Ogled vira Zipf-Mandelbrotova porazdelitev

{| align=right class="toccolours" style="margin-left: 40px; text-align:center; background: #FFFFFF; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" border="2" cellpadding="1" cellspacing="0"
! bgcolor=#ccccff colspan="2" | '''Zipf-Mandelbrotova porazdelitev''' 
|-align="center"
|-colspan="1"
|-align="center"
| parametri || <math>N \in \{1,2,3\ldots\}</math> ([[celo število]])<br /><math>q \in [0;\infty)</math> ([[realno število]])<br /><math>s>0\,</math> ([[realno število]])
|-align="center"
| [[interval]] || <math>k \in \{1,2,\ldots,N\}</math>
|-align="center"
| [[funkcija verjetnosti]] </br> (pdf) || <math>\frac{1/(k+q)^s}{H_{N,q,s}}</math>
|-align="center"
| [[zbirna funkcija verjetnosti]] </br> (cdf)|| <math>\frac{H_{k,q,s}}{H_{N,q,s}}</math>  
|-align="center"
| [[pričakovana vrednost]]  ||  <math>\frac{H_{N,q,s-1}}{H_{N,q,s}}-q</math>
|-align="center"
| [[mediana]]  ||  
|-align="center"
| [[modus (statistika)|modus]]  || <math>1\,</math>
|-align="center"
|  [[varianca]]  || 
|-align="center"
 | [[koeficient simetrije|simetrija]] ||   ||
|-align="center"
 | [[sploščenost]] </br> (eksces)||  
|-align="center"
 |  [[entropija (informatika)|entropija]] ||    
|-align="center"
|  [[funkcija generiranja momentov]] </br>(mgf)    || 
|-align="center"
|  [[karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve|karakteristična funkcija]] || 
|-align="center"
|}

'''Zipf-Mandelbrotova porazdelitev'''  (tudi '''Zipf-Mandelbrotov zakon''' ali '''Pareto-Zipfova porazdelitev''') je [[diskretna porazdelitev|diskretna]] [[verjetnostna porazdelitev]].

Imenuje se po ameriškem jezikoslovcu in filologu [[George Kingsley Zipf |Georgeu Kingsleyu Zipfu]] (1902–1950), francosko-ameriškem matematiku poljskega rodu [[Benoît Mandelbrot|Benoîtu Mandelbrotu]] (1924–2010) in italijanskem ekonomistu in sociologu [[Vilfredo Pareto|Vilfredu Paretu]] (1848–1923). Zipf je predlagal enostavnejšo varianto, ki so jo imenovali [[Zipfov zakon]]. Pozneje je Mandelbrot problem posplošil in ga uporabil celo za [[idealni plin]].

[[Funkcija verjetnosti]] je enaka <math>\frac{1/(k+q)^s}{H_{N,q,s}}</math>
kjer je 
* <math>H_{N,q,s}=\sum_{i=1}^N \frac{1}{(i+q)^s}</math>,

kadar je q = 0 
in je s približno 1, dobimo [[Zipfov zakon]].

To vrednost se lahko ima kot posplošitev [[harmonično število|harmoničnih števil]] (glej tudi [[harmonična vrsta]]). Ko se N približuje neskončnosti, postane to [[Hurwitzeva funkcija zeta]] <math>\zeta(q,s)</math>. Za končne N pri q = 0 postane Zipf-Mandelbrotova porazdelitev enaka Zipfovemu zakonu. Za nekončne N pri q = 0 postane [[zeta porazdelitev]].

=== Uporaba ===

Zipf-Mandelbrotov zakon se uporablja v [[jezikoslovje|jezikoslovju]] (kvantitativna lingvistika). Opisuje porazdelitev besed (ne skupin besed, kot so fraze) v besedilih naravnih jezikov oziroma v [[besedilni korpus|besedilnih korpusih]].  Porazdelitev besed v poljubnem besedilu po pogostosti (frekvenci) pojavljanja se podreja potenčni porazdelitvi, ki je znana kot Zipfov zakon. Če prikažemo pogostost (frekvenco) pojavljanja (v padajočem redu) posameznih besed v zelo velikih besedilih, dobimo porazdelitev, ki je potenčna in ima eksponent zelo blizu vrednosti 1. Lahko jo zapišemo kot 
: <math> P_n \sim 1/n^a \; , </math>. 
Eksponent ima vrednost, ki je zelo blizu 1. Podoben zakon velja še na nekaterih drugih področjih (ekonomija, fizika, biologija, demografija, glasba, bibliografija). Iz tega sledi, da se določene besede v naravnih jezikih uporabljajo bolj pogosto kot druge. 

== Značilnosti ==

=== Funkcija verjetnosti === 
[[Funkcija verjetnosti]] je enaka <math>\frac{1/(k+q)^s}{H_{N,q,s}}</math></br>
kjer je 
* :<math>H_{N,q,s}=\sum_{i=1}^N \frac{1}{(i+q)^s}</math>.

=== Zbirna funkcija verjetnosti ===
[[Zbirna funkcija verjetnosti]] je <math>\frac{H_{k,q,s}}{H_{N,q,s}}</math>.

=== Pričakovana vrednost ===
[[Pričakovana vrednost]] je enaka <math>\frac{H_{N,q,s-1}}{H_{N,q,s}}-q</math>.

=== Modus ===
[[modus (statistika)|Modus]] je enak <math>1\,</math>.

== Glej tudi ==

* [[verjetnostna porazdelitev]]
* [[seznam verjetnostnih porazdelitev]]

== Zunanje povezave ==
* [https://web.archive.org/web/20000818062828/http://hobart.cs.umass.edu/~allan/cs646-f97/char_of_text.html Pogostost pojavljanja angleških besed] {{ikona en}}
* [http://www.infoamerica.org/documentos_pdf/zipf_1.pdf  Opis lastnosti Zipf-Mandelbrotove porazdelitve] {{ikona en}}

{{DEFAULTSORT:Zipf-Mandelbrotova porazdelitev}}

[[Kategorija:Nezvezne porazdelitve]]