Torsión

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL MARÍTIMA DEL CARIBE VICERRECTORADO ACADEMICO DIRECCION DE ESCUELA DE NAUTICA INVESTIGACION SOBRE TORSION Y COMO PRINCIPAL EN EL CAMPO DEL MARINO MERCANTE. Catia la Mar, Noviembre de 2007 INDICE Introducción 1 Torsión.. ....2−10 Deformación en árboles de sección circular......11−12 Esfuerzo cortante en árboles de sección circular.....12−14 Ángulo de torsión........................................14−15 Árboles de transmisión de potencia....15−16 Torsión en buques.....16−17 Ejemplos .... 18−20 Ejercicios de realización propia21−22 Conclusiones....... 23 Bibliografía ......... 24 INTRODUCCIÓN Con este trabajo pretendo conceptualizar, y definir lo que se entiende por Torsión. Además, he dividido el trabajo partes fundamentales para determinar la capacidad de carga o esfuerzo de un eje sin que se deforme permanentemente y sin perder sus propiedades .físicas. Se demuestran las fórmulas que determinan el esfuerzo, la deformación, el ángulo de torsión, el esfuerzo y la deformación cortante, entre otros. Un aspecto importante de este trabajo lo encontramos en Torsión en Buques, su importancia reside en la posibilidad de aplicar los conocimientos adquiridos, directamente en nuestra área de estudios. Este trabajo es un esfuerzo que nos aporta, el manejo directo sobre problemas prácticos susceptibles de ser enfrentados en nuestra vida como hombres de mar. 1 CONTENIDO TEÓRICO TORSIÓN Entendemos por Torsión la deformación de un eje, producto de la acción de dos fuerzas paralelas con direcciones contrarias en sus extremos. (Ver figura 1). Figura 1. Torsión en eje. En términos de ingeniería, encontramos Torsión en una barra, eje u objeto, cuando uno de sus extremos permanece fijo y el otro se somete a una fuerza giratoria (un par). (Ver figura 1.1). Figura 1.1. Torsión en una barra. Cuando un árbol de sección circular es sometido a Torsión, debe cumplir lo siguiente: • Las secciones del árbol de sección circular deben permanecer circulares antes y después de la torsión. • Las secciones planas del árbol de sección circular deben permanecer planas antes y después de la torsión sin alabearse. • La Torsión que se le aplicara al árbol de sección circular debe estar dentro del rango de elasticidad del material. • La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección, debe permanecer radial luego de la torsión. En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica). El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos: • Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección. • Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas. El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint−Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general. Torsión general: Dominios de torsión. En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como: Formula 1. Esbeltez torsional. 2 Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J, I son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías aproximadas expuestas a continuación. De acuerdo con Kollbruner y Basler.[] • Torsión de Saint−Venant pura, cuando . • Torsión de Saint−Venant dominante, cuando . • Torsión alabeada mixta, cuando . • Torsión alabeada dominante, cuando . • Torsión alabeada pura, cuando . El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales y usando un lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión alabeada mixta, no puede ser tratada más que usando la teoría general de torsión. Torsión de Saint−Venant pura. La teoría de la torsión de Saint−Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant−Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro. Torsión recta: Teoría de Coulomb. La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula: Formula 2. Tension cortante. Donde: : Esfuerzo cortante a la distancia . T: Momento torsor total que actúa sobre la sección. : distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculanda la tensión cortante. 3 J: Módulo de torsión. Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo: Formula 3. Desplazamientos por deformación. El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento: Formula 4. Vectores de desplazamiento derivadas. A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé−Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por: Formula 5. Tensor de tension en la ecuación de Lame−Hooke. Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función y el momento torsor: Formula 6. Relacion momento torsor y funcion. Donde , es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos de área. Torsión no recta: Teoría de Saint−Venant. Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint−Venant por: Formula 7. Hipótesis cinematica de Saint−Venant. Donde x(x) es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo (y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que: Formula 8. Deformaciones de desplazamiento derivadas. 4 Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a: Formula 9. Tensiones introducidas en la ecuación de equilibrio elástico. Donde las magnitudes geométricas son respectivamente el segundo momento de alabeo y el módulo de torsión y los "esfuerzos" se denominan bi−momento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas mecánicos. Torsión alabeada pura Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada, puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la sección. En la teoría de torsión alabeada pura se usa la aproximación de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se aplica especialmente a piezas de pared delgada y se distinguen tres casos: • Sección abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana. • Sección cerrada simple, en el que la sección transversal puede aproximarse por una pequeña curva simple cerrada dotada de un cierto espesor. • Sección multicelular, en el que la sección transversal no es simplemente conexa pero aún así puede aproximarse por una curva no simple y un cierto espesor. Torque El torque o par es el nombre que se da a las fuerzas de torsión. Para que la torsión exista se requieren 2 fuerzas (par), que se ejercen en sentido opuesto. El valor del par depende del radio de acción de la fuerza (brazo). La mayor o menor torsión que genera una fuerza depende de la distancia al punto de pivote. A mayor brazo mayor par. Observar figura 3. Figura 3. Brazo mayor de torque. Par de Torsión El par o torque es un número que expresa el valor de la fuerza de torsión. Se expresa en kilos x metros. Es decir, si ejercemos una fuerza de 1 kilo con un un brazo de 1 metro el torque o par será de 1 kilo x metro (1 kilográmetro). En un motor de pistones la capacidad de ejercer fuerza de torsión es limitada. Depende de la fuerza de expansión máxima que logran los gases en el cilindro. El torque máximo se consigue cuando el rendimiento volumétrico es máximo y por lo tanto se dispone de mayor temperatura para expandir los gases. El par motor también depende del largo del brazo del cigüeñal. Los motores de mayor tamaño están equipados con cigüeñal de brazo más largo. Esto les da la posibilidad de ejercer igual par de torsión con menos fuerza de expansión de los gases. Figura 4. Par de torsión. DEFORMACIONES EN ÁRBOLES DE SECCION CIRCULAR Cuando un eje es circular, las deformaciones que estos sufren al aplicar un par de torsión T, cumplen con la 5 siguiente propiedad: cuando un eje circular se somete a torsión, todas sus secciones transversales permanecen planas y sin distorsión, es decir, aunque sus distintas secciones transversales a lo largo del eje giran en diferentes cada sección transversal gira como un placa sólida rígida. Esta propiedad es característica de cualquier eje circular, sólidos o huecos. Esta propiedad es posible ya que los ejes circulares son asimétricos, es decir, su apariencia es la misma si se ve desde una posición fija y se gira alrededor de su eje por un ángulo aleatorio. DEFORMACIÓN CORTANTE La deformación a cortante de un eje circular de longitud L y radios c, el cual ha sido girado en un ángulo . Ver Fig. 5. Figura 5. Deformación cortante. Viendo una parte interna del eje, de radio , se forma un cuadrado por dos círculos y líneas rectas adyacentes. Ver Fig. 5.1. Figura 5.1. Figuras formadas por deformación cortante. Luego de aplicar una carga de Torsión, el eje se deforma haciendo del cuadrado, un rombo. Ver Fig. 5.2. Sabemos que la deformación unitaria en un elemento cualquiera, se mide a través del cambio de los ángulos formados por sus lados. Entonces tenemos que: Figura 5.2. Formado de un rombo al aplicar una carga de torsión. Donde , están dados en radianes. Se deduce que De esta ecuación se puede deducir que cuando la deformación cortante es máxima cuando = c. Formula 10. Ecuación de deformación cortante maxima. ESFUERZOS CORTANTES EN ÁRBOLES DE SECCIÓN CIRCULAR Como ya conocemos, esfuerzo es el cociente que surge de dividir una fuerza entre un área en que se aplica. Dependiendo de la dirección de la fuerza, las paralelas a la fuerza () o esfuerzo cortante y las normales (), diferenciamos si el esfuerzo es de tracción o compresión. A diferencia del esfuerzo normal, el esfuerzo cortante es más difícil de apreciar porque su efecto es poco evidente. Ya que el par de Torsión aplicado no deben sobrepasar los límites de de resistencia y, los esfuerzos también estarán bajo este límite. Por ello si se aplica la Ley de Hooke no habrá deformación permanente. Formula 11. Ley de Hooke. Donde G es el módulo de rigidez del material. (Ver Fig. 6) Figura 6. Modulo de la rigidez. 6 Si multiplicamos por G ambos lados de la ecuación obtenemos: Observar figura 6.1. Figura 6.1. Después de aplicar la ley de Hooke. Gracias a esta ecuación, deducimos que el esfuerzo cortante varía linealmente con la distancia de . Formula 12. Deduccion del esfuerzo cortante lineal. J es el momento polar de inercia, Viene dado por la siguiente fórmula: ANGULO DE TORSION Si se aplica un par de torsión T al extremo libre de un eje circular, unido a un soporte fijo en el otro extremo, el eje se torcerá al experimentar un giro en su extremo libre, a través de un ángulo , denominado ángulo de giro. Cuando el eje es circular, el ángulo es proporcional al par de torsión aplicado al eje. Ver figura 7. Figura 7. Angulo de torsión. Por lo tanto tenemos que: Formula 13. Angulo de torsión. Donde: • T es el par de torsión. • L es la longitud del eje. • J es el momento polar de inercia de la sección transversal del eje. • G es el módulo de rigidez del material. El ángulo de torsión se relaciona con la deformación máxima a cortante a través de la siguiente forma: Formula 14. Angulo de torsión con deformación máxima. ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN DE POTENCIA Entendemos por árboles de transmisión de potencia cuando un elemento giratorio transmite un momento de torsión, para que esto ocurra debe existir una potencia que transmitir y una velocidad de rotación del eje. RELACIÓN ENTRE TORSIÓN Y POTENCIA Si la fuerza actúa con respecto a la distancia, es cuando se produce un trabajo mecánico. De igual forma, si la Torsión actúa con respecto a la distancia rotacional es hacienda un Trabajo. Potencia es el trabajo por unidad de tiempo. Sin embargo el tiempo y la distancia rotacional, están relacionadas por la velocidad angular, donde cada revolución resulta en la Circunferencia del círculo que va girando por la fuerza producida por la Torsión. Esto significa que la Torsión causa la velocidad angular, ésta a su vez hace un trabajo y se genera una potencia, que se podría calcular así: Y 7 Entonces Por lo tanto Formula 15. 1. potencia, 2. potencia, 3. trabajo, 4. torsión. Donde: • P es Potencia. • es la frecuencia de rotación . • T es la torsión (un par). TORSIÓN EN BUQUES El movimiento del buque queda sujeto al capricho de las olas. Por ello se debe encontrar o buscar el punto de equilibrio entre la flotabilidad del buque y su estabilidad, esto para que la estructura del casco sufra lo menos posible, sea por los movimientos de rotación del buque entre olas de balance y cabeceo, el movimiento de traslación vertical, por los esfuerzos longitudinales, los esfuerzos cortantes y el momento flector, o por el momento de torsión del casco (reflejado en la quilla) en aguas quietas y entre olas. Desde el punto de vista estructural, un Buque es una viga hueca sometida a flexión y a torsión mientras navega a través de las olas y cambiando su propio peso. La columna vertebral de casi todos los Buques es la quilla, una viga longitudinal situada en el fondo y que se extiende de proa a popa y es la que soporta todas las torsiones y los esfuerzos. Si tomamos los buques como una viga, podremos analizar su torsión como la de un sólido no circular, en este caso un elemento rectangular cuyos extremos permanecen intactos, sin deformación (los esfuerzos cortantes son nulos = 0), teniendo los máximos justo en el centro (puntos intermedios) de los lados largos de la viga. máx= T/ * L * t2 y =T * L/ * L * t3 * 6 Donde: L=longitud del lado largo t=espesor tita ancho del lado corto y = dependen de la razón L/t. y tienden a 1/3. Si estiramos un poco la viga aplicando una presión interna, se producirá una parábola en una sección interna de la viga, es decir, la pendiente máxima. Entonces, el esfuerzo cortante máximo se va a apreciar en los bordes de la viga. Otra parte en donde encontramos Torsión en un Buque es en las propelas, esta consta (grosso modo), de un eje circular giratorio, con un extremo fijo y en el otro extremo las hélices. Para calcular La Torsión allí producida, se hace como si habláramos de un árbol de sección circular transmisores de potencia. EJEMPLOS Torsión y Esfuerzo cortante Calcule T máxima y el esfuerzo cortante mínimo de un eje circular hueco, que mide 2m. De longitud, con diámetros: interior de 30 mm. Y exterior de 50mm. Si el esfuerzo cortante del eje, no debe exceder los 80x 10 8 6 Pa. J= ½ ( C24−C14) y C2 = ½ diám ext. Y C1=½ diám int. Entonces sustituyendo los datos tenemos que: J= ½ (0.0254 − 0.0154) J= 5.34x10−5 m4 máx. = Tc Despejamos T, y obtenemos: T = J máx. Donde C = C2 JC Entonces: T = ( 5.34*10−5 m4 * 80*106 Pa) T = 170.88 kN/m 0.025m min.= C2 máx. min. = 0.025 m (80*106Pa) C1 0.015 m min. = 133.33 Mpa ÁNGULO DE TORSIÓN Dado un eje circular hueco, que mide 2m. De longitud, con diámetros: interior de 30 mm. y exterior de 50mm. Cuyo esfuerzo cortante no debe exceder los 80x 10 6 Pa. Si su módulo de elasticidad es 70x109 Pa y se le aplica un par T = 1,829x103 N. m. Calcular el ángulo de torsión. J= ½ ( C24−C14) y C2 = ½ diám ext. Y C1=½ diám int. Entonces sustituyendo los datos tenemos que: J= ½ (0.0254 − 0.0154) J= 5.34x10−5 m4 = TL / JG = 80x 10 6 Pa. * 2 m 5.34x10−5 m4 * 70x109 GPa = 42.80 rad. ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN DE POTENCIA Calcule el tamaño de un eje que se debe utilizar para el rotor de un motor cuya potencia es 30000 in . lb / s, que trabaja a 3200 rpm, si el esfuerzo cortante no debe exceder de 7800 Psi en el eje. Primero llevamos las rpm a Hz que es lo mismo que s−1 = ( rpm ) 1 H z = 53.33 Hz = 53.33 s−1 60 rpm T = P T = 30000 in . lb / s 9 2 2 ( 53.33 s−1) T = 89.53 lb / s Tenemos que J = T J = 89.53 lb / s C máx. C 7800Psi J = 11.47 x10−3 in3 C J /C = ½ c3 por lo tanto ½ c3 = 11.47 x10−3 in3 Si despejamos c obtenemos que c 3 = 11.47 x10−3 in3 c = 0.193 in. ½ d = 2 c d = 0.38 in. CONCLUSIONES He estudiado los conceptos más importantes, partiendo de lo elemental para finalizar en fórmulas físicas que al ser aplicadas nos permiten determinar la resistencia de los materiales sometidos a torsión, constituidos en este caso por los Árboles de Sección Circular. Demostramos con ejemplos que los ejes circulares sometidos a torsión mantienen toda la sección transversal plana y sin distorsión ello como fundamento en la aplicación de nuevas expresiones vinculadas con deformaciones, ángulo de torsión, deformaciones a cortante y los esfuerzos de corte. BIBLIOGRAFIA http://www.ingenieriamecania.com http://www. fing.edu.uy/iimpi/dptos/ naval/cursos/nv02/nav02_programa.html SINGER, Ferdinand. Resistencia de Materiales. Segunda Edición. Editorial Harper and Row Latinoamericana. Madrid, 1962. TIMOSHENKO, S. Resistencia de Materiales. Segunda Edición. Editorial Espasa−Calpe. Madrid, 1970. BEER, Ferdinand. JOHNSTON, Junior y DEWOLF, John. 10 Mecánica de los Materiales. 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