Matrika preslikave

Matrika preslikave (tudi transformacijska matrika ali matrika prehoda) je matrika, ki predstavlja linearno transformacijo iz $R^{n}\,$ v $R^{m}\,$ tako, da velja

$T({\vec {x}})=\mathbf {A} {\vec {x}}$

kjer je

• $A\,$ transformacijska matrika z razsežnostjo $m\times n\,$
• ${\vec {x}}\,$ stolpični vektor z $n\,$ elementi
• $T\,$ preslikava vektorja

Matrika pomeni prehod med dvema končno razsežnima vektorskima prostoroma. To je prehod iz baze z vektorji ${\vec {a}}_{1},\cdots ,{\vec {a}}_{n}\,$ v bazo ${\vec {b}}_{1},\cdots ,{\vec {b}}_{n}\,$ Včasih prikažejo transformacijsko matriko tudi z uporabo vrstičnega vektorja

Primeri v dvorazsežni grafiki

Najbolj pogoste geometrijske preslikave obdržijo stalno izhodišče. Med te preslikave prištevamo vrtenje, povečevanje in zmanjševanje, striženje, zrcaljenje in pravokotno projekcijo.

Vrtenje

Vrtenje za kot $\theta \,$ v smeri, ki je nasprotna gibanju urinih kazalcev (glede na izhodišče) zapišemo v matrični obliki kot

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v nasprotni smeri urinih kazalcev:

${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

kjer je

• $x'\,$ koordinata x po vrtenju
• $x\,$ koordinata x pred vrtenjem
• $\theta \,$ kot za katerega zavrtimo

Podobno je pri vrtenju v smeri gibanja urinih kazalcev

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v smeri urinih kazalcev:

${\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

Povečevanje in zmanjševanje

Povečevanje in zmanjševanje pomeni spremembo merila v katerem prikazujemo sliko. Če označimo z $x'\,$ in $y'\,$ nove koordinate, potem velja $x'=s_{x}\cdot x$ in $y'=s_{y}\cdot y$

Matrika transformacije je

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0\\0&s_{y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Kadar velja tudi $s_{x}s_{y}=1\,$ predstavlja matrika stiskanje (pri tem se ohranja površina).

Nekateri povečevanje in zmanjševanje imenujejo tudi skaliranje .

Striženje

Strig je podoben nagibanju slike. Možni sta dve obliki: Strig vzdolž osi-y tako, da so nove koordinate $x'=x+ky\,$ in $y'=y\,$. Pri tem je strižna matrika za stolpični vektor enaka

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Druga oblika pa je striženje vzdolž osi-x. Pri tem so nove koordinate $x'=x\,$ in $y'=y+kx\,$. Matrika pa ima obliko

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Zrcaljenje

Če zrcalimo preko premice, ki teče preko izhodišča in ima smer vektorja ${\vec {l}}=(l_{x},l_{y})\,$, potem zrcaljenje opisuje matrika

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}$

Pravokotna projekcija

Če hočemo izvesti projekcijo vektorja na premico, ki teče skozi izhodišče, naj bo ${\vec {u}}=(u_{x},u_{y})\,$, potem je transformacijska matrika

$\mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert {\vec {u}}\rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}$

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Transformacijska matrika na Mathworld (angleško)
• Transformacijska matrika (slovensko)
• Računalniška grafika Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine. (slovensko)