Lineárna kombinácia

Lineárnou kombináciou prvkov (vektorov) vektorového priestoru rozumieme nový prvok (vektor), ktorý tomuto priestoru taktiež náleží. Vektorový priestor je generovaný jeho bázovými vektormi. Každý prvok tohto priestoru sa teda dá vyjadriť ako lineárna kombinácia jeho bázových vektorov.

Definícia

Nech ${\mathcal {V}}$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb {K}$. Nech $\{c_{j},j=1,2,\cdots ,n\}\subset \mathbb {K}$ a $\{\mathbf {v} _{j},j=1,2,\cdots ,n\}\subset {\mathcal {V}}$. Potom lineárnou kombináciou $\mathbf {v}$ rozumieme vektor

$\mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}c_{j}\mathbf {v} _{j}$

Vektormi nemusíme nutne chápať n-tice čísel, ale aj funkcie a iné matematické objekty. Napríklad lineárnou kombináciou na priestore polynómov je nový polynóm

$f=\sum _{j=1}^{n}c_{j}f_{j}$

Príklad

Sú dané lineárne nezávislé polynómy $f_{1}(x)=x^{2}-x,\,f_{2}(x)=x+2,\,f_{3}(x)=1$. Lineárnu kombináciu $f(x)=x^{2}+4x+4$ dosiahneme voľbou

$f=1\cdot f_{1}+5\cdot f_{2}-6\cdot f_{3}$