✇❡ ❛❧❧♦✇ ♠❡❛♥s t♦ ❜❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❛❝r♦ss t❤❡ ✈♦❧❛t✐❧✐t② r❡❣✐♠❡s✳ ❆ s❡♣❛r❛t❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ Stcov ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛t✐♦♥ ✭β ✮ ❜❡t✇❡❡♥ ♦✉t♣✉t ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ s❤♦❝❦s✳ ❲❡ ❛❧❧♦✇ ❢♦r t✇♦ st❛t❡s ✐♥ ❜♦t❤ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ✈♦❧❛t✐❧✐t②✱ ✐✳❡✳ Sty = {low, high} ❛♥❞ Stπ = {low, high} ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ ♦✉t♣✉t✲✐♥✢❛t✐♦♥ ❜❡t❛✱ ✐✳❡✳ Stcov = {low, high}✳ ❇❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ t❤r❡❡ r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♠♦✈❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ♦✈❡r t✐♠❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t❧② ❡①♣r❡ss t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♠❛tr✐① ❛s✿ indep Y = " Pvy (1 − Pvy ) (1 − Qyv ) Qyv # ⊗ " Pvπ (1 − Pvπ ) (1 − Qπv ) Qπv # ⊗ " Pcov (1 − Pcov ) (1 − Qcov ) Qcov # ✭✸✳✶✵✮ ✇❤❡r❡ Pvy ❛♥❞ Pvπ ✱ ❛♥❞ Qyv ❛♥❞ Qπv r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s t❤❛t ♦✉t♣✉t ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t② st❛② ✐♥ t❤❡ ❧♦✇ ❛♥❞ ❤✐❣❤ r❡❣✐♠❡✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ Pcov ❛♥❞ Qcov t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ♦✉t♣✉t✲✐♥✢❛t✐♦♥ ❜❡t❛ r❡♠❛✐♥s ✐♥ t❤❡ ❧♦✇ ❛♥❞ ❤✐❣❤ r❡❣✐♠❡✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ✸✳✹ ❊st✐♠❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ✸✳✹✳✶ ❯♥✐✈❛r✐❛t❡ ♠♦❞❡❧s ❊st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❘❡❣✐♠❡s ✐♥ ❘❡❛❧✐③❡❞ ■♥✢❛t✐♦♥ ❚❛❜❧❡ ✶ s❤♦✇s t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r ❛ t❤r❡❡✲st❛t❡ r❡❣✐♠❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ♦♥ ♠♦♥t❤❧② ❧♦❝❛❧ ❛♥❞ ❣❧♦❜❛❧ r❡❛❧✐③❡❞ ❛♥♥✉❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❛t❡s✳ ❋✐❣✉r❡ ✸ ♣❧♦ts t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❛t❡s ❛♥❞ r❡❣✐♠❡s ♦✈❡r t✐♠❡✳ ❲❡ ✜rst ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡s✱ ❛♥❞ s✉❜s❡q✉❡♥t❧② t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♦♥❡s✳ ❚❤❡ ✜♥❛❧ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ ❚❛❜❧❡ ✶ r❡♣♦rts t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❛t❡✱ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s t❤❡ ✜rst ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❛t❡s✸ ✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐❞❡♥t✐✜❡s t❤r❡❡ ❝❧❡❛r❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜❧❡ r❡❣✐♠❡s✹ ✳ ❘❡❣✐♠❡ ✶ ❢❡❛t✉r❡s ❜♦t❤ ❧♦✇ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭✶✳✾✪✮ ❛♥❞ ❧♦✇ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t② ✭✵✳✺✪✮✳ ■♥✢❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✬✐♥t❡r✲ ♠❡❞✐❛t❡ ✐♥✢❛t✐♦♥✬ r❡❣✐♠❡ ❛♠♦✉♥ts t♦ ✹✳✷✪✱ ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t② t♦ ✵✳✾✪✳ ❇♦t❤ ❛✈❡r❛❣❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭✶✵✳✺✪✮ ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t② ✭✷✳✼✪✮ ❛r❡ ♠✉❝❤ ❤✐❣❤❡r ✐♥ t❤❡ t❤✐r❞ ✸ ❚❤❡ ✜rst ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❡①♣❧❛✐♥s ✼✾✳✺✪ ♦❢ t❤❡ t♦t❛❧ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❛t❡s ✐♥ ♦✉r s❛♠♣❧❡✱ ❛♥❞ ✐s ❛ ✇❡❧❧✲❜❛❧❛♥❝❡❞ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❛t❡s ✭r❡s✉❧ts ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✉♣♦♥ r❡q✉❡st✮✳ ❲❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t ♦✉r ✜♥❞✐♥❣s ❛r❡ r♦❜✉st t♦ ✉s✐♥❣ ●❉P ✐♥st❡❛❞ ♦❢ P❈❆✲✇❡✐❣❤ts✳ ✹ ❲❡ ✈❡r✐✜❡❞ t❤❛t t❤❡ r❡❣✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ✐♥✢❛t✐♦♥ ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ st❛t✐st✐❝❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ♦♥❡ ❛♥♦t❤❡r✳ ✶✵ ✬❤✐❣❤ ✐♥✢❛t✐♦♥✬ r❡❣✐♠❡✳ ❚❤❡ ❧♦✇ ❛♥❞ ❤✐❣❤ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡s ❜♦t❤ ❤❛✈❡ ❛♥ ❡①♣❡❝t❡❞ r❡❣✐♠❡ ❞✉r❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❜♦✉t ✶✶ ②❡❛rs✱ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❛❜♦✉t ✺ ②❡❛rs ❢♦r t❤❡ ♠❡❞✐✉♠ ✐♥✲ ✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡s✳ ❚❤❡ ✜♥❛❧ ❣r❛♣❤ ♦❢ ❋✐❣✉r❡ ✸ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❤✐❣❤ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡ st❛rt❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡❛r❧② ✶✾✼✵s ❛♥❞ ❡♥❞❡❞ ✐♥ ✶✾✽✸ ✇✐t❤ ❱♦❧❝❦❡r✬s s✉❝❝❡ss❢✉❧ ❝♦♥q✉❡st ♦❢ ✭❯❙✮ ✐♥✢❛t✐♦♥✳ ■♥t❡r♠❡❞✐❛t❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✇❛s ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣❡r✐♦❞s ✶✾✻✷✲✶✾✼✷ ❛♥❞ ✶✾✽✸✲✶✾✾✸✳ ❊①❝❡♣t ❢♦r t❤❡ s❤♦rt ✐♥✢❛t✐♦♥ s✉r❣❡ ✐♥ ♠✐❞✲✷✵✵✽✱ ❛s ♦❢ ✶✾✾✹✱ ❣❧♦❜❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣❡rs✐st❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ ❧♦✇ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡✳ ❊st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r ❧♦❝❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❧❛r❣❡❧② ♠✐♠✐❝ t❤♦s❡ ❢♦r ❣❧♦❜❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥✱ ✇✐t❤ s♦♠❡ ♥♦t✐❝❡❛❜❧❡ ❡①❝❡♣t✐♦♥s✳ ❋✐rst✱ ✇❤✐❧❡ ❝♦✉♥tr✐❡s ❛r❡ ♦❢t❡♥ ❛t t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ r❡❣✐♠❡✱ t❤❡ ✇✐t❤✐♥✲r❡❣✐♠❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❧❡✈❡❧s ♦❢t❡♥ ❞✐✛❡r 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✐♥✢❛t✐♦♥ t❛r❣❡t✳ ❍❡ ✜♥❞s t❤❛t ✇❤✐❧❡ s✇✐t❝❤❡s t♦ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❝♦♥tr✐❜✉t❡❞ t♦ ❧♦✇❡r st♦❝❦✲ ❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✱ ✐t ✐s ♦♥❧② ✇❤❡♥ ❛ s✇✐t❝❤ t♦✇❛r❞s ❛ ♣r♦❝②❝❧✐❝❛❧ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡ ✐s t❛❦❡♥ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❛t ♥❡❣❛t✐✈❡ st♦❝❦✲❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s ❊r♠♦❧♦✈ ✭✷✵✶✹✮ ♣♦✐♥ts ♦✉t✱ ❙♦♥❣ ✭✷✵✶✹✮ ♠❛② ♦✈❡rst❛t❡ t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ s❤♦❝❦s ❛s ❤❡ ❡st✐♠❛t❡s t❤❡ ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ❛ss❡t ♣r✐❝❡s ❥♦✐♥t❧②✳ ❇② ❡st✐♠❛t✐♥❣ t❤❡♠ ❥♦✐♥t❧②✱ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❞r✐✈✐♥❣ t❤❡ ✭♥♦✐s②✮ ♠❛❝r♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♠❛② ❜❡ s❡t ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② ❛s t♦ ❛❧s♦ ✜t t❤❡ ❛ss❡t ♣r✐❝❡s✱ r❡s✉❧t✐♥❣ ✐♥ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♦✈❡rst❛t✐♥❣ ♦❢ t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛❝r♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r ❡①♣❧❛✐♥✐♥❣ ❛ss❡t ♣r✐❝❡s✳ ❚♦ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❛♥❞ st♦❝❦✲❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛✲ t✐♦♥s✱ ✇❡ ♣r♦❝❡❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✺✳✶✱ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡ ❛ s✐♠♣❧❡ r❡❣✐♠❡✲s✇✐t❝❤✐♥❣ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r✉❧❡ t❤❛t ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡r✐♦❞s ♦❢ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✲ ✐♥❣ ❛♥❞ r❡str✐❝t✐✈❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ❛♥❞ ❜❡t✇❡❡♥ s♣❡❧❧s ♦❢ ♣❛ss✐✈❡ ✭r✉❧❡✲❢♦❧❧♦✇✐♥❣✮ ❛♥❞ 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 it = ρit−1 + (1 − ρ) α + β StM P πt + γ StM P yt + ǫt,i , ǫt,i ∼ N 0, σt2 StV

✭✺✳✶✮ ✶✶ ❆s ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✱ ✇❡ ❛❧s♦ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ r❡s✐❞✉❛❧s ❢r♦♠ ❛ ✜①❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡r ▼P r✉❧❡✱ ✇❤❡r❡ ❡✐t❤❡r ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❢r♦♠ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❚❛②❧♦r r✉❧❡ ♦r ❢r♦♠ t❤❡ ✏❨❡❧❧❡♥ ✈❡rs✐♦♥✑✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣♦s❡s ❛ ❤✐❣❤❡r γ✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ❞r❛✇❜❛❝❦ ♦❢ t❤❡s❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥s ✐s t❤❛t t❤❡② ❞♦ ♥♦t ❛❧❧♦✇ ❢♦r s❤✐❢ts ✐♥ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② st②❧❡✳ ❆❧s♦✱ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ ❝❛❧✐❜r❛t❡❞ ❢♦r t❤❡ ❯❙✱ ❛♥❞ ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❛♣♣❧✐❝❛❜❧❡ t♦ ♦t❤❡r ♠❛r❦❡ts✳ ✶✼ ✇❤❡r❡ it ✐s t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ♦❜s❡r✈❡❞ ✭❝♦✉♥tr②✲s♣❡❝✐✜❝✮ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❛t❡✳✶✷ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ρ ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❧❛❣❣❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ ❋♦r ❤✐❣❤❡r ✈❛❧✉❡s ♦❢ ρ ✱ ✐t t❛❦❡s t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❜❛♥❦ ❧♦♥❣❡r t♦ ❛❞❥✉st ✐♥t❡r❡st r❛t❡s ❢✉❧❧② t♦ t❤❡ ♥❡✇ t❛r❣❡t✳ P❛r❛♠❡t❡rs β ❛♥❞ γ ❣♦✈❡r♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭πt ✮ ❛♥❞ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ ✭yt ✮✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ α ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t t❤❛t ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ st❡❛❞② st❛t❡ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ ❚♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ❛♥❞ r❡str✐❝t✐✈❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ✇❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭β ✮ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ✭γ ✮ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StM P ✳ ❉✉r✐♥❣ r❡str✐❝t✐✈❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡s✱ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❜❛♥❦ r❡❛❝ts ♠♦r❡ str♦♥❣❧② t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛♥❞ r❡❧❛t✐✈❡❧② ❧❡ss t♦ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣✳ ❚❤❡ ♦♣♣♦s✐t❡ ♦❝❝✉rs ❞✉r✐♥❣ ♣❡r✐♦❞s ♦❢ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❜② ❧❡tt✐♥❣ t❤❡ ǫi,t ✬s ✈❛r✐❛♥❝❡ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StV ✱ ✇❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡r✐♦❞s ✇✐t❤ ❧♦✇❡r ♦r ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❚❛❜❧❡ ✽ r❡♣♦rts ❡st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r ❛❧❧ ❝♦✉♥tr✐❡s ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❢♦r t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♠♦♥✲ ❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❛t❡✱ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s t❤❡ ✜rst ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧✐❝② r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❯❙✱ ●❡r♠❛♥②✱ t❤❡ ❯❑✱ ❛♥❞ ❏❛♣❛♥✶✸ ✳ ❋✐❣✉r❡ ✼ ♣❧♦ts t❤❡ s♠♦♦t❤❡❞ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡✳ ■♥ ♦✉r ❡st✐♠❛t✐♦♥s✱ ✇❡ s❡t ρ ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦✱ ❛s t❤❡ ❡①tr❡♠❡❧② ❤✐❣❤ ♣❡rs✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♠♦♥t❤❧② ✐♥t❡r❡st r❛t❡s r❡♥✲ ❞❡r❡❞ ♦✉r ❡st✐♠❛t❡s ✉♥st❛❜❧❡✳ ❲❡ ❞♦ ✜♥❞ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts t❤♦✉❣❤ ❢♦r ❛ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ρ ❡st✐♠❛t❡❞ ♦♥ ✭s❧✐❣❤t❧② ❧❡ss ♣❡rs✐st❡♥t✮ q✉❛rt❡r❧② r❛t❡s✳ ❲❡ ✜♥❞ t❤❡ ❡st✐✲ ♠❛t❡s ❢♦r α✱ ❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ♦❢ t❤❡ st❡❛❞② st❛t❡ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ t♦ r❛♥❣❡ ❢r♦♠ ✶✳✶✶✪ ✐♥ ❏❛♣❛♥ t♦ ✸✳✵✵✪ ✐♥ ❈❛♥❛❞❛✳ ■♥ r❡❣✐♠❡ ✶✱ ❝❡♥tr❛❧ ❜❛♥❦s r❡❛❝t ♠♦r❡ str♦♥❣❧② t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ (β1 > β2 ) ❜✉t ❧❡ss s♦ t♦ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ (γ1 < γ2 )✳ ❲❤✐❧❡ ♠❛♥② ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❡st✐♠❛t❡s ❛r❡ ♦♥❧② ❜♦r❞❡r❧✐♥❡ ♦r ♥♦t s✐❣♥✐✜❝❛♥t✱ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ β ✬s ❛♥❞ γ ✬s ❛❝r♦ss r❡❣✐♠❡s ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡ t♦ s♦✉♥❞❧② r❡❥❡❝t t❤❡ ♥✉❧❧ ♦❢ ❡q✉❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛❝r♦ss r❡❣✐♠❡s✳ ❋♦r ❛❧❧ ❝♦✉♥tr✐❡s ❡①❝❡♣t ❏❛♣❛♥ ✭✵✳✾✹✼✮✱ ✇❡ ✜♥❞ β1 t♦ ❜❡ ❧❛r❣❡r t❤❛♥ ✶✱ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❛t ❝❡♥tr❛❧ ❜❛♥❦s ✐♥ r❡❣✐♠❡ ✶ ❛❞❥✉st ✐♥t❡r❡st r❛t❡s ✇✐t❤ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❡ ♣✉r❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❛t❡✳ ❲❡ ❛❧s♦ ✜♥❞ s✉❜st❛♥t✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ✈♦❧❛t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ r✉❧❡✬s r❡s✐❞✉❛❧✱ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❛t ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❤❛s ❣♦♥❡ t❤r♦✉❣❤ s♣❡❧❧s ♦❢ ♠♦r❡ r✉❧❡✲❜❛s❡❞ ♦r ♠♦r❡ ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ❋✐❣✉r❡ ✼ s❤♦✇s t❤❛t ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ✇❛s ❢♦r ♥❡❛r❧② ❛❧❧ ❝♦✉♥tr✐❡s ♣r❡❞♦♠✐♥❛♥t❧② r❡str✐❝t✐✈❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ✶✾✽✵s ❛♥❞ ✶✾✾✵s 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N (µ, Ht ) , ✇✐t❤ Ht = Dt Rt Dt ✭❆✳✶✮ ✇❤❡r❡ µ ✐s t❤❡ ✈❡❝t♦r ♦❢ ✉♥❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥s ❛♥❞ Ht t❤❡ ❜✐✈❛r✐❛t❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦✲ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♠❛tr✐①✱ ❢✉rt❤❡r ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ❛s Ht = Dt Rt Dt ✳ Dt ✐s ❛ 2 × 2 ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t✐❡s ♦♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧✱ ❛♥❞ h ′i Rt = Et−1 ξt ξt ✭❆✳✷✮ ξt = Dt−1 (rt − µ) ✭❆✳✸✮ ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❉❈❈ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❊♥❣❧❡ ✭✷✵✵✷✮✱ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t❧② ❡st✐♠❛t❡❞ ✐♥ t✇♦ st❡♣s✳ ❋✐rst t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❣♦✈❡r♥✐♥❣ t❤❡ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ✈♦❧❛t✐❧✐t✐❡s ✐♥ Dt ❛r❡ ❡st✐♠❛t❡❞✳ ❙✉❜s❡q✉❡♥t❧②✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① Rt ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞✐③❡❞ r❡s✐❞✉❛❧s ξt ❢r♦♠ t❤❡ ✜rst st❡♣✳ ❙t❡♣ ✶✿ ❆ ●❆❘❈❍✲▼■❉❆❙ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ✈❛r✐❛♥❝❡s ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ●❤②s❡❧s ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✺✮ ❛♥❞ s❡✈❡r❛❧ s✉❜s❡q✉❡♥t ♣❛♣❡rs✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ✉♥✐✲ ✈❛r✐❛t❡ r❡t✉r♥ ri,t t♦ ❢♦❧❧♦✇ ❛ ●❆❘❈❍✲▼■❉❆❙ ♣r♦❝❡ss✿ ri,t = µi + p mi,t × gi,t ξi,t i = {e, b} , ∀t = τ Nvi , ..., (τ + 1)Nvi ✭❆✳✹✮ ✇❤❡r❡ gi,t ❛♥❞ mi,t ❛r❡ t❤❡ s❤♦rt ❛♥❞ ❧♦♥❣ r✉♥ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❞❛✐❧② r❡t✉r♥s ❢♦r ❛ss❡t i✳ ❚❤❡ s❤♦rt r✉♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t gi,t ✈❛r✐❡s ❛t t❤❡ ❞❛✐❧② ❢r❡q✉❡♥❝② t✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❧♦♥❣ t❡r♠ ❝♦♠♣♦♥❡♥t mi,τ ✲ ✇✐t❤ ❛ t✐♠❡ s✉❜s❝r✐♣t τ ✲ ♦♥❧② ❝❤❛♥❣❡s ❡✈❡r② Nvi ❞❛②s✳ ❚❤❡ s❤♦rt r✉♥ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥s ❢♦❧❧♦✇s ❛ s✐♠♣❧❡ ●❆❘❈❍✭✶✱✶✮ ♣r♦❝❡ss✿ ✸✸ gi,t (ri,t − µi,t )2 + βi gi,t−1 = (1 − αi − βi ) + αi mi,τ ✭❆✳✺✮ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❧♦♥❣ t❡r♠ ▼■❉❆❙ ❝♦♠♣♦♥❡♥t mi,τ ✐s ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠ ♦❢ Kvi ❧❛❣s ♦❢ r❡❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s ✭RV ✮ ♦✈❡r ❛ ❧♦♥❣ ❤♦r✐③♦♥✿ i mi,τ = mi + θi Kv X l=1
ϕl ωvi RVi,τ −1 ✭❆✳✻✮ ✇❤❡r❡ mi ❛♥❞ θi ❛r❡ ❢r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ t❤❡ r❡❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s ✭RV ✮ ✐♥✈♦❧✈❡ Nvi ❞❛✐❧② ♥♦♥✲♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ sq✉❛r❡❞ r❡t✉r♥s✱ ♥❛♠❡❧②✿ i RVi,t = τ Nv X (ri,j )2 ✭❆✳✼✮ j=(τ −1)Nvi +1 ❇❡❝❛✉s❡ ♠♦st ♦❢ ♦✉r ♠❛❝r♦❡❝♦♥♦♠✐❝ ❞❛t❛ ✐s ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛t t❤❡ ♠♦♥t❤❧② ❢r❡q✉❡♥❝② ❛t ❜❡st✱ ❢♦r t❤❡ ❧♦♥❣✲t❡r♠ ▼■❉❆❙ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✇❡ s❡t Nvi ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ tr❛❞✐♥❣ ❞❛②s ✇✐t❤✐♥ ♦♥❡ ♠♦♥t❤✳ ❆s ❛ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ✇❡ ✉s❡ ❛ ❇❡t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❞❡❝❛② ♣❛r❛♠❡t❡r ωvi ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿  1 − K1i
v i ϕl ωv = P Kvi  j=1 1 − ωvi −1 j Kvi ωvi −1 ✭❆✳✽✮ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤t ❛tt❛❝❤❡❞ t♦ ♣❛st r❡❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s ✇✐❧❧ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ t✇♦ ♣❛r❛♠❡t❡rs ωvi ❛♥❞ Kvi ✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❛❣❣❡❞ r❡❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s t❛❦❡♥ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✳ ❚❤❡ ❞❡❝❛② ♣❛r❛♠❡t❡r ωvi ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ✇❡✐❣❤t ❛tt❛❝❤❡❞ t♦ t❤♦s❡ ♣❛st r❡❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s✳ ■♥ ❝❛s❡ ♦❢ ωvi = 1✱ t❤❡ ♣❛st Kvi ✇✐❧❧ r❡❝❡✐✈❡ ❛♥ ❡q✉❛❧ ✇❡✐❣❤t ♦❢ 1/Kvi ✳ ■♥ t❤❡ ❧✐❦❡❧② ❝❛s❡ ♦❢ ωvi ❃ ✶✱ ♣❛st r❡❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s ✇✐❧❧ ❣r❛❞✉❛❧❧② ❣❡t ❧❡ss ❛♥❞ ❧❡ss ✇❡✐❣❤t✳ ❚❤❡ ❧❛r❣❡r ωvi ✱ t❤❡ ❧❛r❣❡r t❤❡ ❞❡❝❛②✳ ■♥ ♦✉r ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s✱ ✇❡ ❛❧❧♦✇ t❤❡ ❞❡❝❛② ♣❛r❛♠❡t❡r ωvi t♦ ❞✐✛❡r ❜❡t✇❡❡♥ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥s✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❛❝r♦ss ❝♦✉♥tr✐❡s✳ ❚❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ✐♥ t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❛✈❡r❛❣❡ ♦❢ t❤❡ r❡❛❧✐③❡❞ ✈♦❧❛t✐❧✐t✐❡s ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❊q✉❛t✐♦♥ ❆✳✽✳ ❋♦r ω = 1✱ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ✷✹ r❡❛❧✐③❡❞ ✈♦❧❛t✐❧✐t✐❡s r❡❝❡✐✈❡s ❛♥ ❡q✉❛❧ ✇❡✐❣❤t✳ ❋♦r ω = 2✱ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❞❡❝r❡❛s❡ ❧✐♥❡❛r❧②✳ ❋♦r ω > 2✱ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❞❡❝r❡❛s❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❢♦r ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❢✉rt❤❡r ✐♥ t❤❡ ♣❛st✳ ❙t❡♣ ✷✿ ❆ ❉❈❈✲▼■❉❆❙ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❡♣✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ st❛♥❞❛r❞✐③❡❞ r❡s✐❞✉❛❧s ξt ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ st❡♣ ✶✱ ✇❡ ❝♦♠✲ ♣✉t❡ t❤❡ ♠❛tr✐① Qt ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡❧❡♠❡♥ts✿ ✸✹ qe,b,t = ρe,b,t (1 − a − b) + aξe,t−1 ξb,t−1 + bqe,b,t−1 ✭❆✳✾✮ eb ρe,b,t = Kc X l=1 Ce,b,t = qP t
ϕl ωceb Ce,b,t−1 Pt ξe,k ξb,k qP t k=t−Nceb k=t−Nceb 2 ξe,k k=t−Nceb 2 ξb,k ✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❛s ✐♥ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭❆✳✽✮✳ ❚❤❡ ❧♦♥❣✲r✉♥ ❝♦rr❡✲ ❧❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ρe,b,t ✐s ❛ ✇❡✐❣❤t❡❞ s✉♠ ♦❢ Kceb ♣❛st r❡❛❧✐③❡❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✱ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ Nceb ❞❛✐❧② ♥♦♥✲♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ r❡t✉r♥s ♦✈❡r t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ tr❛❞✐♥❣ ❞❛②s ✇✐t❤✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠♦♥t❤✳ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥s ❛t t❤❡ ❞❛✐❧② ❢r❡q✉❡♥❝② ✐s t❤❡♥ s✐♠♣❧② t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ qe,b,t ✿ ρe,b,t = √ qe,b,t √ qe,e,t qb,b,t ✭❆✳✶✵✮ ❚❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❡st✐♠❛t❡s t❤❡♥ ♣♦♣✉❧❛t❡ Rt ✳ ■♥ ♦✉r ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♠♦♥t❤❧② ❧♦♥❣✲r✉♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ρe,b,t ✳ ❇✳✷ ❊st✐♠❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ■♥ ♦✉r ❡st✐♠❛t✐♦♥s✱ ✇❡ s❡t t❤❡ ❧❛❣ ❧❡♥❣t❤s Kvi (i = e, b)✱ ❛♥❞ Kceb ❡q✉❛❧ t♦ ✷✹ ♠♦♥t❤s✳✶✼ ❚❛❜❧❡ ❆✲✶ ♦❢ t❤✐s ❛♣♣❡♥❞✐① r❡♣♦rts ♣❛r❛♠❡t❡r ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r t❤❡ ❜✐✈❛r✐❛t❡ ❉❈❈✲ ▼■❉❆❙ ♠♦❞❡❧ ❛❝r♦ss ❛❧❧ ♠❛r❦❡ts✳ P❛♥❡❧s ❆ ❛♥❞ ❇ r❡♣♦rt t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❜♦♥❞ ❛♥❞ ❡q✉✐t② r❡t✉r♥ ✈❛r✐❛♥❝❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ P❛♥❡❧ ❈ s❤♦✇s t❤❡ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❞②♥❛♠✐❝s✳ ❊✈❡♥ ✇✐t❤ ❛ ❧♦✇✲❢r❡q✉❡♥❝② ✈♦❧❛t✐❧✐t② ❝♦♠♣♦✲ ♥❡♥t ✐♥ ♣❧❛❝❡✱ ✇❡ st✐❧❧ ✜♥❞ t❤❡ ❤✐❣❤ ❢r❡q✉❡♥❝② ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ ✈♦❧❛t✐❧✐t② t♦ ❜❡ q✉✐t❡ ♣❡rs✐st❡♥t✱ ✇✐t❤ s✉♠s ♦❢ α ❛♥❞ β ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❆✳✺ r❛♥❣✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ ✵✳✾✶ ❛♥❞ ✵✳✾✾✳ ❚❤❡ ❞❡❝❛② ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ t②♣✐❝❛❧❧② ❛❜♦✈❡ ✷✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞❡❝❛② ✐♥ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❛tt❛❝❤❡❞ t♦ ♣❛st r❡❛❧✐③❡❞ ✈❛r✐❛♥❝❡s ❛♥❞ ❝♦✈❛r✐❛♥❝❡s✳ ❊①❝❡♣t✐♦♥s ❛r❡ t❤❡ ❯❙ ❛♥❞ ❈❛♥❛❞❛✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❞❡❝❛② ♣❛r❛♠❡t❡r ❢♦r t❤❡ ❡q✉✐t② ✈❛r✐❛♥❝❡ ✐s ❝❧♦s❡ t♦ ✷✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ ❛ ❧✐♥❡❛r❧② ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ P❛♥❡❧ ❈ r❡♣♦rts t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❞②♥❛♠✐❝s✳ ❲❡ ♦❜s❡r✈❡ ❛ s✐♠✐❧❛r ♣❡rs✐st❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤✲❢r❡q✉❡♥❝② ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛s ✇❡ ❞✐❞ ❢♦r ✈❛r✐❛♥❝❡s✳ ❚❤❡ s♠♦♦t❤✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r ❣♦✈❡r♥✐♥❣ t❤❡ ♣❡rs✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦✇✲❢r❡q✉❡♥❝② ❝♦rr❡❧❛✲ t✐♦♥s ❞✐✛❡rs s✉❜st❛♥t✐❛❧❧② ❛❝r♦ss ❝♦✉♥tr✐❡s✱ ❜✉t ✐s ❛❧✇❛②s ❛❜♦✈❡ ✶✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ t❤❛t ♣❛st ✶✼ ❲❡ ❝❤❡❝❦❡❞ t❤❡ r♦❜✉st♥❡ss ♦❢ ♦✉r r❡s✉❧ts ❢♦r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❧❛❣ ❧❡♥❣t❤s✱ ❛♥❞ ❢♦✉♥❞ ✐♠♣❧✐❡❞ ❝♦rr❡✲ 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✵✳✵✺ ✵✳✽✹ ✵✳✶✶ ✵✳✻✽ ✵✳✶✺ ✵✳✹✽ ✵✳✵✹ σ1 ✵✳✽✼ ✵✳✵✵ ✶✳✵✺ ✵✳✵✵ ✶✳✵✸ ✵✳✵✵ ✵✳✹✾ ✵✳✵✵ ✵✳✺✸ ✵✳✵✵ ✶✳✵✵ ✵✳✵✵ ✵✳✼✷ ✵✳✵✵ ✵✳✺✹ ✵✳✵✵ ✵✳✺✺ ✵✳✵✵ ✵✳✽✸ ✵✳✵✵ ✵✳✼✷ ✵✳✵✵ σ2 ✵✳✺✾ ✵✳✵✵ ✵✳✻✷ ✵✳✵✵ ✵✳✺✾ ✵✳✵✵ ✵✳✸✾ ✵✳✵✵ ✵✳✹✽ ✵✳✵✵ ✵✳✻✾ ✵✳✵✵ ✵✳✻✹ ✵✳✵✵ ✵✳✺✻ ✵✳✵✵ ✵✳✺✾ ✵✳✵✵ ✵✳✼✵ ✵✳✵✵ ✵✳✺✽ ✵✳✵✵ RD1 RD2 P1,U ✸✳✽ ✷✳✷ ✺✳✶ ✷✳✼ ✹✳✷ ✷✳✺ ✸✳✻ ✶✳✽ ✷✳✻ ✹✳✹ ✸✳✸ ✸✳✻ ✸✳✹ ✷✳✽ ✸✳✾ ✺✳✸ ✺✳✶ ✺✳✸ ✷✳✼ ✷✳✵ ✶✶✳✸ ✽✳✼ ✵✳✺✶ ✵✳✸✾ ✵✳✻✹ ✵✳✹✶ ✵✳✹✹ ✵✳✸✸ ✵✳✹✶ ✵✳✹✵ ✵✳✺✼ ✵✳✷✽ ✵✳✷✽ ❚❛❜❧❡ ✸✿ ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦♥t❤❧② ✪ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ ❈P■ ❛♥❞ ❘❡❛❧ ■♥❞✉str✐❛❧ Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ❚❤✐s ❚❛❜❧❡ r❡♣♦rts t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡ ❜✐✈❛r✐❛t❡ r❡❣✐♠❡ s✇✐t❝❤✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭π ✮ ❛♥❞ r❡❛❧ ✐♥❞✉str✐❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✭y ✮ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✹✳✷ ✇❤❡r❡✱ πt = µπ (Stπ ) + ξπ,t ✱ yt = µy (Sty ) + ξy,t ❛♥❞ [ξπ,t , ξy,t ]T ∼ N (0, Σ (Stπ , Sty ))✳ ❇♦t❤ Stπ ❛♥❞ Sty ❝❛♥ t❛❦❡ ♦♥ t✇♦ st❛t❡s✿ ❡✐t❤❡r ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭r❡❛❧ ♦✉t♣✉t✮ ✐s ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤ ✭h✮ ♦r ✐♥ t❤❡ ❧♦✇ ✭l✮ r❡❣✐♠❡✳ µh ❛♥❞ µl r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♠❡❛♥ ♦❢ r❡❛❧ ❣r♦✇t❤ ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤ ❛♥❞ ❧♦✇ st❛t❡✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ σh ❛♥❞ σl r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ r❡❛❧ ❣r♦✇t❤ ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❤✐❣❤ ❛♥❞ ❧♦✇ st❛t❡✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ρhh ✱ρlh ✱ρhl ✱ρll ❛r❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ r❡❛❧ ❣r♦✇t❤ ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst s✉❜s❝r✐♣t ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❡ r❡❛❧ ❣r♦✇t❤ r❡❣✐♠❡ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ s✉❜s❝r✐♣t ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡✳ Pyh , Pyl , Pπh , Pπl ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ st❛②✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❧♦✇ ♦r ❤✐❣❤ r❡❣✐♠❡ ❢♦r r❡❛❧ ❣r♦✇t❤ ✭y ✮ ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭π ✮✳ ❯❙ ❊st✳ ❏❛♣❛♥ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ●❡r♠❛♥② ❯❑ ❋r❛♥❝❡ ■t❛❧② ❙♣❛✐♥ ◆❡t❤❡r❧❛♥❞s ❇❡❧❣✐✉♠ ❈❛♥❛❞❛ ●❧♦❜❛❧ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ❊st✳ ♣✈❛❧✳ ✵✳✵✹ ✲✵✳✵✶ ✵✳✽✶ ✲✵✳✷✶ ✵✳✵✵ ✵✳✸✺ ✵✳✽✽ ✲✵✳✶✷ ✵✳✶✶ ✲✵✳✸✷ ✵✳✵✵ ✲✵✳✵✷ ✵✳✽✶ ✲✵✳✵✹ ✵✳✺✵ ✵✳✵✹ ✵✳✻✽ ✲✵✳✶✵ ✵✳✵✷ P❛♥❡❧ ❆✿ ▼♦♥t❤❧② ❖✉t♣✉t ●r♦✇t❤ µh ✵✳✶✸ ✵✳✵✵ ✵✳✶✹ µl ✲✵✳✽✵ ✵✳✵✵ ✲✶✳✸✽ ✵✳✷✸ ✲✵✳✷✻ ✵✳✺✽ ✲✶✳✶✻ ✵✳✵✵ ✲✵✳✷✹ ✵✳✵✵ ✲✵✳✼✸ ✵✳✵✵ ✲✵✳✺✶ ✵✳✶✷ ✲✵✳✹✻ ✵✳✸✸ ✲✵✳✺✶ ✵✳✺✵ ✲✵✳✹✺ ✵✳✷✷ ✲✵✳✻✽ ✵✳✵✵ σh ✵✳✺✺ ✵✳✵✵ ✶✳✹✺ ✵✳✵✵ ✶✳✸✹ ✵✳✵✵ ✶✳✵✵ ✵✳✵✵ ✽✳✵✻ ✵✳✵✵ ✶✳✶✻ ✵✳✵✵ ✶✳✹✻ ✵✳✵✵ ✶✳✽✹ ✵✳✵✵ ✶✳✺✺ ✵✳✵✵ ✶✳✵✸ ✵✳✵✵ ✵✳✽✹ 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s✇✐t❝❤✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ✐♥ t❤❡ ♠❡❛♥ ❛♥❞ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳✶ ❢♦r t❤❡ ✶✵ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ♠❛r❦❡ts ❛♥❞ ❢♦r ❣❧♦❜❛❧ ♦✉t♣✉t ❣❛♣✳ ❚❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡✲ t✇❡❡♥ t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ✐♥❞✉str✐❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✐♥❞✉str✐❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❡st✐♠❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❛♥ ✉♥♦❜s❡r✈❡❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♠♦❞❡❧ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ❈✳✶ ✻✵ ❋✐❣✉r❡ ✺✿ ❙t♦❝❦✲❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✈❡rs✉s ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡s ❚❤✐s ❋✐❣✉r❡ s❤♦✇s t❤❡ ♠♦♥t❤❧② ✐♠♣❧✐❡❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✸✲st❛t❡ ✐♥✢❛t✐♦♥ r❡❣✐♠❡ ♠♦❞❡❧ ❞✉♠♠✐❡s ❛♥❞ t❤❡ ❉❈❈✲▼■❉❆❙ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥s ✻✶ ❋✐❣✉r❡ ✻✿ ❙t♦❝❦✲❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✈❡rs✉s ♦✉t♣✉t ❣❛♣ r❡❣✐♠❡s ❚❤✐s ❋✐❣✉r❡ s❤♦✇s t❤❡ ♠♦♥t❤❧② ✐♠♣❧✐❡❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✷✲st❛t❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ r❡❣✐♠❡ ❞✉♠♠② ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ t❤❡ ❉❈❈✲▼■❉❆❙ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ st♦❝❦ ❛♥❞ ❜♦♥❞ r❡t✉r♥s ✻✷ ❋✐❣✉r❡ ✼✿ ▼♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡✿ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ✈❡rs✉s r❡str✐❝t✐✈❡ ❚❤✐s ❋✐❣✉r❡ s❤♦✇s
t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r✉❧❡✿ it = ρit−1 + 
♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡ s♠♦♦t❤❡❞

(1 − ρ) α + β StM P πt + γ StM P yt + ǫt,i , ǫt,i ∼ N 0, σt2 StV ✇❤❡r❡ it ✐s t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ♦❜s❡r✈❡❞ ✭❝♦✉♥tr②✲s♣❡❝✐✜❝✮ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❛t❡✳ ❚❤❡ ♣❛✲ r❛♠❡t❡r ρ ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❧❛❣❣❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ P❛r❛♠❡t❡rs β ❛♥❞ γ ❣♦✈❡r♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭πt ✮ ❛♥❞ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ ✭xt ✮ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ α ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t t❤❛t ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ st❡❛❞② st❛t❡ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ ❚♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ❛♥❞ r❡str✐❝t✐✈❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ✇❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭β ✮ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ✭γ ✮ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StM P ✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❜② ❧❡tt✐♥❣ t❤❡ ǫ′i,t s ✈❛r✐❛♥❝❡ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StV ✱ ✇❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡r✐♦❞s ✇✐t❤ ❧♦✇❡r ♦r ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ✻✸ ❋✐❣✉r❡ ✽✿ ▼♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡✿ ❞✐s❝✐♣❧✐♥❡❞ ✈❡rs✉s ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ❚❤✐s ❋✐❣✉r❡ s❤♦✇s
t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r✉❧❡✿ it = ρit−1 + 
♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡ s♠♦♦t❤❡❞

(1 − ρ) α + β StM P πt + γ StM P yt + ǫt,i , ǫt,i ∼ N 0, σt2 StV ✇❤❡r❡ it ✐s t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ♦❜s❡r✈❡❞ ✭❝♦✉♥tr②✲s♣❡❝✐✜❝✮ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❛t❡✳ ❚❤❡ ♣❛✲ r❛♠❡t❡r ρ ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❧❛❣❣❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ P❛r❛♠❡t❡rs β ❛♥❞ γ ❣♦✈❡r♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭πt ✮ ❛♥❞ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ ✭xt ✮ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ α ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t t❤❛t ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ st❡❛❞② st❛t❡ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ ❚♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ❛♥❞ r❡str✐❝t✐✈❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ✇❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭β ✮ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ✭γ ✮ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StM P ✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❜② ❧❡tt✐♥❣ t❤❡ ǫ′i,t s ✈❛r✐❛♥❝❡ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StV ✱ ✇❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡r✐♦❞s ✇✐t❤ ❧♦✇❡r ♦r ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ✻✹ ❋✐❣✉r❡ ✾✿ ❙t♦❝❦✲❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✈❡rs✉s ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② st❛♥❝❡ ❚❤✐s ❋✐❣✉r❡ s❤♦✇s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❉❈❈✲▼■❉❆❙ st♦❝❦✲❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ r❡str✐❝t✐✈❡ ❛♥❞ 
❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣
 ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✲ MP MP ✐❝② r❡❣✐♠❡s ❜❛s❡❞ ♦♥ s♠♦♦t❤❡❞ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r✉❧❡✿ i = ρi + (1 − ρ) α + β S π + γ S yt + ǫt,i , ǫt,i ∼ t t−1 t t t

2 V N 0, σt St ✇❤❡r❡ it ✐s t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ♦❜s❡r✈❡❞ ✭❝♦✉♥tr②✲s♣❡❝✐✜❝✮ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❛t❡✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ρ ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❧❛❣❣❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ P❛r❛♠❡t❡rs β ❛♥❞ γ ❣♦✈❡r♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭πt ✮ ❛♥❞ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ ✭xt ✮ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ α ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t t❤❛t ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ st❡❛❞② st❛t❡ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ ❚♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ❛♥❞ r❡str✐❝t✐✈❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ✇❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭β ✮ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ✭γ ✮ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StM P ✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❜② ❧❡tt✐♥❣ t❤❡ ǫ′i,t s ✈❛r✐❛♥❝❡ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StV ✱ ✇❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡r✐♦❞s ✇✐t❤ ❧♦✇❡r ♦r ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ✻✺ ❋✐❣✉r❡ ✶✵✿ ❙t♦❝❦✲❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✈❡rs✉s ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② st②❧❡ ❚❤✐s ❋✐❣✉r❡ s❤♦✇s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❉❈❈✲▼■❉❆❙ st♦❝❦✲❜♦♥❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❞✐s❝✐♣❧✐♥❡❞ ❛♥❞ ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❡❣✐♠❡s 



❜❛s❡❞ ♦♥ s♠♦♦t❤❡❞ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r✉❧❡✿ it = ρit−1 + (1 − ρ) α + β StM P πt + γ StM P yt + ǫt,i , ǫt,i ∼ N 0, σt2 StV ✇❤❡r❡ it ✐s t❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ ♦❜s❡r✈❡❞ ✭❝♦✉♥tr②✲s♣❡❝✐✜❝✮ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② r❛t❡✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ρ ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❧❛❣❣❡❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ P❛r❛♠❡t❡rs β ❛♥❞ γ ❣♦✈❡r♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭πt ✮ ❛♥❞ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❣❛♣ ✭xt ✮ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ α ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t t❤❛t ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ st❡❛❞② st❛t❡ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st r❛t❡✳ ❚♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❛❝❝♦♠♠♦❞❛t✐♥❣ ❛♥❞ r❡str✐❝t✐✈❡ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✱ ✇❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ r❡❛❝t✐♦♥ ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② t♦ ✐♥✢❛t✐♦♥ ✭β ✮ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t ✭γ ✮ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StM P ✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❜② ❧❡tt✐♥❣ t❤❡ ǫ′i,t s ✈❛r✐❛♥❝❡ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ ❧❛t❡♥t r❡❣✐♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ StV ✱ ✇❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❡r✐♦❞s ✇✐t❤ ❧♦✇❡r ♦r ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❞✐s❝r❡t✐♦♥❛r② ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝②✳ ✻✻ ❋✐❣✉r❡ ✶✶✿ ❙t♦❝❦✲❜♦♥❞ r❡t✉r♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ✈❡rs✉s ❝②❝❧✐❝❛❧✐t② ♦❢ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❚❤✐s ❋✐❣✉r❡ s❤♦✇s t❤❡ ♠♦♥t❤❧② ✐♠♣❧✐❡❞ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ 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❞♦✇♥s✐❞❡ ✭✉♣✲ i r❡❧❛t✐✈❡  t♦ t❤❡ st♦❝❦ ♠❛r❦❡t ❡①❝❡ss r❡t✉r♥ Rm,t ✱ Dt 0, R > 0 m,t ✐s ❛ ❞✉♠♠② t❤❛t t❛❦❡s ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡s 1, R < 0 m,t ✳ ◆♦ ❝♦♥st❛♥t ✐s ❛❞❞❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♠❛tr✐① ✇♦✉❧❞ ❜❡ r❛♥❦ ❞❡✜❝✐❡♥t✳ ❖♥❧② t❤❡ t❤❡ ❝r♦ss✲s❡❝t✐♦♥❛❧ r❡❣r❡ss✐♦♥ ✭✇✐t❤♦✉t ❝♦♥st❛♥t✮✳ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ✐♥ t✇♦ st❡♣s✳ ✭✹✳✻✮ βd,i ❛r❡ ✉s❡❞ ✐♥ ❆ ❢❛❝t♦r ♠✐♠✐❝❦✐♥❣ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ✐s ❋✐rst✱ ■ r❡❣r❡ss t❤❡ ❞♦✇♥s✐❞❡ ♠❛r❦❡t ❢❛❝t♦r ♦♥ t❤❡ ❢♦✉r ❝✉rr❡♥❝② ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❡①❝❡ss r❡t✉r♥s t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❜❡t❛s ✈✐❛ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❣r❡ss✐♦♥✿ ′ Rm,t|Rm,t <0 = α + βd × XRt|Rm,t <0 + εt ❙❡❝♦♥❞✱ t❤❡ ❢❛❝t♦r ♠✐♠✐❝❦✐♥❣ ♣♦rt❢♦❧✐♦✱ F M PDown ✱ ✭✹✳✼✮ ✐s t❤❡♥ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s✿ ′ F M PDown,t = βd × XRt ✇❤❡r❡ βd ✭✹✳✽✮ ❡q✉❛❧s ❬✲✵✳✶✾✱ ✵✳✵✾✱ ✵✳✸✵✱ ✵✳✶✹❪✳ ❚❤❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❧♦❛❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ✜rst ❝✉rr❡♥❝② ♣♦rt❢♦❧✐♦ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤✐s ❝✉rr❡♥❝② ♣♦rt❢♦❧✐♦ t❡♥❞s t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ♣♦s✐t✐✈❡ r❡t✉r♥s ✇❤❡♥ t❤❡ st♦❝❦ ♠❛r❦❡t ✐s ✐♥ ❛ ❜❛❞ st❛t❡✳ ❆❧❧ ♦t❤❡r ❜❡t❛s ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳ ♣♦rt❢♦❧✐♦ r❛♥❦ ✐♥❝r❡❛s❡s✱ t❤❡ ❜❡t❛ ❛❧s♦ t❡♥❞s t♦ ✐♥❝r❡❛s❡✳ ❆s t❤❡ ❊①❝❡♣t ❢♦r t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✐♥t❡r❡st r❛t❡ 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❧❛r❣❡r ε✱ t❤❡ ❢✉rt❤❡r ✇❡ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ t❛✐❧s✳ ε ✐s s❡t ❛t ✵✳✾✺✳ s− ❝❛♣t✉r❡s t❤❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞♦✇♥s✐❞❡ t❛✐❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✳ ❙✐♥❝❡ ■ ❝♦♥s✐❞❡r ❛s②♠♠❡tr②✱ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❛♥❣❧❡s t❤❛t ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞ ♣❛✐rs ❛r❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ✹✺➦ ✭❢♦r ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✮ ❛♥❞ ✶✸✺➦ ✷✹ ❍❡r❡✱ t❤❡ ✐♥t❡rq✉❛rt✐❧❡ r❛♥❣❡ ✐s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♠❡❞✐❛♥ ❛♥❞ t❤❡ ❧♦✇❡r t❛✐❧ q✉❛rt✐❧❡✳ ❚❤✐s ♠❡❛s✉r❡ ✐s ♣❛rt✐❝✉❧❛r❧② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ✇❤❡♥ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❞❛t❛ ✐s ❛s②♠♠❡t✲ r✐❝❛❧✳ ✷✺ ◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ❛✈❡r❛❣❡ ❝✉rr❡♥❝② ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❞♦❧❧❛r ❢❛❝t♦r✳ ✶✵✶ ✭❢♦r ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✮✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ✷✻ ❛♥❣❧❡ ✭φ✮ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ✳ ❚❤❡ ❧✐♥❡❛r ❞♦✇♥s✐❞❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✱ ♦♥ t❤❡ s❡♠✐✲♠♦♠❡♥ts✿ ρ− ij ✇❤❡r❡ covij− = − − σi σj ✭✹✳✶✶✮   covij− = E ((Xi − Γi )I{Xi <Γi } ) ((Xj − Γj )I{Xj <Γj } ) I{Xi >Γi } ρ− ij ✱ ✐s ❜❛s❡❞ ✐s ❛♥ ✐♥❞✐❝❛t♦r ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t t❛❦❡s ✈❛❧✉❡ ♦♥❡ ✐❢ ✭✹✳✶✷✮ Xi > Γ i ✳ Γi ❛♥❞ Γj ❛r❡ ❜♦t❤ s❡t ❛t ✵✳ ❆s ❛ r❡s✉❧t✱ t❤❡ 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♦❢ ▲✉st✐❣ t❤❡ HM Lf x ❛♥❞ t❤❡ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ t❤❛t ❛♠♦✉♥ts t♦ ✽✽✪✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ ❘❛✛❡rt② ✭✷✵✶✷✮✱ ■ ❛❞❞ t❤❡ Dollar r✐s❦ ❢❛❝t♦r t♦ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ s♦ t❤❡ ❜❡t❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❜❡❝♦♠❡s✿ E [XRi,t ] = βiDollar λDollar + βiF M PSkew λF M PSkew ✭✹✳✶✼✮ ❘♦✇ ✏ ❋▼P✲❙❦❡✇ ✑ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✸ s❤♦✇s t❤❡ ❢❛❝t♦r ❜❡t❛s ❡st✐♠❛t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ t✐♠❡✲ s❡r✐❡s r❡❣r❡ss✐♦♥s ♦❢ ❡❛❝❤ ♣♦rt❢♦❧✐♦✬s r❡t✉r♥ ♦♥ ❛ ❝♦♥st❛♥t✱ Dollar ❛♥❞ F M PSkew,t ✳ ❆s ✐♥ ❘❛✛❡rt② ✭✷✵✶✷✮✱ t❤❡r❡ ✐s s✉❜st❛♥t✐❛❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❜❡t❛s ❛❝r♦ss t❤❡ ♣♦rt✲ ❢♦❧✐♦s ❢♦r t❤❡ s❦❡✇♥❡ss ❢❛❝t♦r ✳ ❚❤❡ ✜rst t✇♦ ♣♦rt❢♦❧✐♦s ❤❛✈❡ ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❧♦❛❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ F M PSkew,t ✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦s ♦❢ ❤✐❣❤❡r ②✐❡❧❞✐♥❣ ❝✉rr❡♥❝✐❡s ❤❛✈❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡①♣♦s✉r❡✳ ❚❤✐s ✐s ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ✇❤❡♥ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ s❦❡✇♥❡ss ❜❡❝♦♠❡s ♠♦r❡ ♥❡❣❛t✐✈❡✱ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ②✐❡❧❞✐♥❣ ❝✉rr❡♥❝✐❡s ❤❛✈❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ r❡✲ t✉r♥s✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ❧♦✇❡r ②✐❡❧❞✐♥❣ ❝✉rr❡♥❝② ♣♦rt❢♦❧✐♦s ❤❛✈❡ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ r❡t✉r♥✳ ❚❤❡s❡ ❜❡t❛s s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ r❡t✉r♥s ♦❢ ❛ ❝❛rr② str❛t❡❣② ❛r❡ ❤✐❣❤❧② ❡①♣♦s❡❞ t♦ t❤✐s ♥❡❣❛t✐✈❡ 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2 Ros =1− M SP Emodel M SP Ebenchmark ✭✺✳✾✮ T −1 ˆ 2 ˆ ✇❤❡r❡ M SP Emodel = Σt=W +1 (XRt − XRt ) ✳ XRt − XRt ✐s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❡❛❧✐③❡❞ ❡①❝❡ss r❡t✉r♥ ❢r♦♠ ♣❡r✐♦❞ t − 1 t♦ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ ♣❡r✐♦❞ t ❛♥❞ t❤❡ ❢♦r❡❝❛st❡❞ r❡t✉r♥ ❛t t✐♠❡ t − 1 ❢♦r t❤❡ r❡t✉r♥ ♦✈❡r t❤❡ ♣❡r✐♦❞ ❡♥❞ ♦❢ t − 1 t♦ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ T −1 ¯ 2 ¯ ♣❡r✐♦❞ t ✳ M SP Ebenchmark = Σt=W +1 (XRt − XRt ) ✱ ✇❤❡r❡ XRt ✐s t❤❡ r♦❧❧✐♥❣ ✇✐♥❞♦✇ ❛✈❡r❛❣❡ ❤✐st♦r✐❝❛❧ ❡①❝❡ss r❡t✉r♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛t t✐♠❡ t − 1 ❛s ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ r❡t✉r♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ ♠♦♥t❤ t − 1 t♦ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ ♠♦♥t❤ t✳ W ✐s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ 2 ❡st✐♠❛t✐♦♥ s❛♠♣❧❡✳ ❆s ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ ❘❛♣❛❝❤ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✵✮✱ t❤❡ Ros st❛t✐st✐❝ ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ ▼❙P❊ ❢♦r t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐✈❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ❢♦r❡❝❛st r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ s✐♠♣❧❡ 2 ❤✐st♦r✐❝❛❧ ❛✈❡r❛❣❡ ❢♦r❡❝❛st✳ ❆ M SP Emodel < M SP Ebenchmark ✐♠♣❧✐❡s ❛♥ Ros > 0 ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❛♥ ♦✉t♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ♠♦❞❡❧ ❢♦r❡❝❛st r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❤✐st♦r✐❝❛❧ ❛✈❡r❛❣❡ ❢♦r❡❝❛st✳ ❚❤❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ M SP Emodel ❛♥❞ t❤❡ M SP Ebenchmark ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ 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s②st❡♠❛t✐❝ ♠❛♥♥❡r✳ ❚❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t✇♦ ❢❛❝t♦rs✳ r❡t✉r♥s ❛♥❞ r❡❛❧ ❛❝t✐✈✐t②✳ ❋✐rst✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ st♦❝❦ ❚❤✐s r❡❧❛t✐♦♥ ❛♣♣❡❛rs t♦ ❜❡ st❛❜❧❡ ♦✈❡r t✐♠❡✳ ❙❡❝♦♥❞✱ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛♥❞ r❡❛❧ ❛❝t✐✈✐t② ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❝❡ss ✐♥ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② s❡❝t♦r✳ ❋✐❣✉r❡ ✷ s❤♦✇s ❤♦✇ t❤❡ st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦♥❡t❛r② ❛✉t❤♦r✐t② ♠✐❣❤t ✐♠♣❛❝t ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❣r♦✇t❤ ❛♥❞ ✐♥✢❛t✐♦♥✳ P❛r❦ ❛♥❞ ❘❛tt✐ ✭✷✵✵✵✮ ❞❡✈❡❧♦♣ t❤❡✐r ✏❛♥t✐❝✐♣❛t❡❞ ♣♦❧✐❝②✑ ❛r❣✉♠❡♥t ❜② ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✐♥❝♦r♣♦r❛t✐♥❣ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ✐♥ t❤❡✐r ❛♥❛❧②s✐s✳ ❚❤❡② ❝♦♥✜r♠ t❤❡ ●❡s❦❡ ❛♥❞ ❘♦❧❧ ✭✶✾✽✸✮ ❛♥❞ ❑❛✉❧ ✭✶✾✽✼✮ r❡s✉❧ts t❤❛t ❛ ❝♦✉♥t❡r✲❝②❝❧✐❝❛❧ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ♣❧❛②s ❛ ❝r✐t✲ ✐❝❛❧ r♦❧❡ ✐♥ ❡①♣❧❛✐♥✐♥❣ r❡s✉❧ts✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣❧②✱ t❤❡② ❛❧s♦ s✉❣❣❡st t❤❛t t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ♦♥ st♦❝❦ r❡t✉r♥s ❤❛s ❜❡❡♥ ❝❤❛♥❣✐♥❣ ♦✈❡r t✐♠❡✳ ❉✉r✐♥❣ ♣❡r✐♦❞s ♦❢ ❤✐❣❤ ✐♥✢❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ✈♦❧❛t✐❧✐t②✱ ❡①♣❡❝t❡❞ r❡❛❧ st♦❝❦ r❡t✉r♥s r❡s♣♦♥❞ ♠♦r❡ t♦ ♠♦♥❡t❛r② t✐❣❤t❡♥✐♥❣ t❤❛♥ ❛t ♦t❤❡r t✐♠❡s✳ ❉✉r✐♥❣ t❤❡s❡ ♣❡r✐♦❞s✱ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❛❧✇❛②s t✐❣❤t❡♥s 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s❤♦❝❦s ❤❛✈❡ ♥♦ ❧♦♥❣ t❡r♠ ❡✛❡❝t✳ ✶✽✺ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❊q✉❛t✐♦♥s ❞❡s❝r✐❜❡ ❛♥ ❡❝♦♥♦♠② ✇❤❡r❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❞❡♠❛♥❞ ✐s ❛ ♣♦s✐✲ t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ r❡❛❧ ♠♦♥❡② ❜❛❧❛♥❝❡s ✭mt − pt ✮ ❛♥❞ ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ✭❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✹✮✳ ❆❣❣r❡❣❛t❡ s✉♣♣❧② ✐s ♣♦s✐t✐✈❡❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② ❛♥❞ ❡♠✲ ♣❧♦②♠❡♥t ✭❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✺✮✳ ❚❤❡ ♣r✐❝❡ ❧❡✈❡❧ ✐♥❝r❡❛s❡s ❛s t❤❡ ♠♦♥❡② s✉♣♣❧② ✐♥❝r❡❛s❡s ❛♥❞ ✐s ♥❡❣❛t✐✈❡❧② ✐♠♣❛❝t❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ ♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② ❛♥❞ ❛ ❤✐❣❤❡r ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♣❡r✐♦❞ ✭❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✻✮✳ ❚❤✐s st✐❝❦✐♥❡ss ♦❢ ♣r✐❝❡s ❛❢t❡r ❛ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ❝❤❛♥♥❡❧ ❢♦r t❤❡ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠♦♥❡t❛r② ♣♦❧✐❝② ❝❤❛♥❣❡ ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥s ✸ ❛♥❞ ✹✮✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ✐s ♥❡❣❛t✐✈❡❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♠♦♥❡② s✉♣♣❧② ✭❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✼✮✳ ❚❤❡ ❜✐✲✈❛r✐❛t❡ ♠♦✈✐♥❣ ❛✈❡r❛❣❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ✭s❡❡ ❍❡ss ❛♥❞ ▲❡❡ ✭✶✾✾✾✮ ♣❛❣❡ ✶✷✵✼ ❢♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s✮✿ " △spt πt # = " 2 − L, a(1 − L)(2 − ρ − L) −1, (1 + aL) #" εst εdt # , ✭✷✳✶✵✮ ✇❤❡r❡ 0 < ρ < 1 ✐s ❛ ❞✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦r✸ ❛♥❞ L ✐s t❤❡ ❧❛❣ ♦♣❡r❛t♦r ✭Ln xt = 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