Integrali i pacaktuar

Fusha e pjerrësisë së $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c$ , duke treguar tre nga zgjidhjet e pafundme që mund të prodhohen duke ndryshuar konstanten arbitrare c .

Në kalkulus, një funksion primitivë, integral i pacaktuar ose antiderivat i një funksioni të vazhdueshëm f është një funksion i diferencueshëm F, derivati i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal f . Kjo mund të shprehet simbolikisht si F' = f . ^[1] ^[2] Procesi i zgjidhjes së integraleve të pacaktuara quhet antidiferencim (ose integrim i pacaktuar ), dhe veprimi i kundërt i tij quhet diferencim, që është procesi i gjetjes së një derivati. Integralet e pacaktuara shpesh shënohen me shkronja të mëdha romake si F dhe G

Antiderivativët lidhen me integralet e caktuara përmes teoremës së dytë themelore të kalkulusit : integrali i caktuar i një funksioni në një interval të mbyllur ku funksioni është i integrueshëm sipas Rimanit është i barabartë me ndryshesën midis vlerave të një integrali të pacaktuar të vlerësuar në pikat e skajeve të intervalit.

Në fizikë, integralet e pacaktuara lindin në kontekstin e lëvizjes drejtvizore (p.sh., në shpjegimin e marrëdhënies midis vendodhja, shpejtësisë dhe nxitimit ). ^[3] I njëvlershmi diskret i nocionit të integralit të pacaktuar është antidiferenca .

Shembuj

Funksioni $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ është integrali i pacaktuar i $f(x)=x^{2}$ , meqënëse derivati i ${\tfrac {x^{3}}{3}}$ është $x^{2}$ . Meqënëse derivati i një konstanteje ja zero, $x^{2}$ do të ketë një numër të pafundëm integralesh të pacaktuara të trajtës: ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ , etc. Kështu, të gjithë integralet e pacaktuar $x^{2}$ mund të përftohen duke ndryshuar vlerën e $c$ në $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$ , ku $c$ është një konstante arbitrare e njohur si konstantja e integrimit.

Më në përgjithësi, funksioni i fuqisë $f(x)=x^{n}$ ka integral të pacaktuar $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ nëse n ≠ − 1, dhe $F(x)=\ln |x|+c$ nëse n = − 1 .

Në fizikë, integrimi i nxitimit jep shpejtësi plus një konstante. Konstantja është termi fillestar i shpejtësisë (v₀) që do të humbiste me marrjen e derivatit të shpejtësisë, sepse derivati i një termi konstant është zero. I njëjti model vlen për integrimet dhe derivatet e mëtejshme të lëvizjes (pozicioni, shpejtësia, nxitimi, etj.). ^[3] Kështu, integrimi prodhon marrëdhëniet e nxitimit, shpejtësisë dhe zhvendosjes : ${\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}$

Përdorimet dhe vetitë

Integralet e pacaktuara mund të përdoren për të llogaritur integrale të caktuara, duke përdorur teoremën themelore të analizës matematike : nëse F është një primitivë e funksionit të vazhdueshëm f gjatë intervalit $[a,b]$ , pastaj: $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

Për shkak të kësaj, secili prej integraleve të pacaktuar pafundësisht të shumtë të një funksioni të caktuar f mund të quhet "integrali i pacaktuar" i f dhe të shkruhet duke përdorur simbolin integral pa kufij: $\int f(x)\,\mathrm {d} x.$

Çdo funksion i vazhdueshëm f ka një integral të pacaktuar, dhe një integral i pacaktuar F jepet nga integrali i caktuar i f me kufirin e sipërm të ndryshueshëm: $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t~,$ për çdo a në BP e f . Ndryshimi i kufirit të poshtëm prodhon antiderivativë të tjerë, por jo domosdoshmërisht të gjithë integralet e pacaktuara të mundshme. Ky është një formulim tjetër i teoremës themelore të llogaritjes .

Ka shumë funksione, integralet e pacaktuara e të cilëve, edhe pse ekzistojnë, nuk mund të shprehen me funksione elementare (si polinomet, funksionet eksponenciale, logaritmet, funksionet trigonometrike, funksionet e anasjellta trigonometrike dhe kombinimet e tyre). Shembuj të tillë janë

Funksioni i gabimit $\int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,$
Funksioni i Fresnelit $\int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,$
Integrali Sinc $\int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,$
Funksioni integral logaritmik $\int {\frac {1}{\log x}}\,\mathrm {d} x,$ dhe
Ëndrra e vitparistit $\int x^{x}\,\mathrm {d} x.$

Formulat bazë

Nëse ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)$ , atëherë $\int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C$ .
$\int 1\ \mathrm {d} x=x+C$
$\int a\ \mathrm {d} x=ax+C$
$\int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1$
$\int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C$
$\int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C$
$\int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C$
$\int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C$
$\int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C$
$\int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C$
$\int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C$
$\int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C$
$\int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1$
$\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C$
$\int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C$

Shihni gjithashtu

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (bot. 6th). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (bot. 9th). Brooks/Cole. ISBN 978-0-547-16702-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ ^a ^b "4.9: Antiderivatives". Mathematics LibreTexts (në anglisht). 2017-04-27. Marrë më 2020-08-18. Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":1" defined multiple times with different content

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (bot. 6th). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (bot. 9th). Brooks/Cole. ISBN 978-0-547-16702-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[:1-3] "4.9: Antiderivatives". Mathematics LibreTexts (në anglisht). 2017-04-27. Marrë më 2020-08-18. Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":1" defined multiple times with different content

[1]

[2]

[3]