Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval

Jurnal Natur Indonesia 13(2), Februari 2011: 94-99 ISSN 1410-9379, Keputusan Akreditasi No94-99 65a/DIKTI/Kep./2008 94 Jurnal Natur Indonesia 13(2): Rudhito, et al. Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval Marcellinus Andy Rudhito1*), Sri Wahyuni2), Ari Suparwanto2), dan Frans Susilo3) 1) Jurusan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Jalan Paingan Maguwoharjo, Sleman, Yogyakarta 55283 2) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Jalan Sekip Utara Bulak Sumur 21, Yogyakarta 55281 3) Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Jalan Paingan Maguwoharjo, Sleman, Yogyakarta 55283 Diterima 23-04-2010 Disetujui 23-11-2010 ABSTRACT This paper aims to discuss the matrix algebra over interval max-plus algebra (interval matrix) and a method to simplify the computation of the operation of them. This matrix algebra is an extension of matrix algebra over maxplus algebra and can be used to discuss the matrix algebra over fuzzy number max-plus algebra via its alpha-cut. The finding shows that the set of all interval matrices together with the max-plus scalar multiplication operation and max-plus addition is a semimodule. The set of all square matrices over max-plus algebra together with an interval of max-plus addition operation and max-plus multiplication operation is a semiring idempotent. As reasoning for the interval matrix operations can be performed through the corresponding matrix interval, because that semimodule set of all interval matrices is isomorphic with semimodule the set of corresponding interval matrix, and the semiring set of all square interval matrices is isomorphic with semiring the set of the corresponding square interval matrix. Keywords: idempotent, interval, matrix algebra, max-plus algebra, semiring PENDAHULUAN Pemodelan dan analisa suatu sistem jaringan yang Pemodelan dan analisa suatu jaringan dengan melibatkan bilangan kabur, sejauh penulis ketahui, pendekatan aljabar max-plus dapat memberikan hasil belum ada yang menggunakan pendekatan aljabar max- analitis dan lebih mudah pada komputasinya, Dalam plus. Operasi-operasi pada bilangan kabur dapat Bacelli et al., (2001), Rudhito, (2004); dan Krivulin, dilakukan menggunakan potongan-potongan-α−nya (2001). Dalam masalah pemodelan dan analisa suatu yang didasarkan pada Teorema Dekomposisi dalam jaringan di mana waktu aktivitasnya belum diketahui, himpunan kabur (Susilo, 2006). Rudhito et al., (2008), misalkan karena masih pada tahap perancangan, data- telah dibahas suatu aljabar dengan elemen-elemennya data mengenai waktu aktivitas belum diketahui secara berupa interval dengan operasi maximum dan pasti maupun distribusinya. Waktu aktivitas ini dapat penjum lahan yang didefinisikan di dalamnya. diperkirakan berdasarkan pengalaman maupun Pemodelan jaringan dengan pendekatan aljabar max- pendapat dari para ahli maupun operator jaringan plus, graf untuk jaringan dinyatak an dengan tersebut. Untuk itu waktu aktifitas jaringan dimodelkan menggunakan matriks, dengan unsur-unsurnya dalam suatu bilangan kabur (fuzzy number). Akhir-akhir menyatakan waktu aktifitas antar titik pada jaringan ini telah berkembang pemodelan jaringan yang tersebut. Dengan demikian pemodelan jaringan dengan melibatkan bilangan kabur. Untuk masalah penjadwalan waktu aktifitasnya yang berupa bilangan kabur, dengan yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada pendekatan aljabar max-plus, akan terkait dengan Chanas dan Zielinski, (2001), sedangkan untuk masalah matriks yang unsur-unsurnya berupa bilangan kabur. model jaringan antrian yang melibatkan bilangan kabur Untuk itu dalam makalah ini akan dibahas matriks atas dapat dilihat pada Luthi dan Haring, (1997). aljabar max-plus interval, di mana operasi-operasinya merupakan perluasan dari operasi-operasi pada aljabar max-plus interval. Pada makalah ini akan dapat mempermudah pengoperasiannya. *Telp: +6285842842425 Email: [email protected] Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval 95 Aljabar Max-Plus dan Matriks Atas Aljabar et al., (2008). Interval (tertutup) dalam Rmax adalah suatu Max-Plus. Dalam bagian ini dibahas konsep dasar matriks atas aljabar max-plus. Pembahasan himpunan bagian dari Rmax yang berbentuk x = [ x , x ] = { x Rmax  x m x m x }. Bilangan x  Rmax dapat selengkapnya dapat dilihat pada Baccelli et al., (1992) dinyatakan sebagai interval x = [x, x]. Didefinisikan I(R) dan Rudhito, (2003). = {x = [ x , x ]  x , x  R , ε  m x m x }  {[ε, ε]}. Pada I(R) didefinisikan operasi  dan  dengan (Litvinov & Sobolevskii, 2001): x  y = [ x  y , x  y ] dan x  y = [ x  y , x  y ] D i b e r i k a n Rε := R {ε } dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan : = . Pada Rε didefinisikan operasi berikut (Baccelli et al., (1992): a,b  Rε, a  b := max(a,b) dan a  b : = a  b. Dapat ditunjukkan bahwa (Rε, , ) merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε =  dan elemen satuan e = 0. Lebih lanjut (Rε, , ) merupakan semifield yaitu bahwa (R, , ) merupakan , x, y  I(R). Misalnya: [1, 1]  [1, 3] = [1, 3] dan [1, 1]  [1, 3] = [0, 4]. Dapat ditunjukkan bahwa (I(R),  ,  ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral  = [ε, ε] semiring komutatif di mana untuk setiap a  R, terdapat dan elemen satuan 0 = [0, 0]. Lebih lanjut (I(R),  ,  ) a sehingga berlaku a  (a) = 0. Kemudian (Rε, , ) merupakan semiring idempoten komutatif. Selanjutnya disebut dengan aljabar max-plus, yang selanjutnya (I(R),  ,  ) disebut dengan aljabar max-plus interval yang cukup dituliskan dengan I(R)max. cukup dituliskan dengan Rmax. Dalam hal urutan pengoperasian (jika tanda kurang Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval I(R)max. tidak dituliskan), operasi  mempunyai prioritas yang Bagian ini merupakan bagian utama pembahasan lebih tinggi dari pada operasi . Karena (Rmax, ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka relasi “ m ” yang didefinisikan pada Rmax dengan x m y  x  y = y merupakan urutan parsial pada Rmax. Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada Rmax. Karena Rmax makalah ini. Operasi  dan  pada I(R)max di atas dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam n I(R) m seperti dalam definisi berikut. max Definisi 1. m n Didefinisikan I(R) max : = {A = (Aij)Aij  I(R)max, untuk merupakan semiring idempoten, maka operasi  dan i = 1, 2, ..., m ,  konsisten terhadap urutan  m , yaitu  a, b, c  Definisi 2. Rmax, jika a  m b, maka a  c  m b  c, dan a  c  m b  c. Aljabar max-pus Rmax tidak memuat pembagi nol yaitu  x, y  Rε berlaku: jika x  y = ε maka x = ε atau y = ε. Operasi  dan  pada Rmax di atas dapat diperluas m n max untuk operasi-operasi matriks dalam R : = {A = (Aij)Aij  Rmax, untuk i = 1, 2, ..., m dan j = n 1, 2, ..., n}. Khususnya untuk A, B  R nmax dan α ∈ Rmax didefinisikann(α  A)ij = α  Aij , (A  B)ij = Aij  Bij Aik  Bkj . dan (A  B) = ij  k 1 m n Dapat ditunjukkan bahwa ( R max , ) merupakan semigrup komutatif idempotent dan ( R merupakan semiring idempoten. Relasi n n max , , ) m yang m n didefinisikan pada R max dengan A m B  A  B = B merupakan urutan parsial. Operasi  dan  konsisten terhadap urutan m n Matriks A, B  I(R) max dikatakan sama jika Aij = B A Bij , yaitu jika ij = ij dan A ij = Bij untuk setiap i dan j. Definisi 3. m n i) Diketahui   I(R) max , A, B  I(R) max . Didefinisikan operasi perkalian skalar  dengan   A adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: (  A)ij =   Aij, dan operasi  dengan A  B adalah matriks yang unsur ke-ij-nya : (A  B)ij = Aij  Bij untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. m p p n ii) Dik etahui A  I(R) max , B  I(R) max . Didefinisikan operasi  dengan A p B adalah matriks A ik  B kj untuk i yang unsur ke-ij-nya: (A  B)ij =  = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Berikut diberikan beberapa contoh perhitungan operasi-operasi dalam matriks interval. dalam semimodul atas Rmax. Aljabar Max-Plus Interval. Dalam bagian ini dibahas konsep dasar aljabar max-plus interval. Pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada Rudhito k 1 Contoh 1 n n . Operasi m dalam R max  dan perkalian skalar  konsisten terhadap urutan j = 1, 2, ..., n}. Matriks anggota m n I(R) max disebut matriks interval max-plus. i). [3, 4]  [ 4, 6]   [0, 0]   [ 1, 1] [ε , ε ]  =  [0,1] [ 3,2] Jurnal Natur Indonesia 13(2): 94-99 96  [3, 4]  [0, 0] [3, 4]  [ 4, 6]    [ 3 , 4 ]  [  1 , 1 ] [3, 4]  [ε , ε ]   =  [3, 4]  [0,1] [3, 4]  [ 3,  2]   Rudhito, et al. [3, 4] [7,10]   [2, 5] [ε , ε ]  . [3, 5] [0, 2]   [1, 3] [2, 3]  [2, 2] [ 5,  2] ii).     = [ ε , ε ] [  3 , 1 ]    [1, 4] [ 1, 0]  n n max Didefinisikan matriks E I(R dengan (E)ij : 0 , jika i  j =  . Didefinisikan pula matriks    ε , jika i  j I(R) n n max , dengan ( )ij := untuk setiap i dan j. Contoh 2 m n tertutup terhadap operasi Perhatikan bahwa I(R) max [1, 3]  [2, 2] [2, 3]  [ 5,  2] [2, 3] [2, 3]    =  .  [1, 4] [ 1,1] [ε , ε ]  [1, 4] [ 3,1]  [ 1, 0]   , hal ini akibat dari sifat ketertutupan operasi  pada I(R)max. Selanjutnya dengan memperhatikan sifat-  [ε , ε ] [1,4]    [ 1,1] [0, 0] [6, 8] [2, 6] [0, 2] = iii).      [ε , ε ] [3, 5] [2, 2] [ 2,1] [ 4, 5] sehingga relasi “Im” yang didefinisikan pada I(R) m n sifat pada Teorema 1 di atas nampak bahwa (I(R max    merupakan semigrup komutatif idempotent, Im B m n max A  B = B merupakan urutan parsial. Perhatikan bahwa A  B = B  Aij  Bij = dengan A Bij  Aij Im Bij Aij m Bij dan setiap i dan j. Lebih lanjut I(R) =  [ε , ε ]  [2, 6]  [ 4, 7] [0, 5]  [0, 2]  [10,13]   [ε , ε ]  [5,11]  [0,1] [ε , ε ]  [3, 7]  [6, 7]  =  [ 4, 7] [10,13] .  [5,11] [6, 7]  Sejalan dengan Teorema 2.1.11 dalam Rudhito (2003) diperoleh diperluasannya untuk versi matriks interval dalam Teorema berikut. Teorema 1. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar interval  dan , dan sebarang matriks interval A , B dan C asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi. m B ij untuk A ij m n max merupakan n n max , ,  ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral semimodul atas I(R)max, sedangkan (I(R) adalah matriks  dan elemen satuan adalah matriks E. n n Perhatikan bahwa (I(R) max ,  ,  ) bukan semiring n n komutatif , hal ini sebagai akibat dari R max yang bukan merupakan semiring komutatif. m n Karena (I(R) max ,  ) merupakan semigrup idempoten, maka relasi “ Im ” yang didefinisikan pada m n I(R) max konsisten terhadap operasi terhadap urutan  konsisten m n Im dalam I(R) max , yaitu jika A Im B, m n maka A  C Im B  C,  A, B, C  I(R) max . Karena n n (I(R) max ,  ,  ) merupakan semiring idempoten, maka operasi  konsisten terhadap urutan Im n n dalam I(R) max , yaitu jik a A Im B, m aka n n A  C Im B  C,  A, B, C  I(R) max . Untuk A  i) (A  B)  C = A  (B  C) mp p n mp I(R) max , B  I(R) max dan C  I(R) max , berdasarkan sifat ii) AB = B A distributif, yaitu sifat v) pada Teorema 1 diatas, berlaku iii) (A  B)  C = A  (B  C) bahwa: jika A Im B maka A  B = B  (A  B)  C iv) A  (B  C) = (A  B )  (A  C) v) (A  B)  C = (A  C )  (B  C) = B  C  (A  C)  (B  C) = B  C  A  C Im B  C. vi)   A=A   vii)   (  A) = (   )  A viii)   (A  B ) = (  A )  B = A  (  B) ix) (   )  A = (  A)  (  A) x)   (A  B) = (  A)  (  B) xi) A  A=A. Bukti: Sifat-sifat di atas mengikuti definisi operasi pada Definisi 2 di atas dan sifat-sifat operasi pada I(R)max. n n Pangkat k dari matriks A  I(R) max , dalam aljabar max-plus interval didefinisikan dengan: A= En dan = A =A A-1 untuk k = 1, 2, ...  Untuk mempermudah dalam mengoperasikan matriks interval berikut dibahas konsep mengenai interval matriks dari suatu matriks interval. Definisi 4 m n Untuk setiap matriks interval A  I(R) max m n didefinisikan matriks A = ( A ij )  R max dan A = ( A ij ) m n  R max , yang berturut-turut disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas matriks interval A. Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval Contoh 3 [ 1,1] [0, 0] [6, 8] Diberikan matriks interval A =  [ε , ε ] [3, 5] [2, 2] ,  1 0 6  1 0 8 maka A =   dan A =  .  ε 3 2 ε 5 2 m n Diberikan matriks interval A  I(R) max , dengan A dan A berturut-turut adalah matriks batas bawah dan matriks batas atasnya. Didefinisikan interval matriks I( R m n max )b = { [ A , A ]  A  I(R) m n max m A} dan }. Contoh 4 [ 1,1] [0, 0] [6, 8] Diberikan matriks interval A =  .  [ε , ε ] [3, 5] [2, 2] Interval m atriks dari   1 0 6   ε 3 2 ,     1 0 8   ε 5 2 [A,A] = A adalah  .  Definisi 6 m n Interval matriks [ A , A ] dan [ B , B ] I( R max )b dikatakan sama jika A = B dan A = B . Berdasarkan sifat kekonsistenan relasi urutan m dalam matriks, didefinisikan operasi-operasi interval matriks berikut. m n i) Diketahui   I(R)max, [ A , A ], [ B , B ] I( R max )b. Didefinisikan   [ A , A ]= [   A , [ A , A ]  [B , B ] = [ A B , A  B ]   A ] dan m p p n ii) Diketahui [ A , A ] I( R max )b, [ B , B ]  I( R max )b . Didefinisikan[ A , A ]  [ B , B ]= [ A  B , A  B ]. Teorema 2. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar interval  dan , dan sebarang interval matriks [ A , A ], [ B , B ] dan [ C , C ], yang berturut-turut merupakan interval matriks dari matriks interval A, B dan C, asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi. i). ([ A , A ]  [ B , B ])  [ C , C ] = [ A , A ]  ([ B , B ]  [ C , C ]) ii). =[ A , A ]  (  [ B , B ]) ix). (  b )  [ A , A ] = (a  [ A , A ])  (  [ A , A ]) x).    ([ A , A ]  [ B , B ]) =(  [ A , A ])  Bukti: Sifat-sifat di atas mengikuti definisi operasi pada interval matriks di atas dan sifat-sifat operasi pada matriks atas aljabar max-plus Rmax. m n Untuk setiap [ A , A ], [ B , B ]  I( R max )b dan a  A , dan  m  . Karena operasi  dan operasi perkalian skalar  pada semimodul I(R)max berlaku A [ A , A ]  ([ B , B ]  [ C , C ]) [ A , A ]  ([ B , B ]  [ C , C ]) = ([ A , A ]  [ B , B ])  ([ A , A ]  [ C , C ]) v). ([ A , A ]  [ B , B ])  [ C , C ] = ([ A , A ]  [ C , C ])  ([ B , B ]  [ C , C ]) vi).   [ A , A ] = [ A , A ]   vii).  (  [ A , A ]) = (   )  [ A , A ] m m n atas R max konsisten terhadap urutan “  m ”, maka R max berlaku A  B m A  B dan   A m   A . Jadi [ A Å B , A  B ] dan [   A ,   A ] merupakan n interval-interval matriks. Jadi I( R m ) tertutup terhadap max b operasi  dan perkalian skalar  seperti yang didefinisikan di atas. Selanjutnya sesuai dengan definisi operasi pada interval matriks di atas dan sifat-sifat pada n Teorema 2 nampak bahwa I( R m ) merupakan max b semimodul atas I(R)max. n Untuk setiap [ A , A ], [ B , B ]  I( R nmax )b berlaku A m A dan B m B . Karena operasi perkalian  pada semiring konsisten terhadap urutan “ m ”, maka A  B . Jadi [ A  B , A  B ] merupakan interval n matriks. Jadi I( R nmax ) b tertutup terhadap operasi perkalian seperti yang didefinisikan di atas. Selanjutnya menurut sifat-sifat pada Teorema 2 nampak bahwa n n bahwa (I( R max ) b ,  ,  ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral adalah interval matriks [] dan elemen satuan adalah interval matriks [E, E]. n Teorema 3. Untuk setiap A dan B  I(R) m , max berlaku i).   A =   A dan   A =   A , ii) A  B = A  B dan A  B = A  B Bukti: i). Karena (  A) ij = [ α , α ]  [ A ij , A ij ] = [ α  A ij , α  A ij ], maka   A ij = α  A ij dan   A ij j = =  A = [ A , A ]  [ B , B ] =[ B , B ]  [ A , A ] iii). ([ A , A ]  [ B , B ])  [ C , C ] = iv). viii).   ([ A , A ]  [ B , B ]) = (  [ A , A ])  [ B , B ] (  [ B , B ]) xi). [ A , A ]  [ A , A ] = [ A , A ]. Definisi 5 m n dari A, yaitu [ A , A ] = {A  R max A 97 ii). α  A ij , untuk setiap i dan j, sehingga α  A dan   A = α  A . Karena Karena (A  B) ij = A ij  B ij = [ A ij , A ij ]  [ B ij , B ij ] =[ A ij  B ij , A ij  B ij ], maka (A  B)ij = A ij  Bij dan (A  B) = A ij  Bij , ij untuk setiap i dan j, sehingga A  B = A  B dan A B = A  B . n n , Teorema 4. Untuk setiap A dan B I(R) max berlaku A  B = A  B dan A  B = A  B . Jurnal Natur Indonesia 13(2): 94-99 98 Rudhito, et al. m n Karena semimodul I(R) max isomorfis dengan Bukti: n Karena (A  B) ij  = k 1 A ij  B ij = n m n semimodul I( R max )b, maka dapat disimpulkan bahwa k 1 m n untuk setiap matriks interval A  I(R) max selalu dapat ditentukan dengan tunggal interval matriks [ A , A ]   n [ A ik , A ik ]  [ Bkj , Bkj ] =  [ A ik Ä Bkj , A ik Ä Bkj ] = k 1 n n [  k 1 A ik  Bkj ,  k 1 A ik  Bkj ], mak a n  k 1 (A  B)ij = n A ik  B kj dan (A  B)ij = A k 1 ik Ä B kj , untuk setiap i dan j, sehingga A  B = A  B dan A  B = A B. n atas I(R) max Teorema 5. Semimodul I(R) m max m n isomorfis dengan semimodul I( R max )b atas I(R)max Bukti: m n m n b Didefinisikan pemetaan f : I(R) max  I( R max ) , f (A) = m n [ A , A ],  A  I(R) max . i) m n Ambil sembarang A dan B  I(R) max , sedemikian hingga A = B. Karena A = B, maka A ij = Bij dan A ij = Bij untuk setiap i dan j. Hal ini berarti A = B dan m n I( R max )b, demikian juga sebaliknya. Dengan demikiaan matriks interval A  I(R) dapat dipandang sebagai m n interval matriks [ A , A ]  I( R max )b. Interval matriks m n [ A , A ]  I( R max ) b disebut interval matriks yang n n bersesuaian dengan matriks interval A  I(R) max dan dilambangkan dengan A  [ A , A ]. Dapat disimpulkan juga bahwa   A  [   A , [ A  B , A  B ].   A ] dan A  B  n n Teorema 6. Semiring (I(R) max ,  ,  ) isomorfis n n dengan semiring (I( R max )b,  ,  ). n n Bukti: Didefinisikan pemetaan f : I(R) max  n n n n ) b dengan f ((A) = [ A , A ],  A  I(R) max . I( R max Menurut pembuktian Teorema 5 di atas pemetaan f merupakan pemetaan bijektif. Ambil sembarang A dan n n B  I(R) max , maka seperti pada pembuktian pada Teorema 5 di atas diperoleh f (A  B) = f (A)  f (B). Selanjutnya f (A  B) = [ (A  B) , A  B = [ A  B , A  B ] = [ A , A ]  [ B , B ] = f (A)  f (B). Jadi terbukti f merupakan suatu isomorfisma semiring. Dengan kata A = B , sehingga [ A , A ] = [ B , B ]. Jadi f (A) = f (B) yang berarti f merupakan pemetaan. n n n n lain semiring I(R) max isomorfis dengan semiring I( R max ). m n b ii) Ambil sembarang[ A , A ]  I( R max ) , maka n n semiring I( R max )b, maka dapat disimpulkan bahwa A , A  R max , sehingga [ A ij , A ij]  I(R)max , i dan A  B  [ A  B, A  B ] . Untuk perkalian matriks mp p n interval A  I(R) max dan B  I(R) max juga berlaku A  B m n m n j. Jadi terdapat A  I(R) max , dengan Aij = [ A ij , A ij], m n b ),  i dan j. Jadi untuk setiap [ A , A ]  I( R max m n terdapat A  I(R) max sedemikian hingga f (A) = [ A , A ], yang berarti f surjektif. n n Karena semiring I(R) max isomorfis dengan  [ A  B, A  B ] . Hal ini dapat dijelaskan sebagai mp berikut. Matriks interval A  I(R) max dan B  I(R) dapat diperbesar ukurannya dengan menambahkan sejumlah unsur e sedemikian hingga membentuk matriks interval k k A# dan B#  I(R) max , dengan k = max(m, p, n). Matriks m n iii) Ambil sembarang A dan B  I(R) max , sedemikian hingga f(A) = f(B), yaitu [ A , A ] = [ B , B ]. Karena A dan B berturut-turut merupakan submatriks A# dan B# yang letaknya di sebelah kiri atas, yaitu [ A , A ] = [ B , B ], maka A = B dan A = B . Hal ini berarti untuk setiap i dan j berlaku i A ij = B ij dan A ij = B ij, sehingga [ A ij , A ij ] = [ B ij , B ij]. Jadi A = B, yang berarti f injektif. iv) Ambil sembarang A dan B I(R) m n max dan sembarang α  I(R)max, maka f (  A) = [   A ,   A ] = [ α  A , α  A ] = [ α , α ]  [ A , A ] =   f(A) dan f (A  B) = [ (A  B) , A  B ] = [ A  B , A  B ] = [ A , A ]  [ B , B ] = f (A) f (B). # A = A ε   , ε ε  A  B ε     ε ε # B = B ε    , sehingga A#  B# = ε ε  k k m n I(R) max , di mana A  B  I(R) max . k k Karena semiring I(R) max isomorfis dengan semiring k k )b, maka A#  B#  [ A #  B # , A #  B # ] , yang I( R max m n berakibat bahwa A  B  [ A  B, A  B ]  I( R max )b. Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval Contoh 3 99 himpunan semua matriks interval persegi isomorfis [ 1,1] [0, 0] [6, 8]  1 0 6 A =  , A=  , A=  [, ] [3, 5] [2, 2]   3 2 [1,4]   [, ]   1 0 8 [2, 6] [0, 2] , B= . B =    5 2 [ 2,1] [ 4, 5]   1    2 0 , B =  2 4   4   4 10   7 13  6 2 , A  B =   , A B =  . 5 6  1 5    11 7  Perhatikan bahwa A  B  [ A  B, A  B ] =  4 10  7 13    ,   ,  5 6  11 7   dengan semiring himpunan interval matriks persegi yang bersesuaian. Sebagai akibatnya, operasi-operasi pada matriks interval dapat dilakukan melalui interval matriksnya. UCAPAN TERIMAKASIH Penulis mengucapkan terima kasih kepada Yayasan Sanata Dharma Yogyakarta yang telah membiayai studi dan penelitian ini di Program S3 Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta dengan Nomor Kontrak K-1260/Y-15/3-15/ IX/2007. sehingga A  B =  [ 4, 7] [10,13] .  [5,11] [6, 7]  KESIMPULAN Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa himpunan semua matriks interval yang dilengkapi dengan operasi perkalian skalar max-plus dan penjumlahan max-plus merupakan semimodul. Himpunan semua matriks persegi atas aljabar maxplus interval yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan max-plus dan perkalian max-plus merupakan semiring idempoten. Semimodul himpunan semua matriks interval isomorfis dengan semimodul himpunan interval matriks yang bersesuaian. Semiring DAFTAR PUSTAKA Bacelli, F et al. 2001. Synchronization and Linearity. New York: John Wiley dan Sons. Chanas, S. & Zielinski, P. 2001. Critical path analysis in the network with fuzzy activity times. Fuzzy Sets and Systems. 122: 195-204. Krivulin, N.K. 2001. Evaluation of Bounds on Service Cycle Times in Acyclic Fork-Join Queueing Networks. International Journal of Computing Anticipatory Systems 9: 94-109. Litvinov, G.L. & Sobolevskii, A.N. 2001. Idempotent Interval Anaysis and Optimization Problems. Reliab. Comput 7: 353377. Lüthi, J. & Haring, G. 1997. Fuzzy Queueing Network Models of Computing System s. Proceedings of the 13th UK Performance Engineering Workshop, Ilkley, UK, Edinburgh University Press, July 1997. Rudhito, A. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis: Program Pascasarjana, Yogyakarta: UGM. Rudhito, A. Wahyuni, S. Suparwanto, A. & Susilo, F. 2008. Aljabar Max-Plus Interval. Prosiding Seminar Nasional Matematika S3 UGM. Yogyakarta. 31 Mei 2008. Susilo, F. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Edisi kedua. Yogyakarta: Graha Ilmu.