CONICAS LA CIRCUNFERENCIA

Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 CÓNICAS: LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN.- Sección cónica es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante. El punto fijo se llama FOCO de la cónica, la recta fija DIRECTRIZ y la relación constante EXCENTRICIDAD que, normalmente, se representa por la letra e. Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e. Si e < 1, la cónica se llama elipse Si e= 1 , la cónica se llama parábola Si e > 1, la cónica se llama hipérbola. El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo β que forma el plano P con el eje e. Si β = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN.- Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado CENTRO (C). La distancia fija se llama RADIO ( r ) de la circunferencia. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 Observemos el gráfico. Sea una circunferencia de centro (h,k) y radio r. Por la ecuación de distancia entre dos puntos tenemos: 𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 Eliminando la raíz y transponiendo términos se obtiene: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Si el centro está en el origen de coordenadas, C (0,0), la ecuación se reduce a 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 DEDUCCIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA La ecuación ordinaria de la circunferencia es (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Realizando las operaciones indicadas se transforman en 𝑥 2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦 2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘 2 = 𝑟 2 Transpongamos r2 y ordenemos los términos 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2 = 0 Que representa la forma 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Ecuación general de la circunferencia En donde: D = -2h ; E = -2K y F = h2 + k2 - r2 Caso Recíproco Si escribimos la ecuación general en la forma x2 + Dx + y2 + Ey = -F y sumamos y restamos los términos que se indican para completas trinomios cuadrados perfectos se tiene x 2 + Dx + E2 D E D2 + y 2 + Ey + = + −F 4 4 4 4 Factorando en el primer miembro y sumando en el segundo se tiene D  E D2 + E 2 − 4F  x +  + y +  = 2  2 4  2 2 Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 Comparando con (x-h) 2 + (y– k) 2 = r2, se concluye que 1  D E ,−  y el radio r = D2 + E 2 − 4F 2 2 2   El centro C es  − Como D2 + E2 - 4F da el valor del radio, los casos que pueden presentarse son: a) Si D2 + E2 - 4F  0 existe circunferencia, r es real b) Si D2 + E2 - 4F  0 no existe circunferencia, r es imaginario c) Si D2 + E2 - 4F = 0 no existe circunferencia, la ecuación representa al punto (-D/2 , -E/2). FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS Son todas las circunferencias que pasan por el punto de la intersección de dos circunferencias, la ecuación de todas ellas está dado por: x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + K ( x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 Esta expresión representa una circunferencia para los valores de K, excepto para K= -1. Para K=-1 la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circunferencias. EJE RADICAL Es la recta que pasa por la intersección de dos circunferencias. Sean las circunferencias x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0 La ecuación del eje radical se obtiene restando las ecuaciones de las circunferencias. Ejemplo Ilustrativo N° 1 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2,3) y (3,6) y sea tangente a la recta 2x+y-2=0 Calculando la pendiente con los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene: 𝑚= 𝑚= 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 6−3 3 = =3 3−2 1 Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 Calculando la pendiente de la mediatriz que pasa pos los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene: Como la mediatriz es perpendicular al segmento formado al unir los puntos (2,3) y (3,6), por lo tanto 1 la pendiente es la inversa negativa de 3, lo que da − 3 Calculando el punto medio de (2,3) y (3,6) se obtiene: 𝑥1 + 𝑥2 2 + 3 5 = = 2 2 2 𝑦1 + 𝑦2 3 + 6 9 = = 𝑦̅ = 2 2 2 𝑥̅ = Calculando la ecuación de la mediatriz al segmento formado por los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 9 1 5 (𝑦 − ) = − (𝑥 − ) 2 3 2 𝑥 5 2𝑦 − 9 =− + 3 6 2 6𝑦 − 27 = −2𝑥 + 5 2𝑥 + 6𝑦 − 32 = 0 𝑥 + 3𝑦 − 16 = 0 Realizando un gráfico ilustrativo se tiene: Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 Remplazando los puntos (2,3) y (3,6) en la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 (2 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = 𝑟 2 ⇒ 𝑟 2 = 4 − 4ℎ + ℎ2 + 9 − 6𝑘 + 𝑘 2 ⇒ 𝑟 2 = ℎ2 + 𝑘 2 − 4ℎ − 6𝑘 + 13 (𝟏) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 − ℎ) + (6 − 𝑘) = 𝑟 ⇒ 𝑟 = 9 − 6ℎ + ℎ + 36 − 12𝑘 + 𝑘 ⇒ 𝑟 = ℎ + 𝑘 − 6ℎ − 12𝑘 + 45 (𝟐) Igualando las 2 ecuaciones anteriores de r2 ℎ2 + 𝑘 2 − 4ℎ − 6𝑘 + 13 = ℎ2 + 𝑘 2 − 6ℎ − 12𝑘 + 45 2ℎ + 6𝑘 − 32 = 0 Dividiendo por 2 ℎ + 3𝑘 − 16 Que es la ecuación de la mediatriz calculada anteriormente Despejando h ℎ = 16 − 3𝑘 (𝟑) Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 Calculando la distancia del radio de la circunferencia aplicando la ecuación de distancia de un punto C(h,k) a la recta 2x+y-2=0 se tiene: 𝑑=| 𝑟= 𝐴𝑥 ± 𝐵𝑦 ± 𝐶 ±√𝐴2 + 𝐵2 2ℎ + 𝑘 − 2 | √5 (𝟓) Elevando al cuadrado la ecuación anterior: 𝑟2 = (2ℎ + 𝑘 − 2)2 (2ℎ + 𝑘)2 − 4(2ℎ + 𝑘) + 4 4ℎ2 + 4ℎ𝑘 + 𝑘 2 − 8ℎ − 4𝑘 + 4 = = 5 5 5 Igualando la ecuación (6) con la (1) 4ℎ2 + 4ℎ𝑘 + 𝑘 2 − 8ℎ − 4𝑘 + 4 = ℎ2 +𝑘 2 − 4ℎ − 6𝑘 + 13 5 4ℎ2 + 4ℎ𝑘 + 𝑘 2 − 8ℎ − 4𝑘 + 4 = 5ℎ2 +5𝑘 2 − 20ℎ − 30𝑘 + 65 ℎ2 + 4𝑘 2 − 4ℎ𝑘 − 12ℎ − 26𝑘 + 61 = 0 Remplazando la ecuación (3) en la anterior se tiene: (16 − 3𝑘)2 + 4𝑘 2 − 4(16 − 3𝑘)𝑘 − 12(16 − 3𝑘) − 26𝑘 + 61 = 0 256 − 96𝑘 + 9𝑘 2 + 4𝑘 2 − 64𝑘 + 12𝑘 2 − 192 + 36𝑘 − 26𝑘 + 61 = 0 25𝑘 2 − 150𝑘 + 125 = 0 𝑘 2 − 6𝑘 + 125 = 0 Resolviendo la ecuación obtenida: (𝑘 − 5)(𝑘 − 1) = 0 𝑘 = 5; 𝑘 = 1 Remplazando los valores de k obtenidos en la ecuación (3) se halla los valores de h ℎ = 16 − 3𝑘 ℎ = 16 − 3 ∙ 5 = 1 ℎ = 16 − 3 ∙ 1 = 13 Por lo tanto el centro C(h,k) de las circunferencias son: 𝐶(1,5) 𝐶(13,1) Remplazando los valores obtenidos en la ecuación (6) se calcula los radios: (𝟔) Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés 𝑟= 𝑟= 𝑟= Fecha: 15/09/2024 2ℎ + 𝑘 − 2 √5 2∙1+5−2 5 √5 √5 ⇒𝑟= 5 ∙ √5 √5 √5 = √5 𝑟= 𝑟= https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 2 ∙ 13 + 1 − 2 25 √5 √5 ⇒𝑟= 25 √5 ∙ = 5√5 √5 √5 Reemplazando los valores de h, k, y r en la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene la solución al ejercicio (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 2 2 (𝑥 − 13)2 + (𝑦 − 1)2 = (5√5) 𝑥 2 − 26𝑥 + 169 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = 125 𝑥 2 + 𝑦 2 − 26𝑥 − 2𝑦 + 45 = 0 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 5)2 = (√5) 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 25 = 5 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 10𝑦 + 21 = 0 Ejemplo Ilustrativo N° 2 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-2,2) y por los puntos de intersección de las circunferencias x2+y2+3x-2y-4=0 y x2+y2-2x-y-6=0. Aplicando la ecuación de familia de circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷1 𝑥 + 𝐸1 𝑦 + 𝐹1 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷2 𝑥 + 𝐸2 𝑦 + 𝐹2 ) = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 2𝑦 − 4 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 𝑦 − 6) = 0 (−2)2 + 22 + 3(−2) − 2(2) − 4 + 𝑘((−2)2 + 22 − 2(−2) − (2) − 6) = 0 4 + 4 − 6 − 4 + 4𝑘 + 4𝑘 + 4𝑘 − 2𝑘 − 6𝑘 = 0 4𝑘 − 6 = 0 3 𝑘= 2 Remplazando el valor encontrado se tiene: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 2𝑦 − 4 + 𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 𝑦 − 6) = 0 3 𝑥 2 + 𝑦 2 + 3𝑥 − 2𝑦 − 4 + (𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 𝑦 − 6) = 0 2 2𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 4𝑦 − 8 + 3𝑥 2 + 3𝑦 2 − 6𝑥 − 3𝑦 − 18 = 0 5𝑥 2 + 5𝑦 2 − 7𝑦 − 26 = 0 Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 Graficando se obtiene: Ejemplo Ilustrativo N° 3 Determinar el ángulo formado por la intersección de la recta 3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 y la circunferencia (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 = 5 Encontrando el centro y el radio de la circunferencia dada: (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 = 5 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 0)2 = 5 ℎ = 2 ;𝑘 = 0 𝐶(2,0) Calculando los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia: 3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒ 𝑦 = 3𝑥 − 1 { (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 = 5 (𝑥 − 2)2 + (3𝑥 − 1)2 = 5 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 5 10𝑥 2 − 10𝑥 = 0 𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 1) = 0 𝑥=0 ; 𝑥=1 𝑦 = 3𝑥 − 1 𝑦 = 3 ∙ 0 − 1 = −1 𝑦 =3∙1−1=2 Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés (0, −1) Graficando: Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 (1,2) Calculando la pendiente del radio (El radio es perpendicular a la tangente de la circunferencia) 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 2−0 𝑚𝑟 = = −2 1−2 Calculando la pendiente de la tangente a la circunferencia por el punto (1,2) 𝑚𝑡 ∙ 𝑚𝑟 = −1 𝑚𝑡 ∙ (−2) = −1 1 𝑚𝑡 = 2 Calculando la ecuación de la tangente a la circunferencia por el punto (1,2) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 1 𝑦 − 2 = (𝑥 − 1) 2 Autor: Mario Orlando Suárez Ibujés Fecha: 15/09/2024 https://orcid.org/0000-0002-3962-5433 2𝑦 − 4 = 𝑥 − 1 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 Calculando la pendiente de la recta 3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 −𝐴 𝑚= 𝐵 −3 𝑚= =3 −1 Calculando el ángulo 𝜃 de intersección entre la recta y la circunferencia 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑚2 − 𝑚1 1 + 𝑚1 ∙ 𝑚2 1 2 𝑚2 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 ⇒ 𝑚2 = 3 𝑚1 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 5 2=1 5 2 450 1 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 1 = 450 = 𝑅𝑒𝑣 = 𝑅𝑒𝑣 0 360 8 1 3−2 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 1 1+2∙3