Sobre o crivo de Eratóstenes-Legendre

Marcus Vinicius Silva Nascimento Sobre o crivo de Eratóstenes-Legendre CAMPINAS 2015 i ii vi Abstract Our aim in this work is to make a study about the sieve method. The motivation lies in the intent of applying this idea in a particular situation. We splitted the study into three parts. The first part deals with definitions and basic concepts. In the second we present the principle of inclusion-exclusion while being something well known deserves special mention given its importance as a tool in our work. In the third and final part, we make a historical contextualization and a description of the evolution of the sieve EratosthenesLegendre ideas. The choice of sieve, among many others, has been made taking into account two points. The first is that the Eratosthenes-Legendre sieve is the simplest among the sieves studied the theory of sieves. The second point is related to the fact that this sieve provide the general idea of combinatorial sieve, since the more sophisticated sieves are extensions of its basic ideas. Keywords: Sieve method, Eratosthenes sieve method, Prime numbers, Combinatorial analysis. Resumo Nosso objetivo, nesse trabalho, é o de fazer um estudo sobre o método do crivo. A motivação reside no desejo de aplicar essas ideias a uma situação particular. Dividimos nosso trabalho em três partes. Na primeira fornecemos apenas as definições e conceitos básicos. Na segunda apresentamos o principio da inclusão-exclusão que embora sendo algo bastante conhecido merece destaque especial dada a sua importância como ferramenta no nosso trabalho. Na terceira e última parte, fazemos uma contextualização histórica e uma descrição da evolução das ideias do crivo de Eratóstenes-Legendre. A escolha desse crivo, dentre tantos outros, foi feita tendo em vista dois pontos. O primeiro é que o crivo de Eratóstenes-Legendre é o mais simples dentre os crivos estudados na teoria dos crivos. O segundo ponto está relacionado com o fato deste crivo fornecer a ideia geral dos crivos combinatoriais, uma vez que os crivos mais sofisticados são extensões de suas ideias básicas. Palavras-chave: Método de crivo, Eratóstenes, Método de crivo de., Números primos, Análise combinatória. vii viii Sumário Agradecimentos xi Introdução 1 1 Conceitos Básicos 1.1 Teoria de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Conceitos elementares da teoria de conjuntos 1.1.2 União e Intersecção . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Complemento e Potência . . . . . . . . . . . 1.1.4 Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Combinatória Enumerativa . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Princípios elementares de contagem . . . . . 1.2.2 Permutações e Combinações . . . . . . . . . 1.3 Fórmulas Assintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Notações e Resultados . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Técnica de Soma Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4 7 9 10 10 14 16 16 19 2 O Principio da Inclusão Exclusão 23 2.1 O principio da inclusão-exclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Uma generalização do principio da inclusão-exclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 O Método do crivo 3.1 Os crivos de Eratóstenes e Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 O crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 O crivo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Uma estimativa para Þ(𝑥) utilizando o crivo de Legendre . 3.2 Os Problemas de Crivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 O crivo de Eratóstenes - Legendre associado ao Truque de Rankin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Uma versão moderna para o crivo de Eratóstenes-Legendre 3.4 Algumas Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 31 33 36 40 . . . . . . . . . . 46 . . . . . . . . . . 47 . . . . . . . . . . 58 60 ix x Agradecimentos Tão fundamental quanto o fazer é, criar condições para, que o fazer seja feito. Essas condições surgem, sob as mais diversas formas, por meios de pessoas e instituições. E não são poucos aqueles que criaram tais condições. Dedico portanto este espaço, àqueles que de alguma forma criaram condições para que este trabalho fosse feito. Começo agradecendo à companheira que escolhi para vida, minha querida Leticia, pela paciência, carinho e atenção. Aos familiares, minha mãe Dora, pai Elival, irmã Juliana, sogra Cida, sogro Fernando e cunhadas Suzi e Cecilia pela ajuda rotineira e cotidiana. Agradeço também aos amigos do instituto e os da boemia pelo convívio e por despertar em mim algo extremamente necessário, para recarregar as energias e limpar a cabeça para novas ideias, o ócio. Em particular, agradeço ao amigos Adson, Arnoldo, Carpegiane, Denise, Felipo, Jorge, Lino, Maíra, Nelson, Simone, Tatiana, Tatiane, Valter. Agradeço imensamente, ao meu querido orientador Prof. Plínio pela paciência e por suas, sempre valiosas, observações. Agradeço, ainda, à banca pela leitura e por suas importantes observações. Por fim agradeço à Capes pelo apoio financeiro e ao instituto IMECC. xi xii Introdução As ideias de crivo certamente cresceram a partir de um processo chamado crivo de Eratóstenes proposto por volta do Século III a.C., cuja a ideia era eliminar, de uma tabela, aqueles elementos que por alguma razão eram considerados indesejaveis. Os processos atuais de crivos, no entanto, têm uma perspectiva diferente. Enquanto o crivo de Eratóstenes, na sua versão original, se preocupa em obter elementos atendendo a condições dadas, os crivos atuais se preocupam em contar o número de elementos atendendo a essas condições. A teoria moderna de crivos teve início com os trabalhos de Viggo Brun (1885-1978) e até 30 anos atrás, três métodos de crivos eram considerados como os principais pilares da teoria, a saber, crivo de Brun, crivo de Selberg e o grande crivo de Linnik. Segundo os autores de [2], a versão moderna do crivo de Eratóstenes (tambem conhecido como crivo de Eratóstenes-Legendre) quando associado ao truque de Rankin torna-se tão poderoso quanto o crivo de Brun. Desde o seu surgimento o crivo de Eratóstenes têm sido revisado e reinterpretado por vários matemáticos. Neste trabalho apresentamos a evolução dessas ideias desde sua origem até sua versão moderna e apresentamos, ao leitor, outras ideias comuns aos processos de crivo. ”Fundamental progress has to do with the reinterpretation of basic ideas” Alfred N. Whitehead 1 Capítulo 1 Conceitos Básicos Neste primeiro capítulo vamos revisar importantes conceitos e definições, assim como os resultados obtidos por meio deles, que serão utilizados ao longo desse trabalho. Começaremos essa revisão tratando de um assunto que permeia boa parte da matemática, a teoria de conjuntos. Não temos a intenção de um aprofundamento no tema. Nosso objetivo aqui é o de apresentar as ideias fundamentais da teoria de conjuntos que serão necessárias para o embasamento e o desenvolvimento do nosso texto. O livro adotado para essa primeira parte foi Teoria ingênua de conjuntos escrito por Paul Halmos [6]. 1.1 Teoria de conjuntos 1.1.1 Conceitos elementares da teoria de conjuntos O caminho adotado, para apresentar as ideias fundamentais da teoria de conjuntos, é o axiomático. Nesse sentido, vamos seguir o caminho trilhado por Paul Halmos, no livro citado, de um modo bem semelhante e as vezes até coincidente. Como no trabalho de Halmos não daremos uma definição para os conceitos de conjuntos pertinência de um elemento a um conjunto. A situação é análoga ao tratamento dado por Euclides à geometria em seu livro Os Elementos. Euclides, naquele contexto, não define pontos e retas, ele simplesmente admite a existência de tais objetos e a partir de um conjunto de regras ele deduz resultados. Portanto, no que segue, estaremos admitindo que as ideias de conjunto e de pertinência são conceitos primitivos. Conjuntos, como intuímos, podem possuir elementos ou não. Se um conjunto 𝐴 não possui elementos dizemos que ele é vazio e denotamos tal conjunto por ∅. Sendo 𝑎 um elemento que pertence ao conjunto 𝐴 denotamos 𝑎 ∈ 𝐴, e no caso em que 𝑎 não é um elemento do conjunto 𝐴 denotamos 𝑎 ̸∈ 𝐴. O conceito primitivo de um elemento pertencer a um conjunto produz uma noção de igualdade entre conjuntos. Essa relação fundamental, entre tais conceitos, está estabelecida pelo axioma, seguinte: 2 Axioma 1.1.1 (Axioma da Extensão). Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. A igualdade entre os conjuntos 𝐴 e 𝐵 será denotada por 𝐴 = 𝐵 e no caso em que 𝐴 e 𝐵 não são conjuntos iguais denotamos 𝐴 ̸= 𝐵. Vamos estabelecer, agora, uma nova relação entre conjuntos através da qual será possível reformular o Axioma (1.1.1). Sejam 𝐴 e 𝐵 conjuntos dados, dizemos que 𝐴 está contido em 𝐵, 𝐴 está incluído em 𝐵 ou ainda que 𝐴 é um subconjunto de 𝐵 se todos os elementos de 𝐴 são ainda elementos de 𝐵 e representaremos esse fato por 𝐴 ⊆ 𝐵. O Axioma da Extensão em termos dessa nova relação entre conjuntos, chamada inclusão, estabelece que, 𝐴 = 𝐵 ⇐⇒ 𝐴 ⊆ 𝐵 e 𝐵 ⊆ 𝐴. (1.1.1) Essa nova caracterização fornece um método para se demonstrar a igualdade entre conjuntos. Isto é, para mostrar que 𝐴 = 𝐵 é necessário e suficiente mostrar que, 𝐴 ⊆ 𝐵 e 𝐵 ⊆ 𝐴. Como observação é importante notar que as relações acima, de pertinência e de inclusão, são essencialmente diferentes. Para destacar uma das diferenças sabemos que a relação de inclusão é reflexiva uma vez que, por definição, todos os elementos de um dado conjunto 𝐴 pertencem a 𝐴, isto é, 𝐴 ⊆ 𝐴. Por outro lado não é de todo verdade que 𝐴 ∈ 𝐴. E isso é suficiente para garantir uma difença entre as relações de pertinência e de inclusão. Um fato muito utilizado, na teoria de conjuntos, é a construção de novos conjuntos a partir de conjuntos já existentes. Deste ponto até o final desta seção nosso objetivo será o de estabelecer alguns mecanismos para a construção desses novos conjuntos. O primeiro passo nesse sentido é dado pelo axioma: Axioma 1.1.2 (Axioma da Especificação). A todo conjunto 𝐴 e a toda condição 𝑆(𝑥) podemos associar um conjunto 𝐵 cujos elementos são exatamente aqueles elementos 𝑥 de 𝐴 para os quais a condição 𝑆(𝑥) vale. O axioma acima estabelece que qualquer afirmação sensata, feita a elementos de um conjunto, especifica um novo conjunto. Uma consequência imediata do Axioma (1.1.1) é que o Axioma da Especificação determina o conjunto 𝐵 de maneira única, uma vez que, 𝑏 ∈ 𝐵 ⇐⇒ 𝑏 ∈ ¶𝑥 ∈ 𝐴 ♣ 𝑆(𝑥)♢ 3 o que implica, 𝐵 = ¶𝑥 ∈ 𝐴 ♣ 𝑆(𝑥)♢ onde a expressão 𝑆(𝑥) denota uma afirmação feita ao elemento 𝑥 ∈ 𝐴. O próximo axioma garante que para quaisquer dois conjuntos existe um conjunto que contém ambos e nada mais. Axioma 1.1.3 (Axioma da Paridade). Para dois conjuntos quaisquer existe um conjunto 𝐴 a que ambos pertencem. O Axioma (1.1.3) não exclui a possibilidade de existirem mais do que dois elementos em 𝐴. No entanto, se 𝑎 e 𝑏 são conjuntos, e se 𝐴 é um conjunto tal que 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐴, podemos aplicar o Axioma (1.1.2) para 𝐴 com a sentença: 𝑥 = 𝑎 ou 𝑥 = 𝑏. O resultado é o conjunto, ¶𝑥 ∈ 𝐴 ♣ 𝑥 = 𝑎 ou 𝑥 = 𝑏♢, e este conjunto, obviamente, contém apenas 𝑎 e 𝑏. A representação usual para esse último conjunto é, ¶𝑎, 𝑏♢. 1.1.2 União e Intersecção Axioma 1.1.4 (Axioma da Reunião). Para toda coleção de conjuntos existe um conjunto que contém todos os elementos, de cada um dos conjuntos, da coleção dada. Em termos de símbolos, o axioma acima pode ser reescrito como: (∀ 𝒞) (∃ 𝑈 ) (𝑢 ∈ 𝑈 ⇐⇒ 𝑢 ∈ ¶𝑥 ♣ 𝑥 ∈ 𝑋 para algum 𝑋 em 𝒞♢). O conjunto 𝑈 , acima, é chamado a união (ou reunião) dos conjuntos 𝑋 da coleção 𝒞 e garantimos, pelo Axioma da Extensão, a unicidade desse conjunto, isto é, 𝑈 = ¶𝑥 ♣ 𝑥 ∈ 𝑋 para algum 𝑋 em 𝒞♢. Uma outra maneira, bastante utilizada, para representar o conjunto 𝑈 é dada por, ⋃︁ 𝑈= 𝑋 𝑋∈𝒞 e no caso em que a coleção 𝒞 é dada por ¶𝐴, 𝐵♢, isto é 𝒞 = ¶𝐴, 𝐵♢, temos a representação ⋃︁ ¶𝑋 ♣ 𝑋 ∈ 𝒞♢ = 𝐴 ∪ 𝐵. Assim, pela caracterização (1.1.2) temos que, 𝐴 ∪ 𝐵 = ¶𝑥 ♣ 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵♢. Alguns fatos importantes, sobre a reunião de conjuntos, são listados abaixo: 4 (1.1.2) 1. 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴; 2. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴; 3. 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶; 4. 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴; 5. 𝐴 ⊆ 𝐵 se, e somente se, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵. Demonstração. 1. Claramente temos que 𝐴 ⊆ 𝐴∪∅. Suponha no entanto que 𝐴∪∅ ̸⊆ 𝐴. Então existe 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ∅ tal que 𝑥 ̸∈ 𝐴. Assim como 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ∅ temos que 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ ∅ ⇒ 𝑥 ∈ ∅ o que é um absurdo. Portanto, segue 𝐴 ∪ ∅ ⊆ 𝐴 e daí 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴. 2. Temos que 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵. Alem disso 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐵 ou 𝑥 ∈ 𝐴. Mas 𝑥 ∈ 𝐵 ou 𝑥 ∈ 𝐴 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐵 ∪ 𝐴. 3. Temos que 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵 ou 𝑥 ∈ 𝐶. Mas 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵 ou 𝑥 ∈ 𝐶 se, e somente se, 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ou 𝑥 ∈ 𝐶 se, e somente se, 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶. 4. Claramente temos que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐴. Suponha no entanto que 𝐴 ∪ 𝐴 ̸⊆ 𝐴. Então existe 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐴 tal que 𝑥 ̸∈ 𝐴. Como 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐴 então 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 o que é uma contradição. Portanto segue que 𝐴 ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴 e daí 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴. 5. Suponha que 𝐴 ⊆ 𝐵. Como 𝐵 ⊆ 𝐵 temos que 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐵, uma vez que para todo 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 temos que 𝑥 ∈ 𝐵. Desde que claramente 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 segue 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵. Por outro lado se 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 então para todo 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 temos 𝑥 ∈ 𝐵. Assim, para todo 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵. Ou seja, em particular, todo 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵, isto é 𝐴 ⊆ 𝐵. Uma outra operação, que têm vários pontos em comum com a união de conjuntos, é a intersecção de conjuntos. Sejam os conjuntos 𝐴 e 𝐵, definimos o conjunto intersecção entre 𝐴 e 𝐵 como segue, 𝐴 ∩ 𝐵 = ¶𝑥 ♣ 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 ♢. Alguns fatos sobre a intersecção são listados: 1. 𝐴 ∩ ∅ = ∅; 2. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴; 3. 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶; 4. 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴; 5. 𝐴 ⊆ 𝐵 se, e somente se, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴. 5 (1.1.3) Demonstração. 1. Primeiramente temos que ∅ ⊆ 𝐴 ∩ ∅, uma vez que, se ∅ ̸⊆ 𝐴 ∩ ∅ existiria 𝑥 ∈ ∅ tal que 𝑥 ̸∈ 𝐴 ∩ ∅ o que é um absurdo. Logo devemos ter ∅ ⊆ 𝐴 ∩ ∅. Por outro lado 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵 para todo 𝐵, de fato, se 𝐴 ∩ 𝐵 ̸⊆ 𝐵 existiria 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 tal que 𝑥 ̸∈ 𝐵. No entanto para todo 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 o que é uma contradição. Portanto 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵 para todo 𝐵. Em particular para 𝐵 = ∅ segue o resultado. 2. Temos que 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵. Além disso 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∈ 𝐴. Mas 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∈ 𝐴 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐴. 3. Temos que 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∈ 𝐶. Mas 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 e 𝑥 ∈ 𝐶 se, e somente se, 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) e 𝑥 ∈ 𝐶 se, e somente se, 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶. 4. Vimos em (1) que 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵 para todo 𝐵, portanto tomando 𝐵 = 𝐴 segue que 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝐴. Por outro lado é claro que para todo 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴. Portanto segue que 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐴. 5. Suponha que 𝐴 ⊆ 𝐵. Como necessariamente 𝐴 ⊆ 𝐴 temos que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐵, uma vez que para todo 𝑥 ∈ 𝐴 temos que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵. Assim, utilizando o fato de que 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 concluímos que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴. Por outro lado, se 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 então para todo 𝑥 ∈ 𝐴 temos 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵. Portanto, em particular temos que para todo 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ou seja 𝐴 ⊆ 𝐵. A formação de um conjunto intersecção a partir de dois conjuntos é um caso particular de uma operação muito mais geral que é estabelecida pelo axioma, Axioma 1.1.5 (Axioma da Intersecção). 1 Para cada coleção (não vazia) de conjuntos, existe um conjunto que contém os elementos comuns a todos os conjuntos da dada coleção. Em termos de símbolo o Axioma da Intersecção, acima, pode ser reescrito como: (∀ 𝒞) ( 𝒞 = ̸ ∅) (∃ 𝑉 ) (𝑣 ∈ 𝑉 ⇐⇒ 𝑣 ∈ ¶𝑥 ♣ 𝑥 ∈ 𝑋 para todo 𝑋 em 𝒞♢). O conjunto 𝑉 , acima, é chamado a intersecção dos conjuntos 𝑋 da coleção 𝒞 e garantimos, pelo Axioma da Extensão, a unicidade desse conjunto, isto é, 𝑉 = ¶𝑥 ♣ 𝑥 ∈ 𝑋 para todo 𝑋 em 𝒞♢. Uma outra maneira, bastante usual, de representar o conjunto 𝑉 é dada por, 𝑉 = ⋂︁ 𝑋. 𝑋∈𝒞 Em concordância com que estabelecemos no conjunto (1.1.3), no caso particular, em que 𝒞 = ¶𝐴, 𝐵♢ temos a representação, 1 Sob um ponto de vista completamente axiomático, temos que esse axioma é redundante uma vez que ele pode ser obtido por repetidas aplicações do Axioma da Especificação. 6 ⋂︁ ¶𝑋 ♣ 𝑋 ∈ 𝒞♢ = 𝐴 ∩ 𝐵. Os fatos estabelecidos a seguir nos dizem como relacionar as operações de união e intersecção. Sejam dados os conjuntos 𝐴,𝐵 e 𝐶. Então, 1. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶); 2. 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶). Demonstração. Vamos demonstrar aqui somente o item 1 uma vez que a demonstração do item 2 é análoga. Se 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) então, 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 ∪ 𝐶. Assim, 𝑥 pertence a 𝐴 e 𝑥 pertence ou a 𝐵 ou a 𝐶. Se 𝑥 pertence a 𝐵, e como 𝑥 pertence obrigatoriamente a 𝐴, segue que 𝑥 pertence a 𝐴 ∩ 𝐵. Na outra possibilidade 𝑥 pertence a 𝐶 e novamente pela obrigatoriedade de 𝑥 pertencer a 𝐴 segue que 𝑥 pertence a 𝐴 ∩ 𝐶. Como não existe outra possibilidade, temos que 𝑥 pertence a 𝐴 ∩ 𝐵 ou 𝑥 pertence a 𝐴 ∩ 𝐶 o que significa dizer que 𝑥 pertence a (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶). Isso mostra portanto que 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶). Seja agora 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶). Neste caso temos que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 ou 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐶. Em qualquer uma, das duas possibilidades, 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 pertence ou a 𝐵 ou a 𝐶, isto é 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶). Assim temos (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) e isso conclui a demonstração. 1.1.3 Complemento e Potência Vamos estabelecer, agora, a noção de diferença entre conjuntos. Sejam 𝐴 e 𝐵 conjuntos dados. Definimos a diferença 𝐵 ∖ 𝐴 por, 𝐵 ∖ 𝐴 = ¶𝑥 ∈ 𝐵 ♣ 𝑥 ̸∈ 𝐴♢. e chamamos esse conjunto de o complemento relativo de 𝐴 em 𝐵. Observe que nesta definição não foi necessário o fato de 𝐴 ser subconjunto de 𝐵. Em uma situação um pouco mais especifica, quando todos os subconjuntos 𝐴 a serem considerados são subconjuntos de 𝐵, podemos adaptar a noção de diferença entre conjuntos nesse contexto e estabelecer a noção de conjunto complementar. O complemento de um subconjunto 𝐴 de 𝐵, que denotaremos por 𝐴𝑐 , é o conjunto de todos aqueles pontos de 𝐵 que não pertencem à 𝐴, em símbolos, 𝐴𝑐 = ¶𝑥 ∈ 𝐵 ♣ 𝑥 ̸∈ 𝐴♢. Os fatos básicos sobre a complementação podem ser enunciados como segue. Sejam 𝐴, 𝐶 ⊆ 𝐵, então, 1. (𝐴𝑐 )𝑐 = 𝐴; 7 2. ∅𝑐 = 𝐵 e 𝐵 𝑐 = ∅; 3. 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅ e 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝐵; 4. 𝐴 ⊆ 𝐶 se, e somente se, 𝐶 𝑐 ⊆ 𝐴𝑐 . Demonstração. 1. Temos que 𝑥 ∈ (𝐴𝑐 )𝑐 se, e somente se, 𝑥 ̸∈ 𝐴𝑐 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴. 2. Por definição, temos que ∅𝑐 = ¶𝑥 ∈ 𝐵 ♣ 𝑥 ̸∈ ∅♢ = 𝐵. Por outro lado, 𝐵 𝑐 = ¶𝑥 ∈ 𝐵 ♣ 𝑥 ̸∈ 𝐵♢ = ∅. 3. Por definição, temos que 𝐴𝑐 = ¶𝑥 ∈ 𝐵 ♣ 𝑥 ̸∈ 𝐴♢, assim 𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅. Por outro lado, 𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝐵, uma vez que 𝐴 = ¶𝑥 ∈ 𝐵 ♣ 𝑥 ∈ 𝐴♢. 4. 𝐴 ⊆ 𝐶 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐶 se, e somente se, 𝑥 ̸∈ 𝐶 ⇒ 𝑥 ̸∈ 𝐴 se, e somente se, 𝑥 ∈ 𝐶 𝑐 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 se, e somente se, 𝐶 𝑐 ⊆ 𝐴𝑐 . Uma observação importante e útil, sobre complementação, conhecida como leis De Morgan são expressas pelas identidades abaixo, 1. (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 ; 2. (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵 𝑐 . Demonstração. Vamos demonstrar aqui somente o item 1 uma vez que a demonstração do item 2 é análoga. De fato, dado 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 temos que 𝑥 ̸∈ (𝐴 ∪ 𝐵). Assim, 𝑥 ̸∈ 𝐴 e 𝑥 ̸∈ 𝐵. Logo 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 e 𝑥 ∈ 𝐵 𝑐 e, portanto 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 , daí (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 ⊆ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 . Por outro lado, seja 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 , então 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 e 𝑥 ∈ 𝐵 𝑐 . Assim, 𝑥 ̸∈ 𝐴 e 𝑥 ̸∈ 𝐵 e portanto 𝑥 ̸∈ 𝐴 ∪ 𝐵. Logo 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 o que conclui a demonstração. De um modo muito mais geral, valem as seguintes relações, (︃ ⋃︁ 𝑋∈𝒞 𝑋 )︃𝑐 = ⋂︁ 𝑋 𝑐 e (︃ ⋂︁ 𝑋∈𝒞 𝑋∈𝒞 𝑋 )︃𝑐 = ⋃︁ 𝑋 𝑐. 𝑋∈𝒞 Os fatos sobre complementação implicam que, usualmente, os teoremas em teoria dos conjuntos vêm aos pares. Se em uma equação (ou inclusão) envolvendo uniões, intersecções e complementos nós trocarmos cada conjunto pelo seu complemento, mudarmos uniões por intersecções (e vice versa) e invertermos todas as inclusões, o resultado será um outro teorema. Este fato é algumas vezes chamado de principio da dualidade para conjuntos. 8 Axioma 1.1.6 (Axioma das Potências). Para cada conjunto dado, existe uma coleção de conjuntos que contém entre seus elementos todos os subconjuntos do conjunto dado. Em outras palavras se 𝐴 é um conjunto, então existe um conjunto 𝒫 tal que, Se 𝑋 ⊆ 𝐴 então 𝑋 ∈ 𝒫. O conjunto 𝒫 descrito pelo Axioma (1.1.6) pode ser maior do que o desejado, isto é, o axioma não exclui a possibilidade de existirem outros elementos que não sejam subconjuntos de 𝐴 em 𝒫. Mas isto é facilmente remediado aplicando o Axioma (1.1.2) para formar o conjunto, ¶𝑋 ∈ 𝒫 ♣ 𝑋 ⊆ 𝐴♢. (1.1.4) Desde que uma condição necessária e suficiente para que 𝑋 pertença a (1.1.4) é que 𝑋 seja um subconjunto de 𝐴, segue que mudando a notação e denotando este conjunto ainda por 𝒫 obtemos, 𝒫 = ¶𝑋 ♣ 𝑋 ⊆ 𝐴♢. O conjunto 𝒫 é chamado o conjunto potência de 𝐴 e o Axioma (1.1.1) garante sua unicidade. A dependência entre 𝒫 e 𝐴 é denotada escrevendo 𝒫(𝐴) ao invés de somente 𝒫. Vejamos uns poucos exemplos para 𝒫(𝐴) em que a quantidade de elementos em 𝐴 é pequena. Se 𝐴 = ∅ então 𝒫(𝐴) = ¶∅♢. Se 𝐴 = ¶𝑎♢ então 𝒫(𝐴) = ¶∅, ¶𝑎♢♢. Se 𝐴 = ¶𝑎, 𝑏♢ então 𝒫(𝐴) = ¶∅, ¶𝑎♢, ¶𝑏♢, ¶𝑎, 𝑏♢♢. De um modo geral, iremos mostrar, na próxima seção, que se o conjunto 𝐴 possui 𝑛 elementos então 𝒫(𝐴) irá possuir 2𝑛 elementos. Por enquanto, vejamos um último assunto sobre teoria de conjuntos. 1.1.4 Par Ordenado Um par ordenado de 𝑎 e 𝑏, com primeira coordenada 𝑎 e segunda coordenada 𝑏, é o conjunto (𝑎, 𝑏) definido por (𝑎, 𝑏) = ¶¶𝑎♢, ¶𝑎, 𝑏♢♢. Vamos provar que com essa definição a principal propriedade que se espera ter para um par ordenado se mantém. Isto é, vamos mostrar que se (𝑎, 𝑏) e (𝑥, 𝑦) são pares ordenados com (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦) então 𝑎 = 𝑥 e 𝑏 = 𝑦. Para provar isto nós observamos que se 𝑎 e 𝑏 são iguais então o par (𝑎, 𝑏) é o conjunto ¶¶𝑎♢♢. Se reciprocamente (𝑎, 𝑏) é o conjunto ¶¶𝑎♢♢ então ¶𝑎♢ = ¶𝑎, 𝑏♢ e assim 𝑏 ∈ ¶𝑎♢ e, portanto 𝑎 = 𝑏. Suponha agora que (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦). Vimos acima que 𝑎 = 𝑏 se, e somente se, (𝑎, 𝑏) = ¶¶𝑎♢♢. Portanto supondo 𝑎 = 𝑏 e (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦) devemos ter que, ¶¶𝑎♢♢ = ¶¶𝑥♢, ¶𝑥, 𝑦♢♢, e portanto ¶𝑥♢ = ¶𝑥, 𝑦♢ ⇒ 𝑥 = 𝑦 e, ¶𝑎♢ = ¶𝑥♢ ⇒ 𝑥 = 𝑎. 9 daí segue que 𝑎,𝑏,𝑥 e 𝑦 são todos iguais. Se, agora supomos 𝑎 ̸= 𝑏 e (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦), então ambos (𝑎, 𝑏) e (𝑥, 𝑦) contém exatamente um conjunto da forma ¶𝑧♢, ou seja ¶𝑎♢ e ¶𝑥♢ respectivamente, de modo que 𝑎 = 𝑥. Desde que neste caso é também verdade que ambos (𝑎, 𝑏) e (𝑥, 𝑦) contém exatamente um par não ordenado, a saber ¶𝑎, 𝑏♢ e ¶𝑥, 𝑦♢ respectivamente, segue-se que ¶𝑎, 𝑏♢ = ¶𝑥, 𝑦♢ e portanto em particular 𝑏 ∈ ¶𝑥, 𝑦♢. Considerando que 𝑏 não pode ser 𝑥 (visto que 𝑥 = 𝑎 e 𝑏 ̸= 𝑎) devemos ter 𝑏 = 𝑦. Assim podemos concluir que para quaisquer pares ordenados (𝑎, 𝑏) e (𝑥, 𝑦) satisfazendo (𝑎, 𝑏) = (𝑥, 𝑦) devemos ter 𝑎 = 𝑥 e 𝑏 = 𝑦. Para finalizar vamos mostrar que, dados conjuntos 𝐴 e 𝐵, existe um conjunto que contém todos os pares ordenados (𝑎, 𝑏) com 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵. De fato, se 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵, então ¶𝑎♢ ⊆ 𝐴 e ¶𝑏♢ ⊆ 𝐵 e portanto ¶𝑎, 𝑏♢ ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵. Desde que, também ¶𝑎♢ ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵, segue que ambos ¶𝑎♢ e ¶𝑎, 𝑏♢ são elementos do conjunto 𝒫(𝐴 ∪ 𝐵). Isto implica que ¶¶𝑎♢, ¶𝑎, 𝑏♢♢ é um subconjunto de 𝒫(𝐴 ∪ 𝐵) e portanto que ele é um elemento de 𝒫(𝒫(𝐴 ∪ 𝐵)), em outras palavras (𝑎, 𝑏) ∈ 𝒫(𝒫(𝐴 ∪ 𝐵)) sempre que 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵. Uma vez que este conjunto é conhecido, é uma questão de rotina aplicar o Axioma da Especificação e o Axioma da Extensão para produzir o conjunto único 𝐴 × 𝐵 que consiste exatamente dos pares ordenados (𝑎, 𝑏) com 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵. Este conjunto é chamado produto cartesiano de 𝐴 e 𝐵 e é caracterizado pelo seguinte fato 𝐴 × 𝐵 = ¶𝑥 ♣ 𝑥 = (𝑎, 𝑏) para algum 𝑎 ∈ 𝐴 e para algum 𝑏 ∈ 𝐵♢. 1.2 Combinatória Enumerativa No que segue apresentaremos um recorte de resultados básicos de Combinatória Enumerativa. E no mesmo sentido, da apresentação da teoria de conjuntos, nosso objetivo é, novamente, o de estabelecer as ideias fundamentais para o desenvolvimento do nosso trabalho. Os resultados, aqui apresentados, são básicos e podem ser encontrados em vários livros introdutórios. Nesse texto foram utilizados os livros, [1], [9] e [10]. 1.2.1 Princípios elementares de contagem Iniciamos esta seção com umas poucas regras que, embora obvias, estão na origem dos problemas de contagem. Para estabelecer tais regras precisamos da definição, Definição 1.2.1. Dado um conjunto finito 𝐴, denotaremos o número de elementos desse conjunto por ♣ 𝐴 ♣. Todos os conjuntos, com os quais trabalharemos nesta Seção, são finitos. Principio aditivo. Se 𝑆 = 2 ⎷𝑡 𝑖=1 𝑆𝑖 é a união disjunta2 de conjuntos 𝑆𝑖 , então ♣ 𝑆 ♣= Dizemos que a união 𝑆, definida acima, é disjunta quando 𝑆i ∩ 𝑆j = ∅ sempre que 𝑖 ̸= 𝑗. 10 √︁𝑡 𝑖=1 ♣ 𝑆𝑖 ♣. Uma maneira bastante comum em que o principio aditivo aparece é a seguinte: classificamos os elementos de 𝑆 de acordo com um conjunto de propriedades 𝑒𝑖 (𝑖 = 1, . . . , 𝑡) de modo que essas propriedades 𝑒𝑖 sejam mutuamente exclusivas, e definimos 𝑆𝑖 = ¶𝑥 ∈ 𝑆 ♣ 𝑥 têm a propriedade 𝑒𝑖 ♢. Assim para saber o número de elementos em 𝑆 é suficiente saber o número de elementos nos conjuntos 𝑆𝑖 ’s. Vejamos um exemplo de aplicação do principio aditivo que ilustra essa ideia. Exemplo 1.2.2. Ao longo do(︁texto ⎡ um conjunto 𝑋 com 𝑛 elementos também será chamado um 𝑋 𝑛-conjunto. Denote por 𝑆 = 𝑘 a família de todos 𝑘-subconjuntos de 𝑋. Assim o número de elementos de 𝑆, isto é ♣ 𝑆 ♣, é o usual coeficiente binomial (︁ ⎡ 𝑛 𝑘 . Para o momento, (︃ )︃ 𝑛 𝑘 é um símbolo denotando a quantidade de 𝑘-subconjuntos de 𝑋. Seja 𝑎 ∈ 𝑋. Dividimos o conjunto 𝑆 como segue, 𝑆1 = ¶𝐴 ∈ 𝑆 ♣ 𝑎 ∈ 𝐴♢ e, 𝑆2 = ¶𝐴 ∈ 𝑆 ♣ 𝑎 ̸∈ 𝐴♢. Obtemos todos os elementos de 𝑆1 através da combinação de todos 𝑘 ⊗1-subconjuntos de 𝑋 ∖¶𝑎♢ (︁ ⎡ 𝑛⊗1 com 𝑎; assim ♣ 𝑆1 ♣= 𝑘⊗1 . Similarmente 𝑆2 é a família de todos 𝑘-subconjuntos de 𝑋 ∖ ¶𝑎♢ e (︁ ⎡ portanto ♣ 𝑆2 ♣= 𝑛⊗1 . O principio aditivo produz, portanto, a recorrência de Pascal para 𝑘 coeficientes binomiais, )︃ )︃ (︃ (︃ (︃ )︃ 𝑛⊗1 𝑛⊗1 𝑛 (1 ⊘ 𝑘 ⊘ 𝑛) + = 𝑘 𝑘⊗1 𝑘 (︁ ⎡ com valor inicial 𝑛0 = 1. Observe que obtivemos esta recorrência sem ter calculado o coeficiente binomial explicitamente. Com o propósito de enunciar um outro principio importante considere, em um caminho análogo ao trilhado por nós na Seção (1.1.4), 𝑆 como sendo o conjunto de todas 𝑡-uplas (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑡 ) com 𝑎𝑖 ∈ 𝑆𝑖 , onde 𝑆𝑖 é chamado o conjunto de coordenadas. Principio multiplicativo. Se 𝑆 = √︂ ♣ 𝑆 ♣= 𝑡𝑖=1 ♣ 𝑆𝑖 ♣. √︂𝑡 𝑖=1 𝑆𝑖 é o produto cartesiano de conjuntos, então O principio multiplicativo estabelece que, se existem 𝑡 escolhas sucessivas a serem feitas, e para 1 ⊘ 𝑖 ⊘ 𝑡, a 𝑖-ésima escolha pode ser feita em ♣ 𝑆𝑖 ♣ formas, então o número total de maneiras √︂ de se fazer estas escolhas é 𝑡𝑖=1 ♣ 𝑆𝑖 ♣. Vejamos um exemplo. Exemplo 1.2.3. Uma sequência finita de 0’s e 1’s é chamada uma palavra sobre o alfabeto ¶0, 1♢, e a soma das quantidades de 0’s e 1’s fornece o tamanho da palavra. 11 Seja, 𝑆𝑖 = ¶0, 1♢ um conjunto de coordenada para todo 1 ⊘ 𝑖 ⊘ 𝑛 e considere o conjunto 𝑆1 × 𝑆 2 × . . . × 𝑆𝑛 . Então o principio multiplicativo estabelece que existem 2𝑛 palavras de comprimento 𝑛 sobre ¶0, 1♢. De fato, como 𝑆𝑖 = ¶0, 1♢ para todo 1 ⊘ 𝑖 ⊘ 𝑛 então os elementos do conjunto, 𝑆1 × 𝑆 2 × . . . × 𝑆𝑛 são da forma (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ), onde 𝑥𝑖 ∈ 𝑆𝑖 = ¶0, 1♢. Assim dado 𝑥1 , existem duas opções de escolha para 𝑥2 na palavra (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ), ou seja, dado 𝑥1 = 0 temos, (0, 0, . . . , 𝑥𝑛 ) ou (0, 1, . . . , 𝑥𝑛 ) e para 𝑥1 = 1 temos, (1, 0, . . . , 𝑥𝑛 ) ou (1, 1, . . . , 𝑥𝑛 ). Continuando nessa ideia, para cada uma dessas 22 palavras existem duas opções de escolha para 𝑥3 e, portanto, teremos um total de 23 palavras ocupando as tês primeiras posições com opções de escolha em ¶0, 1♢, a saber (0, 0, 0, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ); (0, 0, 1, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ); (0, 1, 0, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ); (0, 1, 1, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ); (1, 0, 0, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ); (1, 0, 1, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ); (1, 1, 0, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ) e (1, 1, 1, 𝑥4 , . . . , 𝑥𝑛 ). De um modo geral, se existe um total de 2𝑖⊗1 palavras ocupando as 𝑖 ⊗ 1 primeiras posições com opções de escolha em ¶0, 1♢ então para as 𝑖 primeiras posições, com opções de escolha em ¶0, 1♢, existe um total de 2𝑖 palavras. Em geral, obtemos 𝑟𝑛 palavras se o alfabeto 𝐴 possuir 𝑟 elementos. Então falamos da 𝑛-palavra sobre o alfabeto 𝐴. Para finalizar a seção, vamos estabelecer o principio bijetivo. Para tanto, considere as seguintes definições e resultados. Definição 1.2.4. Dados dois conjuntos 𝑌 e 𝑍, dizemos que uma função 𝑓 : 𝑌 ⊃ 𝑍 é bijetiva quando: 1. Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑌 com 𝑎 ̸= 𝑏 ⇒ 𝑓 (𝑎) ̸= 𝑓 (𝑏); 2. Dado qualquer 𝑏 ∈ 𝑍 existe 𝑎 ∈ 𝑌 tal que 𝑓 (𝑎) = 𝑏. Definição 1.2.5. Sejam, 𝑔 : 𝑋 ⊃ 𝑌 e 𝑓 : 𝑌 ⊃ 𝑍 funções dadas. Podemos definir uma função 𝑓 ◇ 𝑔 : 𝑋 ⊃ 𝑍 tal que 𝑓 ◇ 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑔(𝑥)) para todo 𝑥 ∈ 𝑋. 12 Lema 1.2.6. Sejam, 𝑔 : 𝑋 ⊃ 𝑌 e 𝑓 : 𝑌 ⊃ 𝑍 funções bijetivas, então a função 𝑓 ◇ 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑔(𝑥)) será bijetiva. Demonstração. Se 𝑔 e 𝑓 são funções bijetivas então dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 com 𝑎 ̸= 𝑏 temos 𝑔(𝑎) ̸= 𝑔(𝑏). Como 𝑔(𝑎), 𝑔(𝑏) ∈ 𝑌 e 𝑔(𝑎) ̸= 𝑔(𝑏) segue que 𝑓 (𝑔(𝑎)) ̸= 𝑓 (𝑔(𝑏)). Logo, sabendo que 𝑓 ◇ 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑔(𝑥)) temos que para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 com 𝑎 ̸= 𝑏 ⇒ 𝑓 ◇ 𝑔(𝑎) ̸= 𝑓 ◇ 𝑔(𝑏) e, portanto, 1 na Definição (1.2.4) vale. Seja agora, 𝑧 ∈ 𝑍. Como 𝑓 : 𝑌 ⊃ 𝑍 é bijetiva, existe, pelo item 2 da Definição (1.2.4), um elemento 𝑦 ∈ 𝑌 tal que 𝑓 (𝑦) = 𝑧. Alem disso, como 𝑔 : 𝑋 ⊃ 𝑌 também é bijetiva existe, pelo item 2 da Definição (1.2.4), um elemento 𝑥 ∈ 𝑋 tal que 𝑔(𝑥) = 𝑦. Assim dado qualquer 𝑧 ∈ 𝑍 existe 𝑥 ∈ 𝑋 tal que 𝑓 ◇ 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑔(𝑥)) = 𝑓 (𝑦) = 𝑧 e, portanto, 2 na Definição (1.2.4) vale e o lema está demonstrado. Principio Bijetivo. Se existir uma bijeção entre dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, então ♣ 𝐴 ♣=♣ 𝐵 ♣. Demonstração. De fato, dados conjuntos 𝐴 e 𝐵, suponha que exista uma bijeção 𝑓 : 𝐴 ⊃ 𝐵. Se ♣ 𝐴 ♣= 𝑛, existe uma bijeção 𝑔 : 𝐼𝑛 ⊃ 𝐴, onde 𝐼𝑛 é o conjunto dos naturais de 1 a 𝑛. Então usando o fato dado no Lema (1.2.6) temos que 𝑓 ◇ 𝑔 : 𝐼𝑛 ⊃ 𝐵 é bijeção e portanto ♣ 𝐵 ♣= 𝑛. O exemplo abaixo vai fazer uso do principio bijetivo para estabelecer uma afirmação feita na Seção (1.1.3). Naquela situação, nos afirmamos que, se um conjunto 𝐴 possui 𝑛 elementos então o conjunto 𝒫(𝐴) possui, necessariamente, 2𝑛 elementos. Exemplo 1.2.7. Sejam 𝑋 um conjunto qualquer com 𝑛 elementos e 𝑆𝑖 = ¶0, 1♢ para todo 1 ⊘ 𝑖 ⊘ 𝑛. Indexando 𝑋 = ¶𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ♢ de qualquer maneira e mapeando 𝑓 : 𝒫(𝑋) ⊃ 𝑆1 × 𝑆2 × . . . × 𝑆𝑛 como 𝑓 (𝐴) = (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ), onde 𝑎𝑖 = 1 se 𝑥𝑖 ∈ 𝐴 e 𝑎𝑖 = 0 se 𝑥𝑖 ̸∈ 𝐴, temos uma bijeção entre 𝒫(𝑋) e as palavras de comprimento 𝑛 sobre o alfabeto ¶0, 1♢. Sabemos, do Exemplo (1.2.3), que o conjunto das palavras com tamanho 𝑛 sobre o alfabeto ¶0, 1♢ tem um total de 2𝑛 elementos. Assim existindo tal bijeção, o número de elementos de 𝒫(𝑋) será 2𝑛 . Vejamos que, de fato, 𝑓 é uma bijeção. Sejam 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝑋) com 𝐴 ̸= 𝐵 e suponha que 𝑓 (𝐴) = 𝑓 (𝐵). Como estamos supondo 𝑓 (𝐴) = 𝑓 (𝐵) segue que 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 para todo 𝑖 e daí seguiria que 𝐴 e 𝐵 têm os mesmos elementos e portanto 𝐴 = 𝐵, mas isso é uma contradição. Logo devemos ter 𝑓 (𝐴) ̸= 𝑓 (𝐵). Por outro lado, dado qualquer palavra de comprimento 𝑛 sobre o alfabeto ¶0, 1♢, digamos (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ), existe um subconjunto 𝐴 ⊆ 𝑋 tal que 𝐴 = ¶𝑥𝑖 ∈ 𝑋 ♣ 𝑎𝑖 = 1♢. nós concluímos, portanto, que ♣ 𝒫(𝑋) ♣= 2𝑛 . 13 1.2.2 Permutações e Combinações Vamos estabelecer agora algumas notações e terminologias que descrevem situações especiais de aplicações dos princípios aditivo e multiplicativo. Definição 1.2.8. Seja 𝑋 um conjunto com 𝑛 elementos. Uma 𝑘-permutação de 𝑋 é uma 𝑘-palavra sobre o alfabeto 𝑋 cujas entradas são todas distintas. Exemplo 1.2.9. Exemplos simples de 4-permutações do conjunto ¶1, 2, 3, 4, 5, 6♢ são 1235, 1426, 5614, etc. Observe que, fazendo uso do principio multiplicativo, poderíamos calcular o número de 𝑘-permutações rapidamente. Proposição 1.2.10. Dado 𝑋 um conjunto com 𝑛 elementos. O número de 𝑘-permutações de 𝑋 é, 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 1) ≤ (𝑛 ⊗ 2) . . . (𝑛 ⊗ 𝑘 + 1). Demonstração. Claramente, temos 𝑛 possibilidades para a escolha do primeiro dígito. Uma vez que a primeira entrada foi escolhida, existem 𝑛 ⊗ 1 possíveis escolhas para a segunda entrada, e assim por diante. Depois de 𝑘 ⊗ 1 objetos terem sido escolhidos restam 𝑛 ⊗ (𝑘 ⊗ 1) = 𝑛 ⊗ 𝑘 + 1 objetos para fazer a 𝑘-ésima escolha. O principio multiplicativo nos dá, 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 1) ≤ (𝑛 ⊗ 2) . . . (𝑛 ⊗ 𝑘 + 1). onde 1 ⊘ 𝑘 ⊘ 𝑛. Claramente o número de 𝑘-permutações poderia ser escrito sob notação fatorial como 𝑛! , (𝑛 ⊗ 𝑘)! assim para 𝑘 = 0 definimos que o número de 𝑘-permutações vale 1. Exemplo 1.2.11. No nosso Exemplo (1.2.9), temos que 𝑛 = 6 e 𝑘 = 4. Portanto o número de 4-permutações de um conjunto com 6 elementos é 6 ≤ 5 ≤ 4 ≤ 3 = 360. Um resultado que segue diretamente da Proposição (1.2.10) é, Corolário 1.2.12. Quando 𝑘 = 𝑛 obtemos, em particular, que o número de 𝑛-permutações de 𝑋 é dado por, 𝑛! = 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 1) . . . 2 ≤ 1. Considere agora o seguinte problema: Dado um conjunto com 𝑛 elementos, denotado por 𝑋, qual o número de 𝑘-subconjuntos de 𝑋? De acordo com a notação estabelecida no Exemplo (1.2.2) queremos saber quanto vale (︃ )︃ 𝑛 , 𝑘 14 e a resposta surge quando olhamos as palavras de comprimento 𝑘 com símbolos em 𝑋. Sejam 𝑖1 , 𝑖2 , . . . , 𝑖𝑘 elementos fixos em 𝑋. Claramente as 𝑘-palavras formadas por esses elementos estão associadas a um mesmo 𝑘-subconjunto ¶𝑖1 , 𝑖2 , . . . , 𝑖𝑘 ♢. Portanto para cada 𝑘 elementos de 𝑋 fixado, devemos contar uma única vez as 𝑘-palavras formadas por esses elementos. A contagem dessas 𝑘-palavras é feita como segue. Proposição 1.2.13. Dado 𝑋 um conjunto com 𝑛 elementos. O número de 𝑘-subconjuntos de 𝑋 é dado por, (︃ )︃ 𝑛 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 1) ≤ (𝑛 ⊗ 2) . . . (𝑛 ⊗ 𝑘 + 1) = 𝑘 𝑘! Demonstração. Sabemos, da Proposição (1.2.10), que o número de maneiras em que 𝑘 objetos podem ser escolhidos, em ordem, de um conjunto de 𝑛 objetos é dado por 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 1) ≤ (𝑛 ⊗ 2) . . . (𝑛 ⊗ 𝑘 + 1). Como cada um dos 𝑘-subconjuntos de 𝑋 pode ser permutado de 𝑘! maneiras segue que (︃ )︃ 𝑘! ≤ 𝑛 = 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 1) ≤ (𝑛 ⊗ 2) . . . (𝑛 ⊗ 𝑘 + 1) 𝑘 portanto, (︃ )︃ 𝑛 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 1) ≤ (𝑛 ⊗ 2) . . . (𝑛 ⊗ 𝑘 + 1) . = 𝑘 𝑘! Um outro caminho para escrever isso é, (︃ )︃ 𝑛 𝑛! = 𝑘 𝑘! ≤(𝑛 ⊗ 𝑘)! com (︁ ⎡ 𝑛 0 (1 ⊘ 𝑘 ⊘ 𝑛), (1.2.1) = 1. Verificamos facilmente, a partir da igualdade (1.2.1) que, (︃ )︃ (︃ )︃ 𝑛 𝑛 = . 𝑘 𝑛⊗𝑘 Proposição 1.2.14 (O Teorema Binomial). Para todo inteiro positivo 𝑛, temos, (︃ )︃ (︃ )︃ (︃ )︃ 𝑛 𝑛 𝑛⊗2 2 𝑛 𝑛⊗1 𝑥𝑦 𝑛⊗1 + 𝑦 𝑛 . 𝑥 𝑦 + ≤≤≤ + 𝑥 𝑦+ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑛⊗1 2 1 𝑛 𝑛 ou equivalentemente 𝑛 (𝑥 + 𝑦) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 15 (︃ )︃ 𝑛 𝑛⊗𝑘 𝑘 𝑥 𝑦 . 𝑘 Demonstração. Considere o produto, (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) . . . (𝑥 + 𝑦) com 𝑛 parcelas. Quando multiplicamos o produto acima, cada termo separadamente surge da escolha de 𝑥 ou 𝑦 nos parênteses. Portanto obtemos o termo 𝑥𝑛⊗𝑘 𝑦 𝑘 se escolhermos 𝑦 em 𝑘 desses parênteses e 𝑥 nos 𝑛 ⊗ 𝑘 parênteses restante. Assim, o número de termos da forma 𝑥𝑛⊗𝑘 𝑦 𝑘 que nós obtemos é igual ao numero de caminhos de escolher 𝑘 valores 𝑦 nos parênteses e este número é (︃ )︃ 𝑛 . 𝑘 Portanto, quando reunimos termos similares o coeficiente de 𝑥𝑛⊗𝑘 𝑦 𝑘 é (︁ ⎡ 𝑛 𝑘 . Vamos estabelecer um exemplo de aplicação da Proposição (1.2.14) que será útil no próximo capitulo. Exemplo 1.2.15. Claramente, (︃ )︃ (︃ )︃ (︃ )︃ (︃ )︃ 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 + ≤ ≤ ≤ + (⊗1)𝑚 ⊗ = 0. + 1⊗ 3 𝑚 2 1 Obtemos o resultado acima tomando 𝑥 = 1 e 𝑦 = ⊗1 na Proposição (1.2.14). 1.3 Fórmulas Assintóticas Por fim, para concluir este capítulo, vamos introduzir algumas definições e alguns resultados que serão úteis no Capítulo 3. As principais referências bibliográficas adotadas para essa seção foram [3] e [2]. 1.3.1 Notações e Resultados Definição 1.3.1 (notação "O"grande). Sejam 𝐷 um subconjunto não vazio de números reais e 𝑓 : 𝐷 ⊃ R. Diz-se que 𝑓 = 𝑂(𝑔) se existem 𝑔 : 𝐷 ⊃ R+ e uma constante positiva 𝑀 ∈ R tal que ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Essa importante notação, é usada para ajudar a entender o comportamento de funções 𝑓 (𝑥) para valores grandes de 𝑥. Uma definição formal para essa notação, assim como uma discussão das ideias envolvidas em tal notação, podem ser encontradas em [3]. No entanto faremos uso da Definição (1.3.1), como estabelecida em [2]. Algumas consequências da Definição (1.3.1) estão estabelecidas abaixo. 16 Lema 1.3.2. Sejam 𝐷 um subconjunto não vazio de números reais e 𝑓 : 𝐷 ⊃ R. Então temos que, 1. 𝑓 = 𝑂(𝑓 ) (reflexiva); 2. 𝑓 = 𝑂(𝑔) e 𝑔 = 𝑂(ℎ) ⇒ 𝑓 = 𝑂(ℎ) (transitiva). Demonstração. 1. Supondo 𝑓 : 𝐷 ⊃ R+ , temos que 𝑓 = 𝑂(𝑓 ) uma vez que para todo 𝑀 ⊙ 1 temos ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀 𝑓 (𝑥). 2. Suponha agora que 𝑓 = 𝑂(𝑔) então existe uma constante positiva 𝑀1 tal que ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀1 𝑔(𝑥). Analogamente, se 𝑔 = 𝑂(ℎ), então existe uma constante positiva 𝑀2 tal que 𝑔(𝑥) =♣ 𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝑀2 ℎ(𝑥). Portanto, ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀1 𝑔(𝑥) e 𝑔(𝑥) ⊘ 𝑀2 ℎ(𝑥) ⇒♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀1 𝑀2 ℎ(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Daí segue que 𝑓 = 𝑂(ℎ). A relação 𝑂(≤) é uma pré ordem. Apesar de cumprir o Lema (1.3.2) essa relação não cumpre a propriedade anti-simétrica. De fato, 𝑡 = 𝑂(2𝑡) e 2𝑡 = 𝑂(𝑡) sem que 𝑡 e 2𝑡 sejam iguais. Lema 1.3.3. Sejam 𝐷 um subconjunto não vazio dos números reais e 𝑓 : 𝐷 ⊃ R. Temos que 𝑓 = 𝑂(1) se, e somente se, 𝑓 é limitada. Demonstração. De fato, pela Definição (1.3.1), temos que se 𝑓 = 𝑂(1) então existe uma constante positiva 𝑀 tal que ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀 ≤ 1 para todo 𝑥 ∈ 𝐷, portanto 𝑓 é limitada. Reciprocamente, se 𝑓 é limitada então existe uma constante positiva 𝑀 tal que ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀 para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Tomando 𝑔 : 𝐷 ⊃ R+ por, 𝑔(𝑥) = 1 para todo 𝑥 ∈ 𝐷 segue que 𝑓 = 𝑂(1). Proposição 1.3.4. Seja 𝐷 um subconjunto não vazio de números reais. Sejam também 𝑓, 𝑔 : 𝐷 ⊃ R e Ú ∈ R então, 𝑓 = 𝑂(ℎ) e 𝑔 = 𝑂(ℎ) ⇒ 𝑓 + Ú𝑔 = 𝑂(ℎ). 17 Demonstração. Novamente, pela Definição (1.3.1), temos que se 𝑓 = 𝑂(ℎ) e 𝑔 = 𝑂(ℎ) existem constantes positivas 𝑀1 e 𝑀2 tais que ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀1 ℎ(𝑥) e ♣ 𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝑀2 ℎ(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Seja agora, a função [𝑓 + Ú𝑔](𝑥) = 𝑓 (𝑥) + Ú𝑔(𝑥), então ♣ 𝑓 (𝑥) + Ú𝑔(𝑥) ♣⊘♣ 𝑓 (𝑥) ♣ +♣Ú♣♣ 𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝑀1 ℎ(𝑥) + ♣Ú♣𝑀2 ℎ(𝑥) = (𝑀1 + ♣Ú♣𝑀2 )ℎ(𝑥). portanto 𝑓 + Ú𝑔 = 𝑂(ℎ). Proposição 1.3.5. Seja 𝐷 um subconjunto não vazio de números reais. Sejam também as funções 𝑓𝑘 : 𝐷 ⊃ R com 𝑓𝑘 = 𝑂(1) para todo 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 então 𝑛 ∑︁ 𝑓𝑘 = 𝑂(1). 𝑘=1 Demonstração. Novamente, pela Definição (1.3.1), temos que se 𝑓𝑘 = 𝑂(1) existe uma constante positiva 𝑐𝑘 tal que ♣ 𝑓𝑘 (𝑥) ♣⊘ 𝑐𝑘 ≤ 1 para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Assim, ⧹︃ ⧹︃ 𝑛 ⧹︃ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑓𝑘 (𝑥)⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑘=1 ⊘ 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 ♣ 𝑓𝑘 (𝑥) ♣⊘ (𝑐1 + 𝑐2 + ≤ ≤ ≤ + 𝑐𝑛 ) ⊘ 𝑛 max¶𝑐𝑘 ♢. 𝑘 Como para alguma constante 𝑐 temos 𝑛 max𝑘 ¶𝑐𝑘 ♢ ⊘ 𝑐 segue √︁𝑛 𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥) = 𝑂(1). Proposição 1.3.6. Seja 𝐷 um subconjunto não vazio de números reais. Sejam também 𝑓, 𝑔 : 𝐷 ⊃ R, então, 𝑓 = 𝑂(𝑓1 ) e 𝑔 = 𝑂(𝑔1 ) ⇒ 𝑓 𝑔 = 𝑂(𝑓1 𝑔1 ). Demonstração. Pela Definição (1.3.1), temos que se 𝑓 = 𝑂(𝑓1 ) e 𝑔 = 𝑂(𝑔1 ) existem constantes positivas 𝑀1 e 𝑀2 tais que ♣ 𝑓 (𝑥) ♣⊘ 𝑀1 𝑓1 (𝑥) e ♣ 𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝑀2 𝑔1 (𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Portanto, ♣ 𝑓 (𝑥) ♣♣ 𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝑀1 𝑓1 (𝑥) ♣ 𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝑀1 𝑓1 (𝑥)𝑀2 𝑔1 (𝑥) logo, e daí 𝑓 𝑔 = 𝑂(𝑓1 𝑔1 ). ♣ 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝑀1 𝑀2 𝑓1 (𝑥)𝑔1 (𝑥) Proposição 1.3.7. Sejam 𝐷 um subconjunto não vazio de números reais e 𝑓, 𝑔 : 𝐷 ⊃ R+ . Então temos que, 18 1. 𝑐 ≤ 𝑂(𝑓 ) = 𝑂(𝑓 ) onde 𝑐 é uma constante; 2. 𝑂(𝑂(𝑓 )) = 𝑂(𝑓 ); Demonstração. 1. Sejam 𝑐 uma constante e ℎ = 𝑂(𝑓 ). Pela Definição (1.3.1), temos que se ℎ = 𝑂(𝑓 ) existe uma constante positiva 𝐶 tal que ♣ ℎ(𝑥) ♣⊘ 𝐶𝑓 (𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Portanto, ♣ 𝑐 ≤ ℎ(𝑥) ♣=♣ 𝑐 ♣♣ ℎ(𝑥) ♣⊘♣ 𝑐 ♣ 𝐶𝑓 (𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Portanto, 𝑐 ≤ ℎ = 𝑂(𝑓 ). 2. Sejam 𝐹 = 𝑂(𝑔) e 𝑔 = 𝑂(𝑓 ). Pela Definição (1.3.1), temos que se 𝐹 = 𝑂(𝑔) existe uma constante positiva 𝐶1 tal que ♣ 𝐹 (𝑥) ♣⊘ 𝐶1 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Analogamente, se 𝑔 = 𝑂(𝑓 ) existe uma constante positiva 𝐶2 tal que 𝑔(𝑥) =♣ 𝑔(𝑥) ♣⊘ 𝐶2 𝑓 (𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Portanto segue que ♣ 𝐹 (𝑥) ♣⊘ 𝐶1 𝑔(𝑥) ⊘ 𝐶1 𝐶2 𝑓 (𝑥) e daí 𝐹 = 𝑂(𝑓 ). 1.3.2 Técnica de Soma Parcial Proposição 1.3.8. Seja 𝑐1 , 𝑐2 , . . . uma sequência de números complexos e defina 𝐶(𝑥) := ∑︁ 𝑐𝑛 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑥 onde 𝑛0 é um inteiro positivo fixado com 𝑐𝑗 = 0 para 𝑗 < 𝑛0 . Seja ainda 𝑓 : [𝑛0 , ∞) ⊃ C uma função com derivadas contínuas em [𝑛0 , ∞), então se 𝑥 é tal que 𝑥 > 𝑛0 temos ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑥 𝑐𝑛 𝑓 (𝑛) = 𝐶(𝑥)𝑓 (𝑥) ⊗ ∫︁ 𝑥 𝑛0 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡. Demonstração. Primeiramente, note que para 𝑥 no intervalo 𝑘 ⊘ 𝑥 < 𝑘 + 1 temos, ∑︁ 𝑐𝑛 𝑓 (𝑛) = 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑥 ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘 19 𝑐𝑛 𝑓 (𝑛). (1.3.1) Note também que, ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘 𝑐𝑛 𝑓 (𝑛) = 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) ⊗ ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 𝐶(𝑛)[𝑓 (𝑛 + 1) ⊗ 𝑓 (𝑛)]. (1.3.2) De fato, 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) ⊗ ∑︁ = 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) + 𝑛0 ⊘𝑟⊘𝑘⊗1 𝐶(𝑟)𝑓 (𝑟) ⊗ ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 ∑︁ 𝐶(𝑛)[𝑓 (𝑛 + 1) ⊗ 𝑓 (𝑛)] = ∑︁ 𝐶(𝑠)𝑓 (𝑠 + 1) = 𝑛0 ⊘𝑠⊘𝑘⊗1 𝑛0 ⊘𝑟⊘𝑘 𝐶(𝑟)𝑓 (𝑟) ⊗ ∑︁ 𝐶(𝑠)𝑓 (𝑠 + 1). 𝑛0 ⊘𝑠⊘𝑘⊗1 Fazendo 𝑟 = 𝑠 + 1 temos ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑟⊘𝑘 𝐶(𝑟)𝑓 (𝑟) ⊗ ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑟⊘𝑘 𝑛0 ⊘𝑠⊘𝑘⊗1 = ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑟⊘𝑘 ∑︁ = 𝐶(𝑛0 )𝑓 (𝑛0 )+ ∑︁ 𝐶(𝑠)𝑓 (𝑠 + 1) = 𝐶(𝑟)𝑓 (𝑟) ⊗ ∑︁ 𝐶(𝑟)𝑓 (𝑟)⊗ 𝑛0 +1⊘𝑟⊘𝑘 𝐶(𝑟)𝑓 (𝑟) ⊗ ∑︁ ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑟⊗1⊘𝑘⊗1 𝐶(𝑟 ⊗ 1)𝑓 (𝑟) = 𝐶(𝑟 ⊗ 1)𝑓 (𝑟) = 𝑛0 +1⊘𝑟⊘𝑘 ∑︁ 𝐶(𝑟⊗1)𝑓 (𝑟) = 𝐶(𝑛0 )𝑓 (𝑛0 )+ 𝑛0 +1⊘𝑟⊘𝑘 [𝐶(𝑟)⊗𝐶(𝑟⊗1)]𝑓 (𝑟) 𝑛0 +1⊘𝑟⊘𝑘 e como, 𝐶(𝑛0 ) = 𝑐𝑛0 , 𝐶(𝑟) = ∑︁ 𝑐𝑛 = 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑟 ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑟⊗1 𝑐𝑛 + 𝑐𝑟 ⇒ 𝐶(𝑟) ⊗ 𝐶(𝑟 ⊗ 1) = 𝑐𝑟 temos portanto das igualdades (1.3.1) e (1.3.2) que, ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑥 𝑐𝑛 𝑓 (𝑛) = 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) ⊗ ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 𝐶(𝑛)[𝑓 (𝑛 + 1) ⊗ 𝑓 (𝑛)]. (1.3.3) Sabemos ainda que ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 𝐶(𝑛)[𝑓 (𝑛 + 1) ⊗ 𝑓 (𝑛)] = ∑︁ 𝐶(𝑛) ∫︁ 𝑛+1 𝑛 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = ∫︁ 𝑛+1 ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 𝑛 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 pois, 𝐶(𝑡) = 𝐶(𝑛) (𝑛 ⊘ 𝑡 < 𝑛 + 1). Portanto, ∑︁ ∫︁ 𝑘 ∫︁ 𝑛+1 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = ∑︁ 𝐶(𝑛)[𝑓 (𝑛 + 1) ⊗ 𝑓 (𝑛)] = 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 𝑛 𝑛0 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = Assim, 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 ∫︁ 𝑥 𝑛0 ∫︁ 𝑥 𝑛0 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 ⊗ 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 ⊗ ∫︁ 𝑥 𝑘 ∫︁ 𝑥 𝑘 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡. 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡. (1.3.4) Novamente, usando o fato de que, se 𝑘 ⊘ 𝑥 < 𝑘 +1 então 𝐶(𝑘) = 𝐶(𝑥), segue que em particular se 𝑡 ∈ (𝑘, 𝑥) então 𝐶(𝑡) = 𝐶(𝑘), assim ∫︁ 𝑥 𝑘 ′ 𝐶(𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐶(𝑘) ∫︁ 𝑥 𝑘 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑥) ⊗ 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) = 𝐶(𝑥)𝑓 (𝑥) ⊗ 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘). 20 Utilizando agora as igualdades (1.3.3) e (1.3.4) obtemos a fórmula para soma parcial de Abel, ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑥 𝑐𝑛 𝑓 (𝑛) = 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) ⊗ = 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) ⊗ = 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) ⊗ ⎤∫︁ 𝑥 𝑛0 ⎤∫︁ 𝑥 𝑛0 ∑︁ 𝑛0 ⊘𝑛⊘𝑘⊗1 ′ 𝐶(𝑛)[𝑓 (𝑛 + 1) ⊗ 𝑓 (𝑛)] = 𝐶(𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 ⊗ ∫︁ 𝑥 𝑘 ′ ⎣ 𝐶(𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = ⎣ ′ 𝐶(𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 ⊗ 𝐶(𝑥)𝑓 (𝑥) + 𝐶(𝑘)𝑓 (𝑘) = 𝐶(𝑥)𝑓 (𝑥) ⊗ ∫︁ 𝑥 𝑛0 𝐶(𝑡)𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡. Para finalizar este capítulo, apresentamos uma aplicação da Proposição (1.3.8). Exemplo 1.3.9. Suponha que queiramos provar a conhecida estimativa, 1 = log log 𝑧 + 𝑂(1) para 𝑧 ⊙ 𝑒 𝑝⊘𝑧 𝑝 ∑︁ onde 𝑝 é primo. Para tanto suponha3 , o resultado já provado, log 𝑝 = log 𝑧 + 𝑅(𝑧) 𝑝 𝑝⊘𝑧 ∑︁ onde 𝑅(𝑧) = 𝑂(1). Usando somas parciais com 1 𝑓 (𝑡) = log 𝑡 temos que 𝐶(𝑥) = √︁ 𝑝⊘𝑥 log 𝑝 𝑝 e, e ⎧ ⨄︁ log 𝑛 se n é primo, 𝑐𝑛 = ⎩ 𝑛 0 caso contrário. 𝐶(𝑧) ∫︁ 𝑧 𝐶(𝑢) 1 ∑︁ log 𝑝 1 𝑑𝑢. = = + 𝑝 log 𝑝 log 𝑧 2 𝑢(log 𝑢)2 𝑝⊘𝑧 𝑝⊘𝑧 𝑝 ∑︁ Usando a estimativa (1.3.5) temos, portanto, )︃ (︃∫︁ ∫︁ 𝑧 𝑧 1 log 𝑢 𝑅(𝑢) 𝑂(1) 𝑑𝑢 + 𝑑𝑢 . =1+ + log 𝑧 2 𝑢(log 𝑢)2 2 𝑢(log 𝑢)2 𝑝⊘𝑧 𝑝 ∑︁ Sabendo que ∫︁ 𝑧 2 3 𝑑𝑢 = log log 𝑢♣𝑧2 𝑢(log 𝑢) Este resultado pode ser encontrado em [2] Teorema 1.4.3 página 9. 21 (1.3.5) segue que 1 𝑂(1) ∫︁ 𝑧 𝑅(𝑢) = log log 𝑧 + 1 ⊗ log log 2 + + 𝑑𝑢. log 𝑧 2 𝑢(log 𝑢)2 𝑝⊘𝑧 𝑝 ∑︁ Observe agora que ∫︁ 𝑧 2 ∫︁ ∞ ∫︁ ∞ 𝑅(𝑢) 𝑅(𝑢) 𝑅(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑢 ⊗ 𝑑𝑢 𝑢(log 𝑢)2 𝑢(log 𝑢)2 𝑢(log 𝑢)2 2 𝑧 onde a existência das integrais improprias são asseguradas pelo fato de que 𝑅(𝑢) = 𝑂(1). Além disso )︃ (︃ )︃ (︃∫︁ ∫︁ ∞ ∞ 𝑅(𝑢) 1 𝑑𝑢 =𝑂 . 𝑑𝑢 = 𝑂 𝑢(log 𝑢)2 𝑢(log 𝑢)2 log 𝑧 𝑧 𝑧 Assim, (︃ 1 1 = log log 𝑧 + 𝐴 + 𝑂 log 𝑧 𝑝⊘𝑧 𝑝 ∑︁ onde 𝐴 = 1 ⊗ log log 2 + Portanto, segue que uma vez que √︃ ∞ 2 𝑅(𝑢) 𝑑𝑢. 𝑢(log 𝑢)2 1 = log log 𝑧 + 𝑂(1) 𝑝⊘𝑧 𝑝 ∑︁ (︃ )︃ 1 𝑂 log 𝑧 ⊘ para alguma constante positiva 𝑘 e para 𝑧 ⊙ 𝑒, (︃ 1 𝑂 log 𝑧 )︃ ⊘ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑘 ⧹︃ ⧹︃ log 𝑧 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑘 ⧹︃ ⧹︃ log 𝑧 ⧹︃ 22 ⊘ 𝑘. )︃ Capítulo 2 O Principio da Inclusão Exclusão Neste capítulo vamos estabelecer, o principio da inclusão-exclusão, uma importante ferramenta de contagem. Essa ferramenta vai tornar possível obter o número de elementos em uma união finita de conjuntos. 2.1 O principio da inclusão-exclusão Vamos considerar um exemplo para ilustrar nosso problema. Exemplo 2.1.1. Considere um conjunto finito 𝑋 e três subconjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e suponha que queiramos contar o número de elementos no conjunto, 𝑋 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶). Claramente, se soubermos contar o numero de elementos na união 𝐴∪𝐵 ∪𝐶 então respondemos ao nosso problema fazendo, ♣𝑋 ♣⊗♣𝐴∪𝐵∪𝐶 ♣. Para obter o número de elementos do conjunto 𝐴∪𝐵∪𝐶 tomamos a soma ♣𝐴♣+♣𝐵♣+♣𝐶♣. (2.1.1) Se 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são dois a dois disjuntos temos a resposta imediatamente pelo principio aditivo. Caso os conjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não sejam disjuntos temos uma sobre-contagem em (2.1.1) uma vez que os elementos que pertencem a 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶 e 𝐵 ∩ 𝐶 foram contados duas vezes na soma ♣ 𝐴 ♣ + ♣ 𝐵 ♣ + ♣ 𝐶 ♣. Portanto devemos subtrair ♣ 𝐴 ∩ 𝐵 ♣ + ♣ 𝐴 ∩ 𝐶 ♣ + ♣ 𝐵 ∩ 𝐶 ♣ do total (2.1.1). Agora a conta está correta, exceto para os elementos na interseção 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 que foram adicionados três vezes, mas também subtraidos três vezes. Portanto devemos ter, ♣ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ♣=♣ 𝐴 ♣ + ♣ 𝐵 ♣ + ♣ 𝐶 ♣ ⊗ ♣ 𝐴 ∩ 𝐵 ♣ ⊗ ♣ 𝐴 ∩ 𝐶 ♣ ⊗ ♣ 𝐵 ∩ 𝐶 ♣ + ♣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ♣, 23 e portanto, ♣ 𝑋 ∖ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ♣=♣ 𝑋 ♣ ⊗ ♣ 𝐴 ♣ ⊗ ♣ 𝐵 ♣ ⊗ ♣ 𝐶 ♣ + ♣ 𝐴 ∩ 𝐵 ♣ + ♣ 𝐴 ∩ 𝐶 ♣ + ♣ 𝐵 ∩ 𝐶 ♣ ⊗ ♣ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ♣ . O resultado a seguir fornece o caminho para o caso geral. Teorema 2.1.2. Sejam 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 subconjuntos de 𝑋. Então, ⧹︃ ⧹︃ n n ⧹︃ ⧹︃ ⋃︁ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ 𝐴i ⧹︃ =♣ 𝑋 ♣ ⊗ ♣ 𝐴i ♣ + ⧹︃𝑋 ∖ ⧹︃ ⧹︃ i=1 i=1 ∑︁ 1≤i<j≤n ♣ 𝐴i ∩ 𝐴j ♣ ⊗ ∑︁ 1≤i<j<k≤n ♣ 𝐴i ∩ 𝐴j ∩ 𝐴k ♣ + ≤ ≤ ≤ + (⊗1)n ♣ 𝐴1 ∩ . . . ∩ 𝐴n ♣ . (2.1.2) Demonstração. Afim de tornar clara a expressão (2.1.2) considere a observação: obs.: A desigualdade 1 ⊘ 𝑖1 < 𝑖2 < ≤ ≤ ≤ < 𝑖𝑡 ⊘ 𝑛 abaixo do símbolo de soma está indicando que a soma é feita sobre todas as escolhas de inteiros 𝑖1 , . . . , 𝑖𝑡 que satisfazem estas desigualdades. Para a demonstração verificamos quão frequente um elemento de 𝑥 ∈ 𝑋 é contado em ambos os ⎷ ⎷ lados. Se 𝑥 ̸∈ 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 , então ele é contado uma vez em cada lado. Suponha então que 𝑥 ∈ 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 , e mais precisamente, que 𝑥 está em exatamente 𝑚 (1 ⊘ 𝑚 ⊘ 𝑛) dos conjuntos 𝐴𝑖 . A conta no lado esquerdo é 0. No lado direito, usando o Exemplo (1.2.15), contamos 𝑥 exatamente, (︃ )︃ (︃ )︃ (︃ )︃ (︃ )︃ 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 1⊗ + ≤ ≤ ≤ + (⊗1)𝑚 ⊗ = 0, + 3 1 2 𝑚 uma vez que (︁ ⎡ 𝑚 𝑘 é o número de maneiras de se escolher 𝑘 conjuntos dentre os 𝑚 conjuntos. Suponha um conjunto 𝑋, chamado universo, e um conjunto de propriedades 𝐸 = ¶𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ♢ cujos elementos de 𝑋 podem possuir ou não. Seja ainda 𝐴𝑖 o subconjunto de 𝑋 cujos elementos desfrutam da propriedade 𝑒𝑖 (e possivelmente de outras). Então temos: ⎷ ♣ 𝑋 ∖ 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ♣ é o número de elementos de 𝑋 que não possuem propriedades em 𝐸 e 𝐴𝑖1 ∩𝐴𝑖2 ∩. . .∩𝐴𝑖t ⊆ 𝑋 é o conjunto dos elementos de 𝑋 que possuem as propriedades 𝑒𝑖1 , 𝑒𝑖2 , . . . , 𝑒𝑖t (e talvez outras). Usando a notação, 𝑁⊇𝑇 :=♣ ¶𝑥 ∈ 𝑋 ♣ 𝑥 possui ao menos as propriedades 𝑇 ♢ ♣; 𝑁=𝑇 :=♣ ¶𝑥 ∈ 𝑋 ♣ 𝑥 possui precisamente as propriedades 𝑇 ♢ ♣, (2.1.3) para 𝑇 ⊆ 𝐸, reescrevemos o Teorema (2.1.2) como: Principio da Inclusão-Exclusão. Seja 𝑋 um conjunto e 𝐸 = ¶𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ♢ um conjunto de propriedades. Então, 𝑁=∅ = ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣ 𝑁⊇𝑇 = 𝑇 ⊖𝐸 onde 𝑁=∅ = ♣𝑋 ∖ ⎷𝑛 𝑛 ∑︁ (⊗1)𝑘 ⧹︃⎸ ⧹︃ 𝑒i ∈𝑇 𝑁⊇𝑇 𝑇 :♣𝑇 ♣=𝑘 𝑘=0 𝑖=1 𝐴𝑖 ♣, 𝑁⊇∅ =♣ 𝑋 ♣ e 𝑁⊇𝑇 = ⧹︃ ∑︁ ⧹︃ 𝐴𝑖 ⧹︃⧹︃. Com o propósito de tornar clara a fórmula (2.1.4) vamos ilustra-la com exemplos. 24 (2.1.4) Exemplo 2.1.3. Vamos supor que queiramos obter todos os números positivos, menores do que ou iguais a 100, que não são múltiplos de 2, 3 ou 5. Claramente fazendo 𝑋 = ¶1, 2, . . . , 100♢ e 𝐸 = ¶𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ♢, onde 𝑒1 é a propriedade 2 ♣ 𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑒2 é a propriedade 3 ♣ 𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑒3 é a propriedade 5 ♣ 𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑋, o que buscamos é o conjunto 𝑁=∅ , ou seja, o número de elementos em 𝑋 que não atende as propriedades em 𝐸. Note que os elementos do conjunto, ¶∅, ¶𝑒1 ♢, ¶𝑒2 ♢, ¶𝑒3 ♢, ¶𝑒1 , 𝑒2 ♢, ¶𝑒1 , 𝑒3 ♢, ¶𝑒2 , 𝑒3 ♢, ¶𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ♢♢ são conjuntos de propriedades e que um elemento em 𝑋 pode admitir tais propriedades ou não. Um elemento 𝑥 ∈ 𝑋 atende a propriedade ¶𝑒1 , 𝑒2 ♢ se, e somente se, 6 ♣ 𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑋, atende a propriedade ¶𝑒1 , 𝑒3 ♢ se, e somente se, 10 ♣ 𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑋, atende a propriedade ¶𝑒2 , 𝑒3 ♢ se, e somente se, 15 ♣ 𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑋 e atende a propriedade ¶𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ♢ se, e somente se, 30 ♣ 𝑥 para 𝑥 ∈ 𝑋. Como 𝑇 ∈ ¶∅, ¶𝑒1 ♢, ¶𝑒2 ♢, ¶𝑒3 ♢, ¶𝑒1 , 𝑒2 ♢, ¶𝑒1 , 𝑒3 ♢, ¶𝑒2 , 𝑒3 ♢, ¶𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ♢♢ segue que 𝑁=∅ = (⊗1)♣∅♣ 𝑁⊇∅ + (⊗1)♣¶𝑒1 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ♢ + (⊗1)♣¶𝑒2 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒2 ♢ + (⊗1)♣¶𝑒3 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒3 ♢ + (⊗1)♣¶𝑒1 ,𝑒2 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ,𝑒2 ♢ + + (⊗1)♣¶𝑒1 ,𝑒3 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ,𝑒3 ♢ + (⊗1)♣¶𝑒2 ,𝑒3 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒2 ,𝑒3 ♢ + (⊗1)♣¶𝑒1 ,𝑒2 ,𝑒3 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ,𝑒2 ,𝑒3 ♢ . e isso obviamente poderia ser escrito como, 𝑛 ∑︁ (⊗1)𝑘 ⌊︁ ⌋︁ 𝑛 1 𝑎 𝑁⊇𝑇 . 𝑇 :♣𝑇 ♣=𝑘 𝑘=0 Sabendo agora que 𝑎, temos que; ∑︁ é o número de inteiros no conjunto ¶1, 2, . . . , 𝑛♢ que são divisíveis por 𝑁=∅ = (⊗1)0 𝑁⊇∅ + (⊗1)1 (⊗1)2 logo, (︁⌊︁ 100 6 ⌋︁ + ⌊︁ 100 10 ⌋︁ (︁⌊︁ + ⌋︁ ⌊︁ ⌋︁ ⌊︁ ⌋︁⎡ 100 + 100 + 100 3 ⌊︁ 5 ⌋︁ ⌊︁ 2 ⌋︁⎡ 100 3 100 + (⊗1) 30 . 15 + 𝑁=∅ = 100 ⊗ (50 + 33 + 20) + (16 + 10 + 6) ⊗ 3 = 26 Portanto existem 26 números menores do que ou iguais a 100 que não são múltiplos de 2, 3 ou 5, a saber ¶1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97♢. Para o próximo exemplo, vamos estabelecer o cálculo da função de Euler, 𝜙(𝑛) =♣ ¶𝑑 ♣ 1 ⊘ 𝑑 ⊘ 𝑛, (𝑑, 𝑛) = 1♢ ♣ . 1 Para 𝑥 ⊙ 0 ⌊𝑥⌋ é o mesmo que, ⌊𝑥⌋ =♣ ¶𝑛 ∈ N : 𝑛 ⊘ 𝑥♢ ♣ . 25 Exemplo 2.1.4. Suponha que 𝑛 = 𝑝𝑎11 . . . 𝑝𝑎𝑡 t é a decomposição de 𝑛 em fatores primos . Sejam 𝑋 = ¶1, 2, . . . , 𝑛♢ e 𝑒𝑖 a propriedade dada por 𝑝𝑖 divide 𝑑 para 𝑑 ∈ 𝑋. Novamente queremos calcular 𝑁=∅ , (𝑁=∅ = 𝜙(𝑛)). Como √︂ 𝑛 𝑝i fornece o número de inteiros menores do que ou iguais a 𝑛 que são divisíveis por √︂ ei ∈T 𝑒i ∈𝑇 𝑝𝑖 , temos, 𝑁⊇𝑇 = √︂ 𝑛 𝑒i ∈𝑇 𝑝𝑖 . E daí, em analogia ao exemplo anterior podemos aplicar a fórmula 𝑁=∅ = ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣ 𝑁⊇𝑇 𝑇 ⊖𝐸 para obter 𝜙(𝑛). Note que como nesse caso, 𝐸 = ¶𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑡 ♢ e a soma se estende para todo 𝑇 ∈ 𝒫(𝐸), a expressão acima possui a priori 2𝑡 parcelas 𝑁=∅ = (⊗1)♣∅♣ 𝑁⊇∅ + (⊗1)♣¶𝑒1 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ♢ + ≤ ≤ ≤ + (⊗1)♣¶𝑒t ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒t ♢ + . . . + (⊗1)♣¶𝑒1 ,𝑒2 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ,𝑒2 ♢ + (⊗1)♣¶𝑒1 ,𝑒3 ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ,𝑒3 ♢ + ≤ ≤ ≤ + (⊗1)♣¶𝑒1 ,𝑒2 ,...,𝑒t ♢♣ 𝑁⊇¶𝑒1 ,𝑒2 ,...,𝑒t ♢ . e utilizando o fato de que 𝑁=∅ pode ser escrito como, 𝑁=∅ = 𝑡 ∑︁ (⊗1)𝑘 𝜙(𝑛) = 𝑛 ⊗ ⎛ ou equivalentemente = 𝑛 ≤ ∐︁1 ⊗ 𝑁⊇𝑇 . 𝑇 :♣𝑇 ♣=𝑘 𝑘=0 temos, ∑︁ ∑︁ ∑︁ 𝑛 𝑛 𝑛 + ⊗ ≤ ≤ ≤ + (⊗1)𝑡 = 𝑝𝑖 𝑖<𝑗⊘𝑡 𝑝𝑖 𝑝𝑗 𝑝𝑖 . . . 𝑝𝑡 ∑︁ ∑︁ 1 1 ̂︀ 1 + ⊗ ≤ ≤ ≤ + (⊗1)𝑡 𝑝𝑖 𝑖<𝑗⊘𝑡 𝑝𝑖 𝑝𝑗 𝑝 𝑖 . . . 𝑝𝑡 𝑖⊘𝑡 𝑖⊘𝑡 ⎞ 𝜙(𝑛) = 𝑛 ≤ 𝑡 ∏︁ 𝑖=1 (︃ )︃ 1 1⊗ . 𝑝𝑖 Numericamente, se 𝑛 = 825 temos 𝑛 = 3 × 52 × 11. Assim 1 𝜙(825) = 825 ≤ 1 ⊗ 3 ⎤ ⎣⎤ 1 1⊗ 5 ⎣⎤ 1 2 4 10 1⊗ = 825 ≤ ≤ ≤ = 400. 11 3 5 11 ⎣ Ou seja, existem 400 inteiros positivos, menores do que ou iguais a 825 que são primos com 825. 26 2.2 Uma generalização do principio da inclusão-exclusão Até agora expressamos 𝑁=∅ em termos do número 𝑁⊇𝑇 como na fórmula (2.1.4) e, em um caminho análogo, é natural perguntarmos por uma fórmula mais geral expressando 𝑁=𝐴 . A partir da notação estabelecida em (2.1.3) deduzimos que ∑︁ 𝑁⊇𝐴 = (2.2.1) 𝑁=𝑇 , 𝑇 ⊇𝐴 uma vez que, os elementos que possuem exatamente as propriedades 𝑇 possuem ao menos as propriedades 𝐴, já que 𝑇 ⊇ 𝐴. Agora iremos provar a reciproca, 𝑁=𝐴 = ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑁⊇𝑇 , (2.2.2) 𝑇 ⊇𝐴 que reduz a fórmula (2.1.4) para o caso particular 𝐴 = ∅. Nós provamos as relações entre (2.2.1) e (2.2.2) para conjuntos de funções arbitrários. Teorema 2.2.1. Sejam 𝐸 um conjunto finito e 𝑓, 𝑔 : 𝒫(𝐸) ⊃ 𝐾 funções em um corpo 𝐾 de característica 0. Então ∑︁ 𝑓 (𝐴) = 𝑇 ⊇𝐴 ∑︁ 𝑔(𝑇 ) (∀ 𝐴) ⇐⇒ 𝑔(𝐴) = (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑓 (𝑇 ) (∀ 𝐴) 𝑇 ⊇𝐴 Demonstração. Assuma que 𝑓 (𝐴) = ∑︁ 𝑔(𝑇 ) (∀ 𝐴). 𝑇 ⊇𝐴 Dado 𝐴 temos que, ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑓 (𝑇 ) = 𝑇 ⊇𝐴 ∑︁ ⎛ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ ∐︁ 𝑇 ⊇𝐴 ∑︁ 𝑈 ⊇𝑇 ⎞ 𝑔(𝑈 )̂︀ . Como, 𝑈 ⊇ 𝑇 , 𝑇 ⊇ 𝐴 e estamos num corpo 𝐾 podemos reorganizar o lado direito da última igualdade como segue ∑︁ ⎛ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ ∐︁ 𝑇 ⊇𝐴 = ∑︁ ∑︁ 𝑈 ⊇𝑇 ♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ (⊗1) 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 = ⎞ 𝑔(𝑈 )̂︀ = ⎛ ∐︁ ∑︁ 𝑈 ⊇𝐴 ∑︁ 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 ⎞ 𝑔(𝑈 )̂︀ = ∑︁ ⎛ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ ∐︁ ∑︁ ∑︁ 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 ∑︁ ∑︁ ⎞ 𝑔(𝑈 )̂︀ = (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑔(𝑈 ) = 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 𝑈 ⊇𝐴 ♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ (⊗1) 𝑔(𝑈 ). 𝑈 ⊇𝐴 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 Observe agora que, como 𝐴 é dado e para cada 𝑈 a soma ocorre em 𝑇 , podemos colocar em evidencia 𝑔(𝑈 ) o que nos fornece, = ∑︁ ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑔(𝑈 ) = 𝑈 ⊇𝐴 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 ∑︁ 𝑈 ⊇𝐴 27 ⎛ ∐︁ ∑︁ ⎞ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ ̂︀ 𝑔(𝑈 ). 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 Portanto, ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑓 (𝑇 ) = ∑︁ 𝑇 ⊇𝐴 𝑈 ⊇𝐴 Se ♣ 𝑈 ∖ 𝐴 ♣= 𝑚 então, ∑︁ ♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ (⊗1) = 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 𝑚 ∑︁ ⎛ ∐︁ ⎞ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ ̂︀ 𝑔(𝑈 ). ∑︁ 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 𝑘 (⊗1) 𝑘=0 (︃ De fato, como ⎧ )︃ ⨄︁1 se 𝑚 = 0 𝑚 = ⎩0 se 𝑚 ̸= 0 𝑘 . ♣ 𝐴 ♣⊘♣ 𝑇 ♣⊘♣ 𝑈 ♣ segue que 0 ⊘♣ 𝑇 ♣ ⊗ ♣ 𝐴 ♣⊘♣ 𝑈 ♣ ⊗ ♣ 𝐴 ♣= (︁𝑚.⎡ Assim, escrevendo ♣ 𝑇 ♣ ⊗ ♣ 𝐴 ♣= 𝑘, temos que para conjuntos 𝑇 com cardinalidade ♣ 𝐴 ♣ +𝑘. Portanto, cada 𝑘 no conjunto ¶0, 1, . . . , 𝑚♢ existem 𝑚 𝑘 para cada 𝑘 estaremos somando a parcela (⊗1)𝑘 exatamente Assim resulta que, ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑓 (𝑇 ) = 𝑇 ⊇𝐴 ∑︁ 𝑈 ⊇𝐴 ⎛ ∐︁ ∑︁ (︁ ⎡ 𝑚 𝑘 vezes. ⎞ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ ̂︀ 𝑔(𝑈 ) = 𝑔(𝐴) ⇐⇒ 𝑈 = 𝐴. 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 Assuma agora que, 𝑔(𝐴) = ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣⊗♣𝐴♣ 𝑓 (𝑇 ) (∀ 𝐴). 𝑇 ⊇𝐴 Dado 𝐴 temos que, ∑︁ 𝑇 ⊇𝐴 𝑔(𝑇 ) = ∑︁ ∑︁ (⊗1)♣𝑈 ♣⊗♣𝑇 ♣ 𝑓 (𝑈 ). 𝑇 ⊇𝐴 𝑈 ⊇𝑇 Novamente como 𝑈 ⊇ 𝑇 , 𝑇 ⊇ 𝐴 e estamos num corpo 𝐾, podemos reorganizar o lado direito da última igualdade, ∑︁ ∑︁ (⊗1)♣𝑈 ♣⊗♣𝑇 ♣ 𝑓 (𝑈 ) = 𝑇 ⊇𝐴 𝑈 ⊇𝑇 (⊗1)♣𝑈 ♣⊗♣𝑇 ♣ 𝑓 (𝑈 ). ∑︁ 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 Sabendo que 𝐴 é dado e para cada 𝑈 a soma ocorre em 𝑇 podemos colocar em evidencia 𝑓 (𝑈 ) o que nos fornece, ⎞ ⎛ ∑︁ (⊗1)♣𝑈 ♣⊗♣𝑇 ♣ 𝑓 (𝑈 ) = ∐︁ e como 𝑇 ⊇ 𝐴, (⊗1)♣𝑈 ♣⊗♣𝑇 ♣ ̂︀ 𝑓 (𝑈 ). 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 Seja ♣ 𝑈 ∖ 𝐴 ♣= 𝑚. Então, ∑︁ ♣ 𝑈 ♣=♣ 𝐴 ♣ +𝑚 ♣ 𝑇 ♣=♣ 𝐴 ♣ +𝑘 (0 ⊘ 𝑘 ⊘ 𝑚) segue, ♣ 𝑈 ♣ ⊗ ♣ 𝑇 ♣= 𝑚 ⊗ 𝑘 onde 0 ⊘ 𝑘 ⊘ 𝑚. 28 Assim, ∑︁ (⊗1)♣𝑈 ♣⊗♣𝑇 ♣ = 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 𝑚 ∑︁ (⊗1)𝑠 𝑠=0 (︃ ⎧ )︃ ⨄︁1 se 𝑚 = 0 𝑚 =⎩ 𝑠 0 se 𝑚 ̸= 0 . onde 𝑠 = 𝑚 ⊗ 𝑘. De fato, (︁ ⎡note que cada 𝑘 especifica um 𝑠. Note ainda que para cada 𝑘 no conjunto ¶0, 1, . . . , 𝑚♢ conjuntos 𝑇 com cardinalidade ♣ 𝐴 ♣ +𝑘. Sabendo que, existem 𝑚 𝑘 )︃ (︃ )︃ (︃ (︃ 𝑚 𝑚 𝑚 = = 𝑠 𝑚⊗𝑘 𝑘 )︃ temos que para cada 𝑘 estaremos somando a parcela (⊗1)𝑠 exatamente Assim resulta que, ∑︁ 𝑇 ⊇𝐴 ⎛ 𝑔(𝑇 ) = ∐︁ ∑︁ (︁ ⎡ 𝑚 𝑠 vezes. ⎞ (⊗1)♣𝑈 ♣⊗♣𝑇 ♣ ̂︀ 𝑓 (𝑈 ) = 𝑓 (𝐴) ⇐⇒ 𝑈 = 𝐴. 𝑈 ⊇𝑇 ⊇𝐴 A fórmula (2.2.2) é agora uma consequência imediata do Teorema (2.2.1) por considerar as funções 𝑔(𝐴) = 𝑁=𝐴 e 𝑓 (𝐴) = 𝑁⊇𝐴 . Uma importante generalização do principio da inclusão-exclusão surge quando os elementos de 𝑋 são ponderados. Suponha que æ : 𝑋 ⊃ 𝐾 é uma função peso, que nós estendemos para 𝒫(𝑋), fazendo ∑︁ æ(𝐴) := æ(𝑥) ∀𝐴 ∈ 𝒫(𝑋) 𝑥∈𝐴 com æ(∅) = 0. Agora para um conjunto de propriedades 𝐸 = ¶𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ♢, defina, 𝑊⊇𝑇 := 𝑊=𝑇 := ∑︁ ∑︁ ¶æ(𝑥) ♣ 𝑥 possui ao menos as propriedades 𝑇 ♢; ¶æ(𝑥) ♣ 𝑥 possui precisamente as propriedades 𝑇 ♢, (2.2.3) para 𝑇 ⊆ 𝐸. Observe que para a função peso constante, æ(𝑥) = 1 temos 𝑊⊇𝑇 = 𝑁⊇𝑇 e 𝑊=𝑇 = 𝑁=𝑇 . Observe também, 𝑊⊇𝐴 = ∑︁ 𝑊=𝑇 , 𝑇 ⊇𝐴 uma vez que, a soma dos pesos dos elementos que possuem ao menos as propriedades de 𝐴 é igual a soma dos pesos dos elementos que possuem precisamente as propriedades 𝑇 uma vez que 𝑇 ⊇ 𝐴. Assim, aplicando o Teorema (2.2.1) com 𝑔(𝐴) = 𝑊=𝐴 e 𝑓 (𝐴) = 𝑊⊇𝐴 e em seguida fazendo 𝐴 = ∅, 29 chegamos ao principio geral da inclusão-exclusão, Principio Geral da Inclusão-Exclusão. Sejam 𝑋 um conjunto, æ : 𝑋 ⊃ 𝐾 uma função peso e 𝐸 = ¶𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ♢ um conjunto de propriedades. Então, 𝑊=∅ = ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣ 𝑊⊇𝑇 = 𝑇 ⊖𝐸 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 30 (⊗1)𝑘 ∑︁ 𝑇 :♣𝑇 ♣=𝑘 𝑊⊇𝑇 . (2.2.4) Capítulo 3 O Método do crivo Nosso objetivo, nesse capítulo, é o de explicar as ideias relacionadas ao método do Crivo. Para tanto, faremos uma contextualização histórica e descreveremos a evolução das ideias de um crivo, que definiremos ao longo deste capítulo, chamado o crivo de Eratóstenes - Legendre. Embora este seja o mais simples crivo dentro da Teoria de crivos, o crivo de Eratóstenes - Legendre, torna-se útil para entender como funcionam os métodos de crivo uma vez que os crivos mais sofisticados1 são extensões de suas ideias básicas. O capítulo termina com a apresentação de uma versão moderna do crivo de Eratóstenes Legendre associado ao truque de Rankin, cuja demonstração pode ser encontrada em [2]. Segundo os autores de [2] essa nova perspectiva torna o crivo de Eratóstenes - Legendre tão poderoso quanto o crivo de Brun, sendo esse último um processo de crivo que foi introduzido em um artigo de 1915 pelo matemático Viggo Brun e que é considerado um dos pilares da Teoria moderna de crivo. Os livros utilizados neste capítulo foram [2], [4], [5] e [7]. 3.1 Os crivos de Eratóstenes e Legendre 3.1.1 O crivo de Eratóstenes As ideias de crivo, em teoria de números, têm sua origem rastreada por volta do Século III a.C. com o mais antigo argumento reconhecível como um crivo, devido a Eratóstenes. De acordo com relatos sobreviventes, parece que Eratóstenes estabeleceu o seguinte processo: Partindo de uma lista de números ímpares ele excluiu 32 e cada terceiro número posterior. Em seguida, ele excluiu 52 e cada quinto número posterior, e assim por diante. O processo, descrito acima, conhecido como o crivo de Eratóstenes foi primeiro descrito no trabalho de Nicomedes (280 á 210 a.C.) intitulado Introdução à Aritmética. 1 Estamos nos referindo à classe dos crivos combinatoriais. 31 Não está claro, a partir dos relatos, que o objetivo2 do processo era obter os números primos. Segundo os autores Henryk Iwaniec e George Greaves a consiêcia de que uma tabela de números primos (até, por exemplo, 𝑁 ) poderia ser gerada desta forma datam de muito mais tarde. Iwaniec, em suas notas Sieve Methods de 1996, nos diz que isso ocorreu no inicio Século XIII graças a contribuição3 de Leonardo Pisano. Conforme observado por Leonardo Pisano, em seu Liber Abbaci, √ se um número 𝑛 não é primo, então ele tem necessariamente um fator primo não superior a 𝑛. A observação de Pisano pode ser traduzida em termos de um teorema. Teorema 3.1.1. Se 𝑛 ̸= 1 não√é um número primo, então 𝑛 possui necessariamente um fator primo menor do que ou igual a 𝑛. Demonstração. Supondo que 𝑛 é um número composto positivo, existe ao menos um par de inteiros 𝑛1 e 𝑛√2 tais que 𝑛 = 𝑛1 𝑛2 . Sem √ perda de generalidade suponha 𝑛1 ⊘ 𝑛2 . Claramente devemos ter 𝑛1 ⊘ 𝑛, uma vez que se 𝑛1 > 𝑛 teríamos: √ √ 𝑛 = 𝑛1 𝑛2 ⊙ 𝑛1 𝑛1 > 𝑛 𝑛 = 𝑛 o que é um absurdo. Usando o teorema fundamental da aritmética temos que 𝑛1 é primo ou 𝑛1 é produto de primos. Se 𝑛1 é primo acabou. Caso contrário 𝑛1 = Ð𝑝 onde 𝑝 é primo e 1 < Ð = 𝑛𝑝1 . Como max¶Ð, 𝑝♢ < √ √ 𝑛1 ⊘ 𝑛 segue que 𝑝 < 𝑛. O processo hoje conhecido como o "crivo de Eratóstenes", e que já era conhecido dessa maneira nos tempos de Legendre, depende dessa observação de Leonardo Pisano. Descreveremos a seguir esse processo: O crivo começa com a lista de todos os números inteiros entre 1√e 𝑁 . Em seguida apagamos, dessa lista, os múltiplos de todos os números primos 𝑝 entre 1 √ e 𝑁 . Os sobreviventes, deste processo de seleção, são: o número 1 e os números primos entre √ 𝑁 e 𝑁 . Podemos ilustrar isso como segue: Para 𝑁 = 48, temos que os primos menores do que 48 são 2, 3 e 5, assim, // , 11, 12 // , 13, 14 // , 15 // , 16 // , 17, 18 // , 19, 20 // , 21 // , 22 // , 23, 24 // , 25 // , 26 // , 1, 2/, 3/, 4/, 5/, 6/, 7, 8/, 9/, 10 // , 28 // , 29, 30 // , 31, 32 // , 33 // , 34 // , 35 // , 36 // , 37, 38 // , 39 // , 40 // , 41, 42 // , 43, 44 // , 45 // , 46 // , 47, 48 // . 27 Observe que alguns números foram cancelados mais de uma vez. Na verdade, neste processo observamos que √ um número 𝑛 é cancelado 𝑘 vezes, se 𝑘 é o número de fatores primos de 𝑛, que não excedem 𝑁 . 2 Um objetivo plausível para esse processo, por exemplo, poderia ter sido a geração de uma tabela de fatores. Para este fim Eratóstenes gostaria de observar não só que número tinha sido excluído, mas de que primos era múltiplo que causou possivelmente sua eliminação múltipla. 3 Trabalho Liber Abbaci de 1202 de autoria de Leonardo Pisano 32 3.1.2 O crivo de Legendre Embora os problemas de obter uma tabela de primos e o de contar o número de primos menores do que um dado limite sejam diferentes, Legendre nos mostrou como obter informações sobre a quantidade de primos a partir do crivo de Eratóstenes. Em 1808, na segunda edição de seu livro Théorie des Nombres, A. M. Legendre estabeleceu uma formulação mais analítica do principio dado na Seção (3.1.1). Vamos agora estabelecer suas ideias: Sejam A o conjunto dos números naturais menores do que ou igual a 𝑥, B o conjunto dos números primos menores do que ou igual a 𝑧 e A𝑝 o subconjunto de números em A que são divisíveis por 𝑝 ∈ B. Seja ainda, para cada subconjunto 𝑇 ⊆ B, o conjunto A𝑇 := ⋂︁ A𝑝 . 𝑝∈𝑇 Temos que um elemento no conjunto A𝑇 possui todas as propriedades comuns à A𝑝 (com 𝑝 ∈ 𝑇 ), ou seja, um elemento em A𝑇 é divisível (ao menos) por todos os primos 𝑝 ∈ 𝑇 . Temos também, denotando, ⋃︁ A𝑝 , 𝒮(A , B) := A ∖ 𝑝∈B que o conjunto 𝒮(A , B) representa os inteiros entre 1 e 𝑥 que não têm fatores primos menores do que 𝑧. Neste contexto, usando a notação (2.1.3) introduzida no capítulo anterior, temos pelo principio da inclusão-exclusão que ♣ 𝒮(A , B) ♣= ∑︁ (⊗1)♣𝑇 ♣ 𝑁⊇𝑇 (3.1.1) 𝑇 ⊖B onde 𝑁⊇𝑇 denota o número de elementos em A que possuem ao menos as propriedades 𝑇 . Ou seja se 𝑇 = ¶𝑝𝑖1 , 𝑝𝑖2 , . . . , 𝑝𝑖r ♢ então 𝑁⊇𝑇 denota o número de elementos menores do que ou igual a 𝑥 que são divisíveis por 𝑝𝑖1 𝑝𝑖2 . . . 𝑝𝑖r . Vamos agora escrever (3.1.1) de uma forma alternativa. Definição 3.1.2. 4 A função de Möbius denotada por Û(≤), é definida como uma função multiplicativa5 satisfazendo Û(1) = 1, Û(𝑝) = ⊗1 para todo primo 𝑝 e Û(𝑝Ð ) = 0 para todo inteiro Ð ⊙ 2. Assim se 𝑛 não é livre de quadrados Û(𝑛) = 0 e se 𝑛 é um produto de 𝑘 primos distintos, então Û(𝑛) = (⊗1)𝑘 . Utilizando a Definição (3.1.2) é possível ver que o lado direito da igualdade (3.1.1) pode ser reescrito como, 4 Essa função foi introduzida em 1832 pelo matemático A. F. Möbius e por essa razão ela é hoje conhecida como função de Möbius. A função de Möbius definida dessa maneira pode ser encontrada em [2]. 5 Função multiplicativa é uma função definida para todos os inteiros positivos e tal que 𝑓 (𝑚𝑛) = 𝑓 (𝑚)𝑓 (𝑛) para todo par de inteiros positivos 𝑚 e 𝑛 relativamente primos. 33 ∑︁ Û(𝑑) 𝑑♣𝑃 𝑥 𝑑 ⎥ ⌋︂ onde 𝑃 denota o produto dos primos em B e ⌊𝑥⌋ denota a parte inteira de 𝑥, isto é, ♣ 𝒮(A , B) ♣= ∑︁ Û(𝑑) 𝑑♣𝑃 𝑥 . 𝑑 ⎥ ⌋︂ (3.1.2) De fato, sabemos que B é o conjunto de todos os números primos menores do que ou igual a 𝑧. Desde que os divisores de 𝑃 estão em correspondência um a um com os subconjuntos 𝑇 ⊆ B, 𝑝1 𝑝2 . . . 𝑝𝑘 ⇐⇒ 𝑇 = ¶𝑝1 , 𝑝2 , . . . 𝑝𝑘 ♢ ⊆ B6 segue que, a soma ∑︁ Û(𝑑) 𝑑♣𝑃 (3.1.3) 𝑥 𝑑 ⎥ ⌋︂ contêm 2♣B♣ parcelas e portanto o número de parcelas nas duas somas são iguais. Alem disso dado um divisor 𝑑 de ⌊︁ 𝑃 ⌋︁ , associamos esse divisor ao subconjunto 𝑇 de B, como em 3.1.3, de modo que 𝑥 a parcela Û(𝑑) 𝑑 = (⊗1)♣𝑇 ♣ 𝑁⊇𝑇 . Daí segue que ∑︁ Û(𝑑) 𝑑♣𝑃 ∑︁ 𝑥 (⊗1)♣𝑇 ♣ 𝑁⊇𝑇 . = 𝑑 𝑇 ⊖B ⎥ ⌋︂ Como Legendre, baseado neste principio, publicou a fórmula ♣ 𝒮(A , B) ♣= ⌊𝑥⌋ ⊗ ∑︁ 𝑝1 ⊘𝑧 ⟩ ⨆︀ ⟩ ⨆︀ ⟩ ⨆︀ ∑︁ ∑︁ 𝑥 𝑥 𝑥 + ⊗ + ... 𝑝1 𝑝2 <𝑝1 ⊘𝑧 𝑝1 𝑝2 𝑝3 <𝑝2 <𝑝1 ⊘𝑧 𝑝1 𝑝2 𝑝3 (3.1.4) a identidade (3.1.2) é chamada de identidade de Legendre . ⌋︁ ⌊︁ Para verificar diretamente a fórmula (3.1.4) observe que 𝑝1 𝑝2𝑥...𝑝r é o número de inteiros positivos menores do que ou iguais a 𝑥 que são múltiplos do inteiro 𝑝1 𝑝2 . . . 𝑝𝑟 . Portanto, o lado direito da igualdade (3.1.4) representa o número de inteiros positivos menores do que ou igual a 𝑥 contados com multiplicidade apropriada. A saber, se 𝑛 ⊘ 𝑥 tem exatamente 𝑠 ⊙ 0 divisores primos menores do que ou iguais a 𝑧 ele é contado com multiplicidade, 𝑠 ∑︁ 𝑘=0 (⊗1)𝑘 (︃ )︃ ⎧ ⨄︁1, se 𝑠 = 0; 𝑠 = ⎩0, se 𝑠 ̸= 0 𝑘 . Ilustramos com um exemplo numérico a igualdade (3.1.2) e a relação disto com o crivo de Eratóstenes. A relação entre os crivos de Legendre e Eratóstenes é o motivo pelo qual o crivo de Legrendre é também chamado de o crivo de Eratóstenes-Legendre. 6 O subconjunto ∅ esta em correspondencia com o divisor 1. 34 Exemplo 3.1.3. Ao longo do texto, a função Þ(𝑥) representará o número de primos não superiores a 𝑥. Suponha que queiramos contar o número de primos menores do que 100. Primeiramente, √ conforme observado por Leonardo Pisano, para obter a lista de todos os primos 𝑝 no intervalo 𝑥 < 𝑝 ⊘ 𝑥 somente precisamos √ remover, partindo dos inteiros 1 ⊘ 𝑛 ⊘ 𝑥, os 100 devemos retirar múltiplos de primos menores do que ou iguais a 𝑥. No nosso caso, para 𝑥 = √ do intervalo 1 ⊘ 𝑛 ⊘ 100 os múltiplos de primos menores do que ou igual a 100 = 10, a saber os múltiplos de ¶2, 3, 5, 7♢. Assim, a quantidade de primos no intervalo 1 ⊘ 𝑝 ⊘ 100 utilizando o principio da inclusãoexclusão fornece 100 100 100 100 Þ(100) ⊗ Þ(10) + 1 = (⊗1) 𝑁⊇∅ + (⊗1) + (⊗1)1 + (⊗1)1 + (⊗1)1 + 2 ⎥ 3 ⎥ 5 ⎥ 7 ⎥ ⎥ ⌋︂ ⌋︂ ⌋︂ ⌋︂ ⌋︂ 2 100 2 100 2 100 2 100 2 100 + (⊗1) + (⊗1) + (⊗1) + (⊗1) + (⊗1) 6 ⌋︂ 10 ⌋︂ 14 ⌋︂ 15 ⌋︂ 21 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 100 100 100 100 + (⊗1)3 + (⊗1)3 + (⊗1)3 + (⊗1)2 35 30 42 70 ⎥ ⌋︂ ⎥ ⌋︂ 100 100 + (⊗1)3 + (⊗1)4 105 210 0 1 ⎥ ⌋︂ ⎥ ⌋︂ ⎥ ⌋︂ ⎥ ⌋︂ ou seja, Þ(100) ⊗ 4 + 1 = 100 ⊗ 50 ⊗ 33 ⊗ 20 ⊗ 14 + + 16 + 10 + 7 + 6 + 4 +2⊗3⊗2⊗1 ⊗ 0 + 0 = 22. Portanto o número de inteiros positivos que não são múltiplos de 2, 3, 5 ou 7 no intervalo 1 ⊘ 𝑝 ⊘ 100 é igual a 22. Observe que o inteiro positivo 1 não é múltiplo de 2, 3, 5 e 7 e portanto ele foi contado acima. Além disso como estamos retirando os múltiplos dos primos menores do que 10, segue que o número de inteiros positivos que não são múltiplos de 2, 3, 5 e 7, estão no intervalo no intervalo 10 < 𝑝 ⊘ 100 e são primos, são em quantidade igual a 21. A relação entre essa contagem e o crivo de Eratóstenes pode ser ilustrado com a ajuda do Exemplo (2.1.3), dado no Capítulo 2. Para obter os números primos no intervalo √ 10 < 𝑝 ⊘ 100 devemos retirar os múltiplos dos números primos menores do que ou igual a 100 = 10 do intervalo 1 ⊘ 𝑛 ⊘ 100. No Exemplo (2.1.3) retiramos os múltiplos de 2, 3 e 5, do intervalo 1 ⊘ 𝑛 ⊘ 100, e obtivemos o conjunto ¶1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97♢. 35 Assim, para obter os primos menores do que ou igual a 100 e maiores do que ou igual a 10 devemos retirar desse conjunto os múltiplos do número primo 7, o que resulta ¶1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97♢. Por fim devemos retirar 1 que não é primo para obtermos, ♣ ¶11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97♢ ♣= 21. Para finalizar a seção apresentamos um resultado, que é uma consequência da Definição (3.1.2) e que será útil futuramente. Lema 3.1.4 (A propriedade fundamental da função de Möbius). ∑︁ Û(𝑑) = 𝑑♣𝑛 ⎧ ⨄︁1 ⎩0 se 𝑛 = 1 caso contrario. Demonstração. Se 𝑛 = 1, então a afirmação do Lema é claramente verdadeira. Sejam 𝑛 > 1 com 𝑛 = 𝑝Ð1 1 ≤ 𝑝Ð2 2 . . . 𝑝Ð𝑟 r , a fatoração única de 𝑛 em potências de primos distintos, e 𝑁 = 𝑝1 ≤ 𝑝2 . . . 𝑝𝑟 . Como Û(𝑑) = 0, quando 𝑑 não é livre de quadrados, temos ∑︁ Û(𝑑) = 𝑑♣𝑛 ∑︁ Û(𝑑). 𝑑♣𝑁 A última soma contém 2𝑟 parcelas, cada uma correspondendo a um subconjunto de ¶𝑝1 , 𝑝2 , . . . , 𝑝𝑟 ♢. Como os divisores de 𝑁 estão em correspondência um a um com tais subconjuntos, e o número de subconjuntos com 𝑘 elementos é (︃ )︃ 𝑟 , 𝑘 segue que para um divisor 𝑑 determinado por um subconjunto com 𝑘 elementos temos Û(𝑑) = (⊗1)𝑘 . Assim, (︃ )︃ 𝑟 ∑︁ ∑︁ 𝑟 Û(𝑑) = (⊗1)𝑘 = (1 ⊗ 1)𝑟 = 0. 𝑘=0 𝑘 𝑑♣𝑁 3.1.3 Uma estimativa para Þ(𝑥) utilizando o crivo de Legendre Definimos no Exemplo (3.1.3) a função Þ(𝑥) como sendo o número de primos menores do que ou iguais a 𝑥. Vamos agora discutir a questão de limitar o número Þ(𝑥) usando uma abordagem dada por Legendre. Fixada a notação da seção anterior e, como antes, denotando 𝒮(A , B) := A ∖ 36 ⋃︁ 𝑝∈B A𝑝 com 𝑧 < √ 𝑥 segue, ♣ 𝒮(A , B) ♣⊙ Þ(𝑥) ⊗ Þ(𝑧) + 1. (3.1.5) De fato, isso ocorre pois, ♣ 𝒮(A , B) ♣ conta o número 1, não conta os primos 𝑝 ⊘ 𝑧, conta os primos 𝑝 com 𝑧 < 𝑝 ⊘ 𝑥 e além disso, o número ♣ 𝒮(A , B) ♣, conta os números compostos que são produto de primos maiores do que 𝑧. Por outro lado, vimos em (3.1.2) que, ♣ 𝒮(A , B) ♣= ∑︁ Û(𝑑) 𝑑♣𝑃 𝑥 . 𝑑 ⎥ ⌋︂ Representando a parte fracionária de 𝑥 por ¶𝑥♢ temos que ⌊𝑥⌋ = 𝑥 ⊗ ¶𝑥♢, assim, segue de (3.1.2) que, ♣ 𝒮(A , B) ♣= Mas, ∑︁ 𝑑♣𝑃 ∑︁ 𝑥 𝑥 𝑥 = Û(𝑑) ⊗ Û(𝑑) 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑♣𝑃 ⎥ ⌋︂ ⎭ }︂⎣ ⎤ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃∑︁ ⎤ ⎭ }︂⎣⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑥 ⧹︃ ⧹︃ Û(𝑑) ⊗ ⧹︃ 𝑑 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ 𝑑♣𝑃 ⊘ ∑︁ Þ(𝑧) ⇒ 1=2 𝑑♣𝑃 =𝑥 ∑︁ 𝑑♣𝑃 ∑︁ 𝑑♣𝑃 Û(𝑑) ∑︁ 𝑥 + Û(𝑑) ⊗ 𝑑 𝑑 𝑑♣𝑃 ⎤ ⎤ Û(𝑑) ⊗ 𝑥 𝑑 ⎭ }︂⎣ ⎭ }︂⎣ . (3.1.6) = 𝑂(2Þ(𝑧) ). Além disso, como Û(≤) é uma função multiplicativa ∑︁ 𝑑♣𝑃 (︃ ∏︁ Û(𝑝) Û(𝑑) 1+ = 𝑑 𝑝 𝑝<𝑧 )︃ = ∏︁ 𝑝<𝑧 (︃ )︃ 1 1⊗ . 𝑝 Portanto de (3.1.6) devemos ter que ♣ 𝒮(A , B) ♣= 𝑥 ∏︁ 𝑝<𝑧 (︃ )︃ 1 1⊗ + 𝑂(2Þ(𝑧) ). 𝑝 (3.1.7) Vamos agora obter uma estimativa para o produto (︃ )︃ (3.1.8) 1 ⊗ 𝑥 ⊘ 𝑒⊗𝑥 (3.1.9) ∏︁ 𝑝<𝑧 1 1⊗ . 𝑝 Sabemos que a desigualdade é valida para todo 𝑥 ∈ R. 37 De fato, a equação da reta tangente ao gráfico 𝑔(𝑥) = 𝑒⊗𝑥 no ponto (0, 1) é 𝑦 = 1 ⊗ 𝑥. Como a função 𝑔(𝑥) tem concavidade para cima, pois 𝑔 ′′ (𝑥) > 0, segue que o gráfico está sempre acima desta reta tangente. Logo 𝑒⊗𝑥 ⊙ 1 ⊗ 𝑥 ∀𝑥 ∈ R, com a igualdade apenas para 𝑥 = 0. Assim, tomando 𝑥 = 𝑝1 e multiplicando temos ∏︁ 𝑝<𝑧 (︃ 1 1⊗ 𝑝 )︃ ⎛ ⎞ 1 ̂︀ ⊘ exp ∐︁⊗ . 𝑝<𝑧 𝑝 ∑︁ No Exemplo (1.3.9), do Capitulo 1, obtivemos 1 = log log 𝑧 + 𝑂(1). 𝑝<𝑧 𝑝 ∑︁ Portanto um limite superior para (3.1.8) é dado por 1 𝑐 log 𝑧 para uma constante 𝑐 suficientemente pequena. De fato, ∏︁ 𝑝<𝑧 (︃ 1 1⊗ 𝑝 )︃ ⎛ ⎞ 1 ̂︀ ⊘ exp ∐︁⊗ = exp (⊗ log log 𝑧 ⊗ 𝑂(1)) = 𝑝<𝑧 𝑝 ∑︁ ⎡ (︁ exp log(log 𝑧)⊗1 exp(⊗𝑂(1)) = 1 1 𝑂(1) log 𝑧 𝑒 e para 0 < 𝑐 < 𝑒𝑂(1) (com log 𝑧 > 0 )segue ∏︁ 𝑝<𝑧 (︃ 1 1⊗ 𝑝 )︃ ⊘ 1 1 < . 𝑒𝑂(1) log 𝑧 𝑐 log 𝑧 Assim, usando (3.1.5), (3.1.7) e (3.1.10), segue que Þ(𝑥) ⊗ Þ(𝑧) + 1 ⊘♣ 𝒮(A , B) ♣< ou seja, Þ(𝑥) < 𝑥 + 𝑂(2Þ(𝑧) ) 𝑐 log 𝑧 𝑥 + 𝑂(2Þ(𝑧) ) + Þ(𝑧) ⊗ 1 𝑐 log 𝑧 e, como Þ(𝑧) ⊗ 1 < 𝑧, segue que Þ(𝑥) < 𝑥 + 𝑂(2Þ(𝑧) ) + 𝑧. 𝑐 log 𝑧 38 (3.1.10) Observe agora, fazendo 𝑧 = log 𝑥, que 2Þ(𝑧) < 2log 𝑥 = 𝑥log 2 . De fato, como Þ(𝑧) < 𝑧, temos 2Þ(𝑧) < 2𝑧 , além disso (︁ 2log 𝑥 = 𝑒log 2 ⎡log 𝑥 (︁ = 𝑒log 2≤log 𝑥 = 𝑒log 𝑥 Assim, para alguma constante positiva 𝑘, ⎡log 2 = 𝑥log 2 . 𝑂(2Þ(𝑧) ) < 𝑘𝑥log 2 e daí, Þ(𝑥) < 𝑥 + 𝑘𝑥log 2 + log 𝑥. 𝑐 log log 𝑥 Por fim, utilizando o fato de que, 𝑥 𝑐 log log 𝑥 cresce mais rapidamente do que 𝑘𝑥log 2 e log 𝑥, concluímos que (︃ )︃ 𝑥 . Þ(𝑥) = 𝑂 log log 𝑥 Com efeito, observe que 0< 𝑘𝑥log 2 = 𝑘𝑐 𝑥 𝑐 log log 𝑥 log log 𝑥 𝑥1⊗log 2 para 𝑥 > 𝑒. Como a função log é monótona e para 𝑦 > 0 temos log 𝑦 < 𝑦 segue, 0 < 𝑘𝑐 log log 𝑥 log 𝑥 < 𝑘𝑐 1⊗log 2 . 1⊗log 2 𝑥 𝑥 Portanto, aplicando L’Hôpital no lado direito da desigualdade (3.1.11), temos 𝑘𝑐 1 1 𝑘𝑐 (log 𝑥)′ 𝑥 = 𝑘𝑐 ⊃ 0 quando 𝑥 ⊃ ∞ 1⊗log 2 = 1⊗log 2 ′ 1⊗log 2 (𝑥 ) (1 ⊗ log 2) 𝑥 𝑥log 2 portanto 𝑘𝑥log 2 𝑥 𝑐 log log 𝑥 ⊃ 0 quando 𝑥 ⊃ ∞. Por outro lado temos, 0< log 𝑥 𝑥 𝑐 log log 𝑥 = (log 𝑥)(𝑐 log log 𝑥) 𝑥 39 para 𝑥 > 𝑒 (3.1.11) e, pelo mesmo argumento acima, temos 0< (log 𝑥)2 (log 𝑥)(𝑐 log log 𝑥) <𝑐 . 𝑥 𝑥 (3.1.12) Portanto, aplicando L’Hôpital, agora no lado direito da desigualdade (3.1.12), temos ′ 𝑐 log 𝑥 ((log 𝑥)2 ) = 2𝑐 . ′ 𝑥 𝑥 Aplicando mais uma vez L’Hôpital 2𝑐 e portanto 1 (log 𝑥)′ = 2𝑐 ⊃ 0 quando 𝑥 ⊃ ∞ ′ 𝑥 𝑥 log 𝑥 𝑥 𝑐 log log 𝑥 e daí segue (para 𝑥 ⊙ 𝑒) 3.2 ⊃ 0 quando 𝑥 ⊃ ∞ (︃ )︃ 𝑥 Þ(𝑥) = 𝑂 . log log 𝑥 Os Problemas de Crivo Qualquer crivo em teoria de números é baseado na seguinte ideia: Sejam A uma sequência finita de inteiros, B um conjunto de primos e Ω𝑝 um conjunto de classes de resíduos indesejáveis módulo 𝑝 (com 𝑝 ∈ B). Queremos saber quando o conjunto dos elementos da sequência A peneirada, não é vazio e quantos elementos sobraram nessa sequência. Em outras palavras, o problema do crivo é estimar, a quantidade de elementos do conjunto (A , B, Ω) = ¶𝑛 ∈ A ♣ 𝑛 mod (𝑝) ̸∈ Ω𝑝 para qualquer 𝑝 ∈ B♢. Vejamos dois exemplos7 , importantes, de problemas em linguagem de crivo, 1. conjectura dos primos gêmeos Existe uma infinidade de primos 𝑝 tal que 𝑝 + 2 é um primo; 2. conjectura de Goldbach Todo número par maior do que 2 é uma soma de dois primos. Exemplo 3.2.1 (Conjectura dos Primos Gêmeos). Considere a sequência A = ¶𝑛 ≤ (𝑛 + 2) ♣ 𝑧 ⊘ 𝑛 < 𝑧 2 ⊗ 2♢, 7 Existe uma grande variedade de problemas que podem ser expressos em linguagem de teoria de crivos. 40 (3.2.1) e o conjunto B de números primos menores do que ou iguais a 𝑧. Se retirarmos os elementos da sequência A que deixam resto zero na divisão por 𝑝 (𝑝 ∈ B) temos que os elementos sobrevivem ao processo se, e somente se, 𝑛 e 𝑛 + 2 são ambos números primos. De fato, se 𝑛 ≤ (𝑛 + 2) têm somente fatores primos maiores do que ou iguais a 𝑧 então sendo 𝑑 um fator primo qualquer de 𝑛 ≤ (𝑛 + 2) devemos ter que, 𝑑 ♣ 𝑛 ≤ (𝑛 + 2) ⇐⇒ 𝑑 ♣ 𝑛 ou 𝑑 ♣ 𝑛 + 2. Portanto os divisores primos de 𝑛 e 𝑛 + 2 também devem ser maiores do que ou iguais a 𝑧. Como 𝑧 < 𝑛 < 𝑧 2 e 𝑧 < 𝑛 + 2 < 𝑧 2 , segue do Teorema (3.1.1) que, nem 𝑛 e nem 𝑛 + 2 podem ser números compostos. Numericamente, seja 𝑧 = 11, então, A = ¶𝑛 ≤ (𝑛 + 2) ♣ 11 ⊘ 𝑛 < 119♢ e B = ¶2, 3, 5, 7, 11♢. Assim, A = ¶143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399, 440, 483, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 1023, 1088, 1155, 1224, 1295, 1368, 1443, 1520, 1599, 1680, 1763, 1848, 1935, 2024, 2115, 2208, 2303, 2400, 2499, 2600, 2703, 2808, 2915, 3024, 3135, 3248, 3363, 3480, 3599, 3720, 3843, 3968, 4095, 4224, 4355, 4488, 4623, 4760, 4899, 5040, 5183, 5328, 5475, 5624, 5775, 5928, 6083, 6240, 6399, 6560, 6723, 6888, 7055, 7224, 7395, 7568, 7743, 7920, 8099, 8280, 8463, 8648, 8835, 9024, 9215, 9408, 9603, 9800, 9999, 10200, 10403, 10608, 10815, 11024, 11235, 11448, 11663, 11880, 12099, 12320, 12543, 12768, 12995, 13224, 13455, 13688, 13923, 14160, 14399♢. Quando efetuamos o processo de crivo na sequência acima, isto é, quando retiramos os elementos da sequência A que deixam resto zero na divisão por 𝑝 ∈ B, obtemos o conjunto ¶323, 899, 1763, 3599, 5183, 10403, 11663♢ = ¶17 × 19, 29 × 31, 41 × 43, 59 × 61, 71 × 73, 101 × 103, 107 × 109♢. Facilmente vemos que o número (𝑝 × (𝑝 + 2)) têm como fatores os primos gêmeos 𝑝 e 𝑝 + 2. Exemplo 3.2.2 (Conjectura de Goldbach). Sejam 𝑁 um inteiro par (𝑁 > 2) e A = ¶𝑛 ≤ (𝑁 ⊗ 𝑛) ♣ 2 < 𝑛 < 𝑁 e (𝑛, 𝑁 ) = 1♢. √ Seja também o conjunto B formado por todos os números primos menores do que 𝑁 . Pelo mesmo argumento √ apresentado no Exemplo (3.2.1), se 𝑛 ≤ (𝑁 ⊗ 𝑛) tem somente divisores primos 𝑁 então necessariamente √ 𝑛 e 𝑁 ⊗ 𝑛 têm seus maiores do que √ √ divisores primos maiores do que 𝑁 . Como max¶𝑛, 𝑁 ⊗ 𝑛♢ < 𝑁 segue que 𝑁 < 𝑛 < 𝑁 e 𝑁 < 𝑁 ⊗ 𝑛 < 𝑁 portanto segue do Teorema (3.1.1), juntamente com o fato de que (𝑛, 𝑁 ) = 1, que nem 𝑛 e nem 𝑁 ⊗ 𝑛 podem ser números compostos. Numericamente, seja 𝑁 = 300, então A = ¶𝑛 ≤ (300 ⊗ 𝑛) ♣ 2 < 𝑛 < 300 e (𝑛, 300) = 1♢ com B = ¶2, 3, 5, 7, 11, 13, 17♢. 41 Os elementos 𝑛 no intervalo 2 < 𝑛 < 300 tais que (𝑛, 300) = 1 são dados pelo conjunto, ¶7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 209, 211, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 247, 251, 253, 257, 259, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 287, 289, 293, 299♢. Veja que quando varremos os elemento do conjunto acima, geramos repetições de elementos no conjunto A . Por exemplo, quando pegamos 𝑛 = 7 e 𝑛 = 293 no conjunto acima, geramos o mesmo elemento 2051 no conjunto A . Portanto, retiradas as repetições, o conjunto A é dado por, A = ¶299, 2051, 3179, 3731, 4811, 5339, 6371, 7859, 8339, 9731, 10619, 11051, 11891, 12299, 13091, 14219, 14579, 15611, 16259, 16571, 17171, 17459, 18011, 18779, 19019, 19691, 20099, 20291, 20651, 20819, 21131, 21539, 21659, 21971, 22139, 22211, 22331, 22379, 22451, 22499♢. Quando efetuamos o processo de crivo na sequência, isto é quando retiramos os elementos da sequência A que deixam resto zero na divisão por 𝑝 ∈ B, obtemos o conjunto ¶4811, 5339, 6371, 7859, 8339, 9731, 11051, 14219, 14579, 15611, 16259, 16571, 18779, 20099, 20291, 20651, 20819, 21971, 22331, 22499♢ = = ¶17 × 283, 19 × 281, 23 × 277, 29 × 271, 31 × 269, 37 × 263, 43 × 257, 59 × 241, 61 × 239, 67 × 233, 71 × 229, 73 × 227, 89 × 211, 101 × 199, 103 × 197, 107 × 193, 109 × 191, 127 × 173, 137 × 163, 149 × 151♢. Facilmente vemos que o número (𝑝 × (𝑁 ⊗ 𝑝)) têm como fatores os números primos 𝑝 e 𝑁 ⊗ 𝑝. Mais uma vez reafirmamos que os problemas de obter uma tabela de números atendendo a uma condição e o problema de contar os números atendendo tal condição são problemas de natureza diferente. Vimos acima dois exemplos em que sempre é possível obter os elementos desejados, utilizando a mesma ideia, embora não saibamos como contar o número de elementos atendendo a essas condições. Os métodos modernos de crivo foram fortemente inspirados na busca de uma solução para os exemplos acima. No que segue, daremos uma perspectiva um pouco mais geral sobre as ideias envolvidas no crivo de Eratóstenes-Legendre, além de fornecer outros exemplos onde as ideias podem ser aplicadas. Sejam A = ¶𝑎 ♣ . . . ♢ uma sequência finita de inteiros positivos menores do que ou igual a 𝑥, onde as propriedades que definem essa sequência estão representadas por três pontos, B um conjunto de números primos menores do que ou igual a 𝑧 (𝑧 < 𝑥). Seja também 𝑑 > 1 um inteiro livre de quadrados e composto por primos do conjunto B e defina, A𝑑 := ¶𝑎 ♣ 𝑎 ∈ A , 𝑎 ⊕ 0 8 mod (𝑑)♢8 , Isto é o subconjunto de A cujos elementos são divisíveis por 𝑑. 42 (3.2.2) e para 𝑑 = 1 A1 := A . Em investigações aritméticas é comum usar uma aproximação conveniente 𝑋 ao invés do número exato ♣ A ♣, por exemplo para ♣ A ♣= Þ(𝑥) usamos 𝑋 = 𝑙𝑖9 . Considere então 𝑋 > 1 uma aproximação conveniente para ♣ A ♣ e defina o erro da aproximação de ♣ A ♣ pelo número 𝑋 por, 𝑟1 :=♣ A ♣ ⊗𝑋. (3.2.3) De maneira semelhante, para cada 𝑝 ∈ B, podemos escolher æ(𝑝) tal que aproximação10 para ♣ A𝑝 ♣ com erro de aproximação dado por, 𝑟𝑝 :=♣ A𝑝 ♣ ⊗ æ(𝑝) ≤ 𝑋 para todo 𝑝 ∈ B. 𝑝 æ(𝑝) 𝑋 𝑝 seja uma (3.2.4) Com estas escolhas de 𝑋 e æ(𝑝) agora definimos para cada inteiro 𝑑 livre de quadrados e composto de primos em B, æ(1) = 1, æ(𝑑) = ∏︁ æ(𝑝), 𝑝♣𝑑 (Û(𝑑) ̸= 0) (3.2.5) forçando, assim, æ(𝑑) ser uma função multiplicativa. Consistente com as equações (3.2.3) e (3.2.4), introduzimos 𝑟𝑑 :=♣ A𝑑 ♣ ⊗ æ(𝑑) ≤ 𝑋 (Û(𝑑) ̸= 0). 𝑑 (3.2.6) Obviamente essas escolhas podem ser feitas de várias formas, mas como podemos esperar ela irá revelar-se melhor quanto menor for ♣ 𝑟𝑑 ♣. Se estivermos interessados, como no crivo de Eratóstenes-Legendre, em estimar o número de elementos no conjunto ⋃︁ 𝒮(A , B) = A ∖ A𝑝 , (3.2.7) 𝑝♣𝑃 (𝑧) onde 𝑃 (𝑧) denota o produto dos primos menores do que ou igual a 𝑧 que pertencem a B, basta reescrever esse conjunto como, 𝒮(A , B) = ¶𝑎 ♣ 𝑎 ∈ A , (𝑎, 𝑃 (𝑧)) = 1♢, considerar a sequência finita ⎧ ⨄︁1 9 10 Ap 𝑙𝑖(𝑥) = √︃ x dt 2 log(t) Em termos práticos, a função se 𝑛 ∈ A e (𝑛, 𝑃 (𝑧)) = 1 . 𝑎𝑛 = ⎩ 0 caso contrário ω(p) p , pode ser pensada como a proporção de elementos em A que pertencem a 43 e utilizar as escolhas de 𝑋 e æ(≤) como segue. Claramente, ♣ 𝒮(A , B) ♣= ∑︁ 𝑎𝑛 (n,P (z))=1 n≤x e pelo Lema (3.1.4) ♣ 𝒮(A , B) ♣= ∑︁ 𝑎𝑛 = ∑︁ 𝑛⊘𝑥 (n,P (z))=1 n≤x ⎛ ∑︁ 𝑎𝑛 ∐︁ 𝑑♣(𝑛,𝑃 (𝑧)) ⎞ Û(𝑑)̂︀ = ∑︁ Û(𝑑) 𝑑♣𝑃 (𝑧) ∑︁ 𝑎𝑛 = ∑︁ 𝑑♣𝑃 (𝑧) d|n n≤x Û(𝑑) ♣ A𝑑 ♣ . Portanto, ♣ 𝒮(A , B) ♣= ∑︁ 𝑑♣𝑃 (𝑧) Û(𝑑) ♣ A𝑑 ♣ (3.2.8) e por (3.2.6) temos, ♣ A𝑑 ♣:= æ(𝑑) ≤ 𝑋 + 𝑟𝑑 . 𝑑 Segue que ⨀︀ ∮︁ ∑︁ ∑︁ æ(𝑑) æ(𝑑) ≤ 𝑋 + 𝑟𝑑 = 𝑋 ≤ + Û(𝑑)𝑟𝑑 , Û(𝑑) Û(𝑑) ♣ 𝒮(A , B) ♣= 𝑑 𝑑 𝑑♣𝑃 (𝑧) 𝑑♣𝑃 (𝑧) 𝑑♣𝑃 (𝑧) ∑︁ onde, (︃ ∏︁ æ(𝑑) æ(𝑝) Û(𝑑) = 1⊗ 𝑑 𝑝 𝑝∈B 𝑑♣𝑃 (𝑧) ∑︁ )︃ ∑︁ e 𝑑♣𝑃 (𝑧) Vejamos alguns exemplos11 . ⎛ Û(𝑑)𝑟𝑑 = 𝑂 ∐︁ ∑︁ 𝑑♣𝑃 (𝑧) ⎞ 𝑟𝑑 ̂︀ . Exemplo 3.2.3. Uma discussão análoga àquela feita na Seção (3.1.3), com A definido abaixo, pode ser estabelecida com A = ¶𝑎 ∈ N ♣ 𝑌 ⊗ 𝑋 ⊘ 𝑎 ⊘ 𝑌 ♢ onde 𝑌 ⊙ 𝑋 > 0. Naquela situação, queríamos contar os primos menores do que 𝑥 e agora vamos querer contar o número de primos no intervalo [𝑌 ⊗ 𝑋, 𝑌 ]. Para tanto considere, como antes, o conjunto B dos números primos menores do que 𝑧 e 𝑃 o produto de todos esses primos. Para A𝑑 , como definido em (3.2.2), obtemos 𝑌 ⊗𝑋 𝑋 𝑌 ⊗ = + 𝑂(1). ♣ A𝑑 ♣= 𝑑 𝑑 𝑑 ⎥ 11 ⌋︂ ⎥ ⌋︂ Esses exemplos foram retirados de [4] 44 De fato, primeiramente note que divisíveis por 𝑑. Portanto, tomando ⌊︁ ⌋︁ 𝑥 𝑑 é o número de inteiros no conjunto ¶1, 2, . . . , 𝑥♢ que são 𝑥 𝑥 𝑥 = ⊗ 𝑑 𝑑 𝑑 ⎥ ⌋︂ ⎭ }︂ {︁ }︁ onde 𝑥𝑑 denota a parte fracionária de 𝑥𝑑 , a parcela 𝑂(1) surge como ⊗ reside no intervalo (⊗1, 1) uma vez que, 𝑌 𝑌 𝑌 + = 𝑑 𝑑 𝑑 onde 0 ⊘ {︁ }︁ 𝑌 𝑑 com ⊗1 < ⊗ < 1, 0 ⊘ {︁ }︁ 𝑌 𝑑 + {︁ {︁ ⎥ ⌋︂ 𝑌 ⊗𝑋 𝑑 }︁ 𝑌 ⊗𝑋 𝑑 ⎥ }︁ ⎭ }︂ , 𝑌 𝑑 𝑌 ⊗𝑋 𝑌 ⊗𝑋 𝑌 ⊗𝑋 + = 𝑑 𝑑 𝑑 ⌋︂ ⎥ ⎭ + {︁ 𝑌 ⊗𝑋 𝑑 }︁ e, portanto, }︂ < 1 o que implica, 𝑌 𝑋 𝑌 ⊗𝑋 𝑌 ⊗ = ⊗ 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 ⌋︂ {︁ }︁ ⎥ ⌋︂ ⎭ }︂ + ⎭ 𝑌 ⊗𝑋 𝑑 }︂ < 1. Portanto, de fato ♣ A𝑑 ♣= 𝑋 + 𝑂(1). 𝑑 Se aplicarmos a identidade (3.2.8), obtemos, como na Seção (3.1.3), ♣ 𝒮(A , B) ♣⊘ 𝑋 + 𝑂(2Þ(𝑧) ) log 𝑧 e escolhendo 𝑧 = log 𝑋 encontramos (︃ 𝑋 Þ(𝑌 ) ⊗ Þ(𝑌 ⊗ 𝑋) = 𝑂 log log 𝑋 )︃ para12 𝑋 ⊙ 3. Exemplo 3.2.4. Suponha agora que queiramos contar números dados por expressões polinomiais. Tomamos A = ¶𝑓 (𝑛) ♣ 𝑌 ⊗ 𝑋 < 𝑛 ⊘ 𝑌 ♢ onde 𝑓 (𝑛) é um polinômio com coeficientes inteiros, como por exemplo 𝑛2 + 1, 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 2) ou 𝑛 ≤ (𝑛 ⊗ 𝐶) 13 . Novamente o conjunto B denota os números primos menores do que ou igual a 𝑧 e 𝑃 o produto de todos esses primos. Para estimar ♣ A𝑑 ♣ vamos considerar cada classe de resíduo mod (𝑑) separadamente, ♣ A𝑑 ♣=♣ ¶𝑛 ♣ 𝑌 ⊗ 𝑋 < 𝑛 ⊘ 𝑌, 𝑓 (𝑛) ⊕ 0 mod (𝑑)♢ ♣ . Para contar os elementos em A𝑑 primeiro observe que desde que 𝑓 (𝑛) é um polinômio com coeficientes inteiros, 𝑛 ⊕ 𝑟 mod (𝑑) ⇒ 𝑓 (𝑛) ⊕ 𝑓 (𝑟) mod (𝑑). 12 O fato de 𝑋 ⊙ 3 é imposto para assegurar que log log 𝑋 > 0. Esse dois últimos polinômios são relevantes para investigações de Brun sobre as conjecturas dos Primos Gêmeos e de Goldbach 13 45 Assim para os inteiros 𝑙 menores do que ou iguais a 𝑑 e incongruentes entre si, tal que 𝑓 (𝑙) ⊕ 0 mod (𝑑), é suficiente contar os inteiros 𝑛 no intervalo 𝑌 ⊗ 𝑋 < 𝑛 ⊘ 𝑌 tais que 𝑛 ⊕ 𝑙 mod (𝑑), assim obtemos ⎣ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ⎤ 𝑋 ♣ A𝑑 ♣= + 𝑂(1) . (3.2.9) 1= 𝑑 1≤l≤d Y −X<n≤Y 𝑙 f (l)≡0 mod (d) n≡l mod (d) A soma mais interna sobre 𝑛 foi estimada de modo semelhante ao último exemplo, expressando 𝑛 como 𝑙 + 𝑚𝑑. Denotando 𝜌(𝑑) como o número de raízes da congruência 𝑓 (𝑙) ⊕ 0 mod (𝑑), temos, 𝜌(𝑑) + 𝑂(𝜌(𝑑)). (3.2.10) ♣ A𝑑 ♣= 𝑋 ≤ 𝑑 A partir disto, se aplicarmos a identidade (3.2.8) obtemos, ∑︁ 𝑑♣𝑃 Û(𝑑) ♣ A𝑑 ♣= ∑︁ 𝑑♣𝑃 (︃ )︃ ∑︁ 𝜌(𝑑) 𝜌(𝑑) ∑︁ Û(𝑑) 𝑋 ≤ + 𝑂(𝜌(𝑑)) = 𝑋 ≤ + Û(𝑑)𝑂(𝜌(𝑑)). Û(𝑑) 𝑑 𝑑 𝑑♣𝑃 𝑑♣𝑃 Em [5] vimos que 𝜌(𝑑) é uma função multiplicativa e que ela é não elementar (exceto em casos especiais). Portanto, ∑︁ 𝑑♣𝑃 e como, (︃ (︃ )︃ ♣Û(𝑑)♣ ♣𝑂(𝜌(𝑑))♣ = ∑︁ ∏︁ Û(𝑝)𝜌(𝑝) 𝜌(𝑑) = 1+ Û(𝑑) 𝑑 𝑝 𝑝<𝑧 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Û(𝑑)𝑂(𝜌(𝑑))⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑑♣𝑃 ⊘ ∑︁ 𝑑♣𝑃 ♣Û(𝑑)𝑂(𝜌(𝑑))♣ = ∑︁ 𝑑♣𝑃 )︃ = ∏︁ 𝑝<𝑧 𝜌(𝑝) 1⊗ 𝑝 𝑑♣𝑃 ♣𝑂(𝜌(𝑑))♣ uma vez que para 𝑑 livre de quadrados temos Û(𝑑) = (⊗1)𝑘 segue, ∑︁ Û(𝑑)𝑂(𝜌(𝑑)) = 𝑑♣𝑃 ⎛ ⎞ ∑︁ 𝑂 ∐︁ 𝜌(𝑑)̂︀ . 𝑑♣𝑃 Daí, ♣ 𝒮(A , B) ♣= 𝑋 ≤ 3.3 ∏︁ 𝑝<𝑧 (︃ )︃ ⎛ ⎞ ∑︁ 𝜌(𝑝) 1⊗ + 𝑂 ∐︁ 𝜌(𝑑)̂︀ . 𝑝 𝑑♣𝑃 (3.2.11) O crivo de Eratóstenes - Legendre associado ao Truque de Rankin Nesta seção, vamos descrever o crivo de Eratóstenes-Legendre sob uma perspectiva moderna14 . No que segue, vamos considerar as notações da última seção e vamos definir a função æ(𝑝), para 14 A versão moderna do crivo de Eratóstenes-Legendre pode ser encontrada no livro [2] ou no artigo [8]. 46 cada primo 𝑝 ∈ B, como o número de classes de resíduos indesejáveis (distintas) módulo 𝑝 que estão A . Vamos definir também æ(𝑑), para cada inteiro 𝑑 livre de quadrados e composto por primos em B, por ∏︁ æ(1) = 1 e æ(𝑑) = æ(𝑝) 𝑝♣𝑑 e vamos denotar ♣ 𝒮(A , B) ♣=♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣. 3.3.1 Uma versão moderna para o crivo de Eratóstenes-Legendre Teorema 3.3.1 (O Crivo de Eratóstenes). Com as notações acima, suponha que as seguintes condições sejam satisfeitas: 1. ♣ 𝑟𝑑 ♣= 𝑂(æ(𝑑)); 2. para algum Ù ⊙ 0, ∑︁ p≤z p∈B æ(𝑝) log 𝑝 ⊘ Ù log 𝑧 + 𝑂(1); 𝑝 3. para algum número real positivo 𝑦 ♣ A𝑑 ♣= 0 para todo 𝑑 > 𝑦. Então, (︃ Ù+1 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋 ≤ 𝑊 (𝑧) + 𝑂 𝑋(log 𝑧) onde 𝑊 (𝑧) := ∏︁ p∈B p≤z (︃ (︃ log 𝑋 exp ⊗ log 𝑧 )︃)︃ , (3.3.1) )︃ æ(𝑝) 1⊗ . 𝑝 Para demonstrar esse teorema precisamos de alguns resultados preliminares. Lema 3.3.2. Com as hipóteses do Teorema (3.3.1), denotemos, 𝐹 (𝑡, 𝑧) := ∑︁ æ(𝑑). d≤t d|P (z) Então, (︃ (︃ log 𝑡 𝐹 (𝑡, 𝑧) = 𝑂 𝑡(log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 Ù )︃)︃ . Demonstração. Primeiramente vejamos que a função æ(≤), definida para cada inteiro 𝑑 livre de quadrados e composto por primos em B, é uma função multiplicativa. De fato, sejam 𝑎, 𝑏 ∈ B, distintos, e 𝑛 = 𝑎𝑏, então æ(𝑛) = æ(𝑎𝑏) = ∏︁ 𝑝♣𝑎𝑏 æ(𝑝) = ∏︁ 𝑝♣𝑎 47 æ(𝑝) ∏︁ 𝑝♣𝑏 æ(𝑝) = æ(𝑎)æ(𝑏). Usando o fato de que æ é uma função multiplicativa, podemos aplicar o truque de Rankin. A ideia do chamado truque de Rankin reside no fato de que se uma função 𝑓 é multiplicativa e toma valores não negativos, então para Ó > 0 vale ∑︁ 𝑛⊘𝑥 𝑓 (𝑛) ⊘ ∑︁ 𝑓 (𝑛) 𝑛⊘𝑥 ∞ ∑︁ ⎤ ⎣Ó 𝑥 ⊘ 𝑥Ó 𝑓 (𝑛) . Ó 𝑛=1 𝑛 æ(𝑑) ⎤ ⎣Ó ⊘ 𝑡Ó 𝑛 Portanto, ∑︁ 𝐹 (𝑡, 𝑧) = æ(𝑑) ⊘ d≤t d|P (z) ∑︁ d≤t d|P (z) 𝑡 𝑑 æ(𝑑) . 𝑑Ó 𝑑♣𝑃 (𝑧) ∑︁ Observe agora que, como æ é uma função multiplicativa, temos ∏︁ æ(𝑑) = 𝑑Ó p≤z 𝑑♣𝑃 (𝑧) ∑︁ (︃ )︃ æ(𝑝) 1+ Ó , 𝑝 p∈B portanto Ó 𝐹 (𝑡, 𝑧) ⊘ 𝑡 ∏︁ p≤z p∈B (︃ )︃ æ(𝑝) 1+ Ó . 𝑝 Usando agora a desigualdade15 1 + 𝑥 ⊘ 𝑒𝑥 , temos que para cada 𝑥 = (︃ æ(𝑝) 1+ Ó 𝑝 )︃ (︃ æ(𝑝) ⊘ exp 𝑝Ó )︃ portanto fazendo o produto sobre os primos 𝑝 ∈ B, temos, ∏︁ p≤z p∈B (︁ além disso, fazendo 𝑡Ó = exp log 𝑡Ó 𝑡Ó ∏︁ (︃ (︃ 1+ ⊘ ⎛ ∑︁ exp ̂︁ ∐︁ p≤z p∈B ⎞ æ(𝑝) ̂︂ ̂︀ 𝑝Ó ⎡ 1+ p≤z p∈B æ(𝑝) 𝑝Ó )︃ æ(𝑝) 𝑝Ó )︃ ⎛ ⊘ exp ∐︁Ó log 𝑡 + ̂︁ ∑︁ p≤z p∈B æ(𝑝) ̂︂ ̂︀ 𝑝Ó e daí segue que, ⎛ 𝐹 (𝑡, 𝑧) ⊘ exp ̂︁ ∐︁Ó log 𝑡 + Colocando Ó := 1 ⊗ Ö e escrevendo 15 ∑︁ p≤z p∈B ⎞ æ(𝑝) ̂︂ ̂︀ . 𝑝Ó Se fizermos 𝑥 negativo na desigualdade (3.1.9) temos essa nova desigualdade. 48 ⎞ æ(𝑝) , 𝑝δ 𝑝⊗Ó = 𝑝⊗1 𝑝Ö = 𝑝⊗1 exp(Ö log 𝑝) temos ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∑︁ æ(𝑝) ̂︂ ∑︁ æ(𝑝) ̂︂ ̂︁ ̂︁ exp(Ö log 𝑝)̂︀ = exp ∐︁Ó log 𝑡 + ̂︀ = exp ∐︁(1 ⊗ Ö) log 𝑡 + δ 𝑝 𝑝 p≤z p≤z p∈B ⎛ p∈B ⎛ ⎞ ∑︁ ∑︁ æ(𝑝) æ(𝑝) ̂︁ ̂︁ ̂︂ ̂︂ = exp ∐︁log 𝑡 ⊗ Ö log 𝑡 + exp(Ö log 𝑝)̂︀ = exp(log 𝑡) exp ∐︁⊗Ö log 𝑡 + exp(Ö log 𝑝)̂︀ = 𝑝 𝑝 p≤z p≤z ⎞ p∈B p∈B ⎛ ⎞ ∑︁ æ(𝑝) ̂︁ ̂︂ = 𝑡 exp ∐︁⊗Ö log 𝑡 + exp(Ö log 𝑝)̂︀ . 𝑝 p≤z p∈B A desigualdade 𝑒𝑥 ⊘ 1 + 𝑥𝑒𝑥 (3.3.2) é válida para qualquer 𝑥 ∈ R. De fato, a função 𝑔(𝑥) = (𝑥 ⊗ 1) ≤ 𝑒𝑥 tem como derivada 𝑔 ′ (𝑥) = 𝑒𝑥 + (𝑥 ⊗ 1) ≤ 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 . Alem disso ela satisfaz ⎧ ⋁︁ 𝑔(0) = ⊗1 ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁𝑔 ′ (0) = 0 ⋁︁ ⋁︁ 𝑔 ′ (𝑥) > 0 para 𝑥 > 0 ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⎩ ′ 𝑔 (𝑥) < 0 para 𝑥 < 0 o que implica 𝑥 = 0 ser ponto mínimo de 𝑔. Assim, 𝑔(𝑥) ⊙ ⊗1 ∀𝑥 ∈ R e assim 𝑒𝑥 ⊘ 1 + 𝑥𝑒𝑥 . Usando, portanto, a desigualdade (3.3.2) juntamente com o fato de que a função exp(≤) é monótona temos, ⎛ 𝑡 exp ̂︁ ∐︁⊗Ö log 𝑡 + ∑︁ p≤z p∈B ⎞ ⎛ æ(𝑝) ̂︁ exp(Ö log 𝑝)̂︂ ̂︀ ⊘ 𝑡 exp ∐︁⊗Ö log 𝑡 + 𝑝 ⎛ = 𝑡 exp ∐︁⊗Ö log 𝑡 + ̂︁ ⎛ = 𝑡 exp ̂︁ ∐︁⊗Ö log 𝑡 + ⎛ ∑︁ p≤z p∈B ∑︁ p≤z p∈B ⊘ 𝑡 exp ̂︁ ∐︁⊗Ö log 𝑡 + ∑︁ p≤z p∈B ⎞ æ(𝑝) (1 + Ö log 𝑝 exp(Ö log 𝑝)̂︂ ̂︀ = 𝑝 ⎞ æ(𝑝) ∑︁ æ(𝑝) ̂︂ + Ö log 𝑝 exp(Ö log 𝑝)̂︀ = 𝑝 𝑝 p≤z p∈B æ(𝑝) +Ö 𝑝 ∑︁ p≤z p∈B ∑︁ p≤z p∈B æ(𝑝) +Ö 𝑝 49 ⎞ æ(𝑝) log 𝑝 exp(Ö log 𝑝)̂︂ ̂︀ ⊘ 𝑝 ∑︁ p≤z p∈B ⎞ æ(𝑝) log 𝑝 exp(Ö log 𝑧)̂︂ ̂︀ 𝑝 e encontramos, ⎛ 𝐹 (𝑡, 𝑧) ⊘ 𝑡 exp ̂︁ ∐︁⊗Ö log 𝑡 + ∑︁ p≤z p∈B ⎞ ∑︁ æ(𝑝) log 𝑝 ̂︂ æ(𝑝) + Ö𝑧 Ö ̂︀ . 𝑝 𝑝 p≤z p∈B Agora pela segunda hipótese do Teorema (3.3.1) temos que para algum Ù ⊙ 0, ∑︁ p≤z p∈B æ(𝑝) log 𝑝 ⊘ Ù log 𝑧 + 𝑂(1). 𝑝 Assim, fazendo 1 𝑓 (𝑡) = log 𝑡 e 𝑐𝑛 = temos que, 𝐶(𝑧) = ∑︁ p≤z p∈B ⎧ ⨄︁ æ(𝑛) log 𝑛 se 𝑛 ∈ B, caso contrário. 𝑛 ⎩0 æ(𝑝) log 𝑝 ⊘ Ù log 𝑧 + 𝑂(1), 𝑝 e mais, usando o fato dado no Lema (1.3.3) segue que 𝐶(𝑧) = ∑︁ p≤z p∈B æ(𝑝) log 𝑝 ⊘ Ù log 𝑧 + 𝐵 𝑝 para alguma constante positiva 𝐵. Assim, por somas parciais segue que, ∑︁ p<z p∈B ∫︁ 𝑧 ∑︁ æ(𝑝) log 𝑝 1 æ(𝑝) 1 𝐶(𝑢) 𝑑𝑢 ⊘ = = 𝐶(𝑧) + 𝑝 𝑝 log 𝑝 log 𝑧 𝑛0 𝑢(log 𝑢)2 p<z p∈B ∫︁ 𝑧 ∫︁ 𝑧 𝐵 𝑑𝑢 𝑑𝑢 Ù log 𝑧 + 𝐵 ∫︁ 𝑧 Ù log 𝑢 + 𝐵 𝑑𝑢 = Ù + + +Ù +𝐵 ⊘ 2 log 𝑧 log 𝑧 𝑛0 𝑢(log 𝑢) 𝑛0 𝑢 log 𝑢 𝑛0 𝑢(log 𝑢)2 onde 𝑛0 = min¶B♢. Como ∫︁ 𝑧 𝑛0 𝑑𝑢 = log log 𝑢♣𝑧𝑛0 𝑢 log 𝑢 e ∫︁ 𝑧 𝑛0 1 𝑧 𝑑𝑢 =⊗ ♣ . 2 𝑢(log 𝑢) log 𝑢 𝑛0 Segue que ∑︁ p≤z p∈B (︃ )︃ æ(𝑝) 𝐵 1 1 ⊘Ù+ + Ù (log log 𝑧 ⊗ log log 𝑛0 ) + 𝐵 ⊗ + , 𝑝 log 𝑧 log 𝑧 log 𝑛0 assim, ∑︁ p≤z p∈B æ(𝑝) ⊘ Ù log log 𝑧 + 𝑂(1). 𝑝 50 Novamente, usando o fato de que a função exp(≤) é monótona temos: ⎛ 𝐹 (𝑡, 𝑧) ⊘ 𝑡 exp ̂︁ ∐︁⊗Ö log 𝑡 + ∑︁ p≤z p∈B æ(𝑝) + Ö𝑧 Ö 𝑝 ∑︁ p≤z p∈B ⎞ æ(𝑝) log 𝑝 ̂︂ ̂︀ ⊘ 𝑝 ⊘ 𝑡 exp (⊗Ö log 𝑡 + Ù log log 𝑧 + 𝑂(1) + Ö𝑧 Ö (Ù log 𝑧 + 𝑂(1))) = = 𝑡 exp (⊗Ö log 𝑡 + Ù log log 𝑧 + Ö𝑧 Ö Ù log 𝑧) exp(𝑂(1)) exp(Ö𝑧 Ö 𝑂(1)). Escolhendo Ö := 1 log 𝑧 (onde 𝑧 > 𝑒), temos, 𝑡 exp (⊗Ö log 𝑡 + Ù log log 𝑧 + Ö𝑧 Ö Ù log 𝑧) exp(𝑂(1)) exp(Ö𝑧 Ö 𝑂(1)) = )︃ (︃ (︃ )︃ 1 1 1 log 𝑡 = 𝑡 exp ⊗ + log(log 𝑧)Ù + 𝑧 log z Ù exp(𝑂(1)) exp 𝑂(1)𝑧 log z . log 𝑧 log 𝑧 Como 1 𝑧 log z = 𝑐 ⇐⇒ log𝑧 𝑐 = 1 log 𝑐 e log𝑧 𝑐 = log 𝑧 log 𝑧 segue que log 𝑐 = 1 ⇐⇒ 𝑐 = 𝑒. Portanto, )︃ (︃ (︃ 1 1 1 log 𝑡 + log(log 𝑧)Ù + 𝑧 log z Ù exp(𝑂(1)) exp 𝑂(1)𝑧 log z 𝑡 exp ⊗ log 𝑧 log 𝑧 )︃ (︃ (︃ )︃ = )︃ 𝑒 log 𝑡 (log 𝑧)Ù exp(𝑒Ù) exp(𝑂(1)) exp 𝑂(1) . = 𝑡 exp ⊗ log 𝑧 log 𝑧 (︁ ⎡ Novamente, como log 𝑧 > 1 temos exp log𝑒 𝑧 𝑂(1) ⊘ exp(𝑟) para alguma constante positiva 𝑟. Logo (︃ )︃ (︃ )︃ log 𝑡 𝑒 Ù 𝑡(log 𝑧) exp ⊗ exp(𝑒Ù) exp(𝑂(1)) exp 𝑂(1) ⊘ log 𝑧 log 𝑧 )︃ (︃ log 𝑡 exp(𝑒Ù) exp(𝑂(1)) exp (𝑟) ⊘ 𝑡(log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 Ù e assim, (︃ (︃ log 𝑡 𝐹 (𝑡, 𝑧) = 𝑂 𝑡(log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 Ù )︃)︃ . Lema 3.3.3. Com as hipóteses do Teorema (3.3.1), ∑︁ d|P (z) y<d (︃ (︃ log 𝑦 æ(𝑑) = 𝑂 (log 𝑧)Ù+1 exp ⊗ 𝑑 log 𝑧 51 )︃)︃ . Demonstração. Primeiramente temos, ∑︁ y<d≤x d|P (z) ∑︁ æ(𝑑) ∑︁ æ(𝑑) æ(𝑑) = ⊗ . 𝑑 𝑑 𝑑 d≤x d≤y d|P (z) d|P (z) Através de somas parciais, usando, 1 , 𝑥 𝑓 (𝑥) = temos que, ∑︁ y<d≤x d|P (z) ⎧ ⨄︁æ(𝑑) se 𝑑 ∈ B 𝑐𝑑 = ⎩ 0 caso contrário e 𝑛0 = min¶B♢ (︃ )︃ 1 ∫︁ 𝑦 𝐹 (𝑡, 𝑧) 1 ∫︁ 𝑥 𝐹 (𝑡, 𝑧) æ(𝑑) 𝑑𝑡 ⊗ 𝐹 (𝑦, 𝑧) + 𝑑𝑡 = = 𝐹 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 𝑥 𝑡2 𝑦 𝑡2 𝑛0 𝑛0 (︃ )︃ 1 ∫︁ 𝑥 𝐹 (𝑡, 𝑧) 1 ∫︁ 𝑛0 𝐹 (𝑡, 𝑧) = 𝐹 (𝑥, 𝑧) + 𝑑𝑡 + ⊗𝐹 (𝑦, 𝑧) 𝑑𝑡 . + 𝑥 𝑡2 𝑦 𝑡2 𝑛0 𝑦 Portanto, ∑︁ y<d≤x d|P (z) æ(𝑑) 1 1 ∫︁ 𝑥 𝐹 (𝑡, 𝑧) 𝑑𝑡. = 𝐹 (𝑥, 𝑧) ⊗ 𝐹 (𝑦, 𝑧) + 𝑑 𝑥 𝑦 𝑡2 𝑦 Note, no entanto, que a soma 𝐹 (𝑥, 𝑧) é no máximo que 𝐹 (𝑥, 𝑧) 𝑥1 ⊃ 0, pois 𝑥1 ⊃ 0 quando 𝑥 ⊃ ∞, logo ∑︁ y<d d|P (z) √︁ 𝑑♣𝑃 (𝑧) æ(𝑑). Assim quando 𝑥 ⊃ ∞ temos æ(𝑛) 1 ∫︁ ∞ 𝐹 (𝑡, 𝑧) 𝑑𝑡. = ⊗𝐹 (𝑦, 𝑧) + 𝑛 𝑦 𝑡2 𝑦 Como ∫︁ ∞ 𝑦 (︃ (︃ ∫︁ ∞ 𝐹 (𝑡, 𝑧) log 𝑡 1 𝑑𝑡 = 𝑂 𝑡(log 𝑧)Ù exp ⊗ 2 2 𝑡 𝑡 log 𝑧 𝑦 )︃)︃ 𝑑𝑡 = ∫︁ ∞ 𝑦 (︃ (︃ 1 log 𝑡 𝑂 (log 𝑧)Ù exp ⊗ 𝑡 log 𝑧 )︃)︃ 𝑑𝑡 e ∫︁ ∞ 𝑦 (︃ (︃ log 𝑡 1 (log 𝑧)Ù exp ⊗ 𝑂 𝑡 log 𝑧 )︃)︃ 𝑑𝑡 ⊘ ∫︁ ∞ 𝑦 (︃ )︃ 1 log 𝑡 𝐴 (log 𝑧)Ù exp ⊗ 𝑑𝑡, 𝑡 log 𝑧 para alguma constante positiva 𝐴, temos ∫︁ ∞ 𝑦 (︃ )︃ ∫︁ ∞ 𝐹 (𝑡, 𝑧) 1 log 𝑡 Ù 𝑑𝑡. 𝑑𝑡 ⊘ 𝐴(log 𝑧) exp ⊗ 𝑡2 𝑡 log 𝑧 𝑦 log 𝑡 temos que Fazendo agora uma substituição, na última integral, 𝑢 = ⊗ log 𝑧 tanto, )︃ (︃ ∫︁ 𝑥 ∫︁ ∞ log 𝑡 1 𝑑𝑡 = (⊗ log 𝑧) lim 𝑒𝑢 𝑑𝑢. exp ⊗ 𝑥⊃∞ 𝑦 𝑡 log 𝑧 𝑦 52 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = ⊗ log1 𝑧 1𝑡 , por- Como ∫︁ (︃ log 𝑡 𝑒 𝑑𝑢 = (𝑒 + 𝐶) = exp ⊗ log 𝑧 𝑢 𝑢 )︃ + 𝐶, segue que lim ∫︁ 𝑥 𝑥⊃∞ 𝑦 𝑢 𝑒 𝑑𝑢 = lim 𝑥⊃∞ (︃ (︃ log 𝑡 exp ⊗ log 𝑧 )︃ +𝐶 )︃ ♣𝑥𝑦 = )︃ (︃ log 𝑦 . ⊗ exp ⊗ log 𝑧 Assim, ∫︁ ∞ 𝑦 )︃ (︃ ∫︁ 𝑥 𝐹 (𝑡, 𝑧) log 𝑦 Ù 𝑑𝑡 ⊘ 𝐴(log 𝑧) (⊗ log 𝑧) lim 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝐴(log 𝑧)Ù+1 exp ⊗ . 2 𝑥⊃∞ 𝑦 𝑡 log 𝑧 Sabemos também, pelo Lema (3.3.2), que, (︃ (︃ 1 log 𝑦 1 ⊗𝐹 (𝑦, 𝑧) = 𝑂 𝑦(log 𝑧)Ù exp ⊗ 𝑦 𝑦 log 𝑧 )︃)︃ (︃ (︃ log 𝑦 = 𝑂 (log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 Ù )︃)︃ assim, para alguma constante positiva 𝐵, temos ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃⊗𝐹 (𝑦, 𝑧) ⧹︃ ⧹︃ 𝑦 ⧹︃ (︃ log 𝑦 ⊘ 𝐵(log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 Ù )︃ Ù+1 ⊘ 𝐵(log 𝑧) (︃ )︃ log 𝑦 exp ⊗ . log 𝑧 Portanto, podemos concluir que ∑︁ y<d d|P (z) (︃ (︃ æ(𝑑) log 𝑦 = 𝑂 (log 𝑧)Ù+1 exp ⊗ 𝑑 log 𝑧 )︃)︃ . Demonstração. (Teorema (3.3.1)) Pelo Principio de inclusão-exclusão temos, )︃ (︃ ∑︁ ∑︁ æ(𝑑) æ(𝑑) + 𝑟𝑑 = + Û(𝑑)𝑟𝑑 . Û(𝑑)𝑋 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= Û(𝑑) ♣ A𝑑 ♣= Û(𝑑) 𝑋 𝑑 𝑑 d|P (z) d|P (z) d|P (z) d|P (z) ∑︁ ∑︁ d≤y Como ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ d|P (z) d≤y ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Û(𝑑)𝑟𝑑 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊘ ∑︁ d|P (z) d≤y ♣Û(𝑑)𝑟𝑑 ♣ = ∑︁ d|P (z) d≤y ♣Û(𝑑)♣ ♣𝑟𝑑 ♣ = uma vez que para 𝑑 livre de quadrados temos Û(𝑑) = (⊗1)𝑘 segue ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ d|P (z) d≤y d≤y d≤y d≤y ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Û(𝑑)𝑟𝑑 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊘ 53 ∑︁ d|P (z) d≤y ♣𝑟𝑑 ♣ . ∑︁ d|P (z) d≤y ♣𝑟𝑑 ♣ Pela primeira hipótese temos que ♣ 𝑟𝑑 ♣= 𝑂(æ(𝑑)), portanto existe uma menor constante 𝑐𝑑 > 0 tal que ♣ 𝑟𝑑 ♣⊘ 𝑐𝑑 æ(𝑑). Fazendo 𝐶 = max𝑑 ¶𝑐𝑑 ♢ temos que ∑︁ d|P (z) d≤y ♣ 𝑟𝑑 ♣⊘ 𝐶 ∑︁ æ(𝑑) d|P (z) d≤y portanto, ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= ∑︁ Û(𝑑)𝑋 d|P (z) d≤y æ(𝑑) + 𝑂(𝐹 (𝑦, 𝑧)). 𝑑 (3.3.3) Novamente, utilizando o fato de que æ é uma função multiplicativa temos que ∏︁ æ(𝑑) = Û(𝑑) 𝑑 p<z 𝑑♣𝑃 (𝑧) ∑︁ (︃ Û(𝑝)æ(𝑝) 1+ 𝑝 )︃ = ∏︁ p<z p∈B p∈B (︃ )︃ æ(𝑝) 1⊗ . 𝑝 Sabendo também que, ∑︁ 𝑑♣𝑃 (𝑧) Û(𝑑) ∑︁ ∑︁ æ(𝑑) æ(𝑑) æ(𝑑) = Û(𝑑) + Û(𝑑) 𝑑 𝑑 𝑑 d|P (z) d|P (z) y<d d≤y segue que a equação (3.3.3) pode ser escrita como ⎛ ∑︁ ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋 ̂︁ ∐︁ Û(𝑑) 𝑑♣𝑃 (𝑧) ⎞ ∑︁ æ(𝑑) æ(𝑑) ̂︂ ⊗ Û(𝑑) ̂︀ + 𝑂(𝐹 (𝑦, 𝑧)) 𝑑 𝑑 d|P (z) y<d e, portanto, ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋𝑊 (𝑧) ⊗ 𝑋 Como ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ d|P (z) y<d ⧹︃ ⧹︃ æ(𝑑) ⧹︃⧹︃ ⧹︃ Û(𝑑) 𝑑 ⧹︃⧹︃ ⊘ ∑︁ Û(𝑑) d|P (z) y<d ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ⧹︃⧹︃ æ(𝑑) ⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃Û(𝑑) ⧹︃ 𝑑 ⧹︃ = d|P (z) y<d æ(𝑑) + 𝑂(𝐹 (𝑦, 𝑧)). 𝑑 ∑︁ d|P (z) y<d (3.3.4) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ æ(𝑑) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ , ♣Û(𝑑)♣ ⧹︃ ⧹︃ 𝑑 ⧹︃ 𝑑 é um inteiro positivo livre de quadrados e æ(𝑑) > 0, segue que ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ d|P (z) y<d Portanto, ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= ⧹︃ ⧹︃ æ(𝑑) ⧹︃⧹︃ Û(𝑑) ⧹︃ 𝑑 ⧹︃⧹︃ ⊘ ∑︁ d|P (z) y<d ⎛ ̂︁ ∑︁ 𝑋𝑊 (𝑧) ⊗ 𝑋𝑂 ∐︁ d|P (z) y<d 54 æ(𝑑) . 𝑑 ⎞ æ(𝑑) ̂︂ ̂︀ + 𝑂(𝐹 (𝑦, 𝑧)). 𝑑 (3.3.5) Pelos Lemas (3.3.2) e (3.3.3) obtemos que (︃ (︃ (︃ Ù+1 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋𝑊 (𝑧)⊗𝑋𝑂 𝑂 (log 𝑧) log 𝑦 exp ⊗ log 𝑧 )︃)︃)︃ (︃ )︃)︃ (︃ (︃ (︃ log 𝑦 +𝑂 𝑂 𝑦(log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 Ù )︃)︃)︃ e pela parte 2 da proposição (1.3.7), temos (︃ Ù+1 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋𝑊 (𝑧) ⊗ 𝑋𝑂 (log 𝑧) log 𝑦 exp ⊗ log 𝑧 (︃ (︃ log 𝑦 + 𝑂 𝑦(log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 Ù )︃)︃ . Fazendo 𝑦 = 𝐶𝑋 para alguma constante positiva 𝐶, temos que (︃ log 𝑦 𝑦(log 𝑧)Ù exp ⊗ log 𝑧 De fato, )︃ (︃ log 𝑦 = 𝑂 𝑋(log 𝑧)Ù+1 exp ⊗ log 𝑧 ⧹︃ (︃ )︃⧹︃ ⧹︃ log 𝑦 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ Ù ⧹︃𝐶𝑋(log 𝑧) exp ⊗ ⧹︃ ⧹︃ log 𝑧 ⧹︃ Portanto, (︃ Ù+1 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋𝑊 (𝑧)+𝑂 𝑋(log 𝑧) (︃ Ù+1 = 𝑋𝑊 (𝑧) + 𝑂 𝑋(log 𝑧) (︃ (︃ log 𝑦 exp ⊗ log 𝑧 log 𝑦 exp ⊗ log 𝑧 )︃)︃ (︃ . ⧹︃ (︃ )︃⧹︃ ⧹︃ log 𝑦 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ Ù+1 ⧹︃𝑋(log 𝑧) exp ⊗ ⧹︃ . ⧹︃ log 𝑧 ⧹︃ ⊘♣ 𝐶 ♣ (︃ )︃)︃ )︃)︃ (︃ (︃ Ù+1 +𝑂 𝑂 𝑋(log 𝑧) (︃ Ù+1 + 𝑂 𝑋(log 𝑧) Ù+1 = 𝑋𝑊 (𝑧) + 𝑂 𝑋(log 𝑧) (︃ log 𝑦 exp ⊗ log 𝑧 (︃ log 𝑦 exp ⊗ log 𝑧 (︃ log 𝑦 exp ⊗ log 𝑧 )︃)︃ = )︃)︃ Por fim vamos mostrar que (︃ log 𝑦 𝑋(log 𝑧)Ù+1 exp ⊗ log 𝑧 )︃ (︃ (︃ log 𝑋 = 𝑂 𝑋(log 𝑧)Ù+1 exp ⊗ log 𝑧 )︃)︃ . De fato, como (︃ log 𝐶 exp ⊗ log 𝑧 )︃ ⊘ exp (𝑟) para alguma constante positiva 𝑟, temos, = ⧹︃ (︃ )︃⧹︃ ⧹︃ log 𝐶𝑋 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ Ù+1 ⧹︃𝑋(log 𝑧) exp ⊗ ⧹︃ ⧹︃ log 𝑧 ⧹︃ = ⧹︃ (︃ ⧹︃ log 𝐶 ⧹︃ Ù+1 ⧹︃𝑋(log 𝑧) exp ⊗ ⧹︃ log 𝑧 ⧹︃ (︃ )︃ (︃ )︃⧹︃ ⧹︃ log 𝐶 log 𝑋 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ Ù+1 ⧹︃𝑋(log 𝑧) exp ⊗ ⧹︃ exp ⊗ ⧹︃ log 𝑧 log 𝑧 ⧹︃ 55 ⊘ log 𝑋 ⊗ log 𝑧 )︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ = ⧹︃ (︃ )︃⧹︃ ⧹︃ log 𝑋 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ Ù+1 exp ⊗ exp (𝑟) ⧹︃𝑋(log 𝑧) ⧹︃ ⧹︃ log 𝑧 ⧹︃ )︃)︃)︃ = Portanto, (︃ (︃ Ù+1 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋𝑊 (𝑧) + 𝑂 𝑂 𝑋(log 𝑧) (︃ (︃ log 𝑋 exp ⊗ log 𝑧 (︃ log 𝑋 = 𝑋𝑊 (𝑧) + 𝑂 𝑋(log 𝑧)Ù+1 exp ⊗ log 𝑧 )︃)︃)︃ = )︃)︃ e isso conclui a demonstração. Uma consequência imediata do último resultado é o corolário. Corolário 3.3.4. Se Þ(𝑋) denota o número de primos menores do que ou iguais a 𝑋. Então, (︃ )︃ 𝑋 Þ(𝑋) = 𝑂 log log 𝑋 . log 𝑋 Demonstração. De fato, sejam A o conjunto dos inteiros positivos menores do que 𝑋, B o conjunto de números primos menores do que ou iguais a 𝑧, para algum 𝑧 a ser escolhido futuramente. Quando tomamos æ(𝑑) = 1, estamos contando uma classe de resíduo módulo 𝑑, no nosso caso queremos os inteiros na classe de resíduo 0 módulo 𝑑. Além disso, a função æ(≤) definida desta forma, para todos os inteiros 𝑑 livres de quadrados e compostos por primos em B, é multiplicativa. Com efeito, sejam 𝑎, 𝑏 ∈ B, distintos, então, æ(𝑎𝑏) = 1 = 1 ≤ 1 = æ(𝑎)æ(𝑏). Com essa escolha para a função æ(≤) vemos que as hipóteses do Teorema (3.3.1) satisfazem: 1. ♣ 𝑟𝑑 ♣= 𝑂(1); 2. No Exemplo (1.3.9), temos que para Ù = 1, log 𝑝 = log 𝑧 + 𝑅(𝑧); 𝑝 𝑝⊘𝑧 ∑︁ com 𝑅(𝑧) = 𝑂(1) 3. para 𝐶 > 0, 𝑦 = 𝐶𝑋 ♣ A𝑑 ♣= 0 para todo 𝑑 > 𝑦. Então pelo Teorema (3.3.1) temos (︃ (︃ log 𝑋 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑋𝑊 (𝑧) + 𝑂 𝑋(log 𝑧) exp ⊗ log 𝑧 onde 𝑊 (𝑧) = √︂ 𝑝<𝑧 (︁ 1⊗ 1 𝑝 ⎡ . 56 2 )︃)︃ , Vimos também, na seção (3.1.3), que para alguma constante positiva ∏︁ 𝑝<𝑧 (︃ 1 1⊗ 𝑝 )︃ < 1 𝑐 log 𝑧 portanto, (︃ (︃ 1 log 𝑋 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣< 𝑋 + 𝑂 𝑋(log 𝑧)2 exp ⊗ 𝑐 log 𝑧 log 𝑧 Escolhendo 𝑧 = exp (︁ log 𝑋 3 log log 𝑋 ⎡ )︃)︃ . , segue que log 𝑧 = log 𝑋 3 log log 𝑋 e portanto temos ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣< 𝑋 =𝑋 1 log 𝑋 𝑐 3 log log 𝑋 ⎛ ⎛ + 𝑂 ∐︁𝑋 3 log log 𝑋 + 𝑂 ∐︁𝑋 𝑐 log 𝑋 (︃ ⎛ (︃ log 𝑋 3 log log 𝑋 log 𝑋 3 log log 𝑋 3 log log 𝑋 + 𝑂 ∐︁𝑋 =𝑋 𝑐 log 𝑋 (︃ )︃2 )︃2 ⎛ 3 log log 𝑋 ⎞ exp (⊗3 log log 𝑋)̂︀ = log 𝑋 3 log log 𝑋 )︃2 (︃ ⎞ (log 𝑋)⊗3 ̂︀ = )︃ 3 log log 𝑋 𝑋 =𝑋 . +𝑂 𝑐 log 𝑋 (3 log log 𝑋)2 (log 𝑋) Portanto temos que ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣< 𝑋 3 log log 𝑋 + 𝑓1 (𝑋), 𝑐 log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑋 onde ♣ 𝑓1 (𝑋) ♣⊘ 𝐴 ⧹︃ (3 log log 𝑋) 2 (log 𝑋) ⧹︃ para alguma constante positiva 𝐴. Observe que ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 3 log log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ 3 log log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃𝑋 ⧹︃ + ♣𝑓1 (𝑋)♣ + 𝑓1 (𝑋)⧹︃ ⊘ ⧹︃𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑐 log 𝑋 𝑐 log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 3 log log 𝑋 ⧹︃ 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ + 𝐴 ⧹︃ ⧹︃ , ⊘ ⧹︃𝑋 ⧹︃ (3 log log 𝑋)2 (log 𝑋) ⧹︃ ⧹︃ 𝑐 log 𝑋 ⧹︃ observe também que a função cresce mais rapidamente do que a função ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 3 log log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃𝑋 ⧹︃ 𝑐 log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ . 𝐴 ⧹︃ ⧹︃ (3 log log 𝑋)2 (log 𝑋) ⧹︃ 57 ⎞⎞ log 𝑋 exp ∐︁⊗ log 𝑋 ̂︀̂︀ = ⊘ De fato, lim 𝑋⊃∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑋 𝐴 ⧹︃⧹︃ (3 log log 𝑋) 2 (log 𝑋) ⧹︃ portanto ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 3 log log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃𝑋 𝑐 log 𝑋 ⧹︃ = ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝑋 𝑐 log 𝑋 ⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ lim 𝐴 ⧹︃ ⧹︃ (3 log log 𝑋)2 (log 𝑋) ⧹︃ ⧹︃ 3𝑋 log log 𝑋 ⧹︃ 𝑋⊃∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝐴𝑐 ⧹︃ ⧹︃ lim ⧹︃⧹︃ ⧹︃ 3 𝑋⊃∞ (3 log log 𝑋) ⧹︃ Portanto podemos concluir que = ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 𝐴𝑐 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ lim ⧹︃ 𝑋⊃∞ ⧹︃ (3 log log 𝑋)3 ⧹︃ ⊃ 0. )︃ (︃ 𝑋 ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣= 𝑂 log log 𝑋 . log 𝑋 Observe no entanto que Þ(𝑋) ⊗ Þ(𝑧) ⊘♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣, uma vez que no conjunto ♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣ estão: o número 1, todos os primos do intervalo 𝑧 < 𝑝 < 𝑋 e os números compostos que são produto de primos maiores do que 𝑧. Assim, segue que Þ(𝑋) ⊘♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣ +Þ(𝑧) ⊘♣ 𝒮(A , B, 𝑧) ♣ +𝑧. Como 𝑧 = exp (︁ log 𝑋 3 log log 𝑋 ⎡ , temos (︃ )︃ 𝑋 Þ(𝑋) = 𝑂 log log 𝑋 . log 𝑋 De fato, para qualquer constante positiva 𝐶 a função 𝐶 log𝑋𝑋 log log 𝑋 cresce mais rapidamente do que exp 3.4 (︁ log 𝑋 3 log log 𝑋 ⎡ , i.e., (︁ ⎡ ⧹︃ ⧹︃ log 𝑋 ⧹︃ exp ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 3 log log 𝑋 ⧹︃ ⧹︃ lim ⧹︃ 𝑋 ⧹︃ 𝑋⊃∞ ⧹︃ 𝐶 log log 𝑋 ⧹︃ log 𝑋 ⊃ 0. Algumas Considerações Tivemos, nesse trabalho, a intenção de estudar o crivo de Eratóstenes - Legendre com o objetivo de entender as ideias envolvidas nos processos de crivo. A escolha desse crivo, dentre todos os outros, foi feita tendo em vista dois pontos. O primeiro é que o crivo de Eratóstenes - Legendre é o mais simples dentre os crivos estudados na teoria dos crivos. O segundo ponto reside no fato 58 de que esse crivo fornece a ideia geral dos crivos uma vez que os crivos16 mais sofisticados são extensões de suas ideias básicas. Uma motivação desse trabalho reside no desejo de aplicar as ideias de crivo a uma situação particular, o que será feito em algum trabalho futuro. Ao leitor interessado em obter mais ideias e resultados, um bom texto introdutório é [4]. Neste texto as ideias são apresentadas de maneira objetiva e clara. Um livro, sobre o assunto, também introdutório e mais completo é sem dúvida [5]. Embora essa última bibliografia seja rica em conteúdo, ela leva em consideração muitos detalhes técnicos, o que sob meu ponto de vista faz com que o leitor se perca nos detalhes em prejuízo as ideias. Um texto mais recente, sobre teoria de crivos, e que também foi utilizado neste trabalho é [2]. Neste último são discutidos e apresentados muitos outros tipos de crivos combinatoriais e não combinatoriais. 16 Crivos combinatoriais. 59 Referências [1] M. Aigner. A Course in Enumeration. Berlin: Springer, 2007. [2] A. C. Cojocaru e M.R. Murty. An Introduction to Sieve Methods and their Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2005. [3] R. L. Graham, D. E. Knuth e O. Patashnik. Matemática Concreta. Rio de Janeiro: LTC, 1995. [4] G. Greaves. Sieves in Number Theory. New York: Springer, 2001. [5] H. Halberstam e Richert H. E. Sieve Methods. London: Academic Press, 1974. [6] P. R. Halmos. Teoria ingênua dos conjuntos. São Paulo: Polígono, 1970. [7] H. Iwaniec. Notas de aula: Sieve Methods. Piscataway: Não Publicada, 1996. [8] M. R. Murty e N. Saradha. “On the sieve of Eratosthenes.” Em: Canadian Journal of Mathematics 39.5 (1987), pp. 1107–1122. [9] J. P. O. Santos, M. P. Mello e I. T. C. Murari. Introdução à Análise Combinatória. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. [10] A. Slomson. An Introduction to Combinatorics. Great Britain: Chapman e Hall, 1991. 60