Ludolfovo číslo

O iných významoch pí pozri Pí.

Ludolfovo číslo, hovorovo $\pi$ (pí) alebo výnimočne aj Archimedova konštanta (znak je grécke písmeno malé pí) je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Či je kruh malý, alebo veľký, $\pi \,\!$ je stále rovnaké, je to matematická konštanta. Táto konštanta sa bežne používa nielen v matematike ale aj vo fyzike, inžinierstve a iných vedách. Ludolfovo číslo je iracionálne, transcendentné číslo, ktorého prvé tri cifry sú 3,14.

Na zápis Ludolfovho čísla sa používa minuskulum (malé písmeno) pí gréckej abecedy. Často sa týmto znakom aj pomenúva.

Dejiny čísla $\pi \,\!$

Archimedes zo Syrakúz bol jeden z prvých matematikov, ktorý sa zaujímal o číslo $\pi \,\!$

Podiel obvodu kruhu k jeho priemeru bol už od staroveku objektom záujmu vedcov. Babylončania okolo roku 2000 pred Kr. zistili, že obvod kruhu je približne trojnásobkom jeho priemeru. Matematický postup výpočtu čísla $\pi \,\!$ objavil okolo roku 255 pred Kr. Archimedes zo Syrakúz. Archimedes pomocou výpočtu obvodu pravidelného vpísaného a opísaného 96 uholníka odhadol hodnotu čísla $\pi \,\!$ medzi zlomkami ${\frac {223}{71}}$ a ${\frac {220}{70}}$ (3,1408 <$\pi \,\!$<3,1428). V nemecky hovoriacich krajinách bolo toto číslo nazývané Ludolfovo (Ludolphsche Zahl) podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulen, ktorý ho v roku 1596 určil pomocou Archimedovho postupu na 20 miest a neskôr na 35 miest. Výpočtom sa zaoberal aj Samuel Mikovíny, ktorý pred rokom 1750 určil jeho hodnotu na 25 cifier. Návrh na označenie tohto čísla znakom $\pi \,\!$ pochádza z roku 1706 od málo známeho waleského matematika Williama Jonesa, ktorý sa v 18. storočí stal viceprezidentom Londýnskej kráľovskej spoločnosti. Označenie $\pi \,\!$ sa však ujalo až po tom, čo ho začal používať matematik a fyzik Leonhard Euler (prvýkrát v roku 1736 v diele Mechanika). V súčasnosti aj Nemci nazývajú Ludolfovo číslo ako $\pi \,\!$ .

Potom, čo Johann Lambert v roku 1768 dokázal, že $\pi \,\!$ nie je zlomok ale iracionálne číslo, vyriešil Ferdinand von Lindemann najvýznamnejší problém spojený s $\pi \,\!$, keď dokázal, že $\pi \,\!$ je transcendentné číslo (teda nie je koreňom žiadnej polynomickej rovnice).

Vyčíslenie hodnoty $\pi \,\!$

William Shanks v roku 1853 oznámil, že vypočítal $\pi \,\!$ s presnosťou na 607 miest (napokon sa ukázalo, že správnych bolo len 527). V súčasnosti sa snaha o upresnenie desatinného rozvoja čísla $\pi \,\!$ urýchlila vďaka výpočtovej technike. V roku 1949 určili hodnotu $\pi \,\!$ s presnosťou na 2 037 desatinných miest, čo pomocou počítača ENIAC trvalo 70 hodín. V roku 2011 bolo známych viac ako 10 000 000 000 000 miest čísla $\pi \,\!$.

Hodnota čísla

Nikdy nebudeme poznať presnú hodnotu čísla $\pi \,\!$, keďže je to iracionálne číslo. Desatinný rozvoj $\pi \,\!$ je nekonečný a bez predikovateľnej štruktúry. Jeho hodnota na 60 desatinných miest je:

$3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...$

Výpočet $\pi \,\!$

Jeden zo spôsobov ako $\pi \,\!$ vypočítať, s ktorým prišiel nemecký polyhistor Gottfried Wilhelm von Leibniz:

$\pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=+{\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots$

Na približné účely sa často používa zaokrúhlená hodnota na dve desatinné miesta 3,14, čomu zodpovedá aj zlomok 22/7 (3,1428).

Mnemotechnické pomôcky

Pomerne jednoducho sa zapamätá 113/355 (po 2 krát za sebou nepárne čísla 1 3 5 rozdelené v strede lomkou), čo je $1/\pi \,\!$ s presnosťou na 7 miest odkiaľ opačný pomer 355/113 je $\pi \,\!$ s presnosťou na 6 miest.

Číslo $\pi \,\!$ s presnosťou na viac, napríklad deväť, desatinných miest je možné vytvoriť spočítaním písmen v jednotlivých slovách napríklad pomocou tejto vety: „Tak, ó milá, ó drahá, zapamätaj si týchto čísel rad.“

Ak priemer kruhu je 1, potom jeho obvod je pí.

Kruh a guľa

Kruh

${\text{Obvod}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {d} =2\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r}$

${\text{Obsah}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{2}}$

Guľa

${\text{Povrch}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {d^{2}} =4\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{2}}$

${\text{Objem}}={\frac {4}{3}}\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{3}}$

Zaujímavosti

Deň pí sa oslavuje od roku 1988 každý rok 14. marca. V tento ako aj v dni „približujúce sa k pí“ si ho možno pripomenúť odriekaním jeho cifier. V roku 2015 spamäti so zaviazanými očami povedal Ind Rajveer Meena jeho prvých 70 000 cifier, čo mu trvalo skoro 10 hodín.

Zdroj

• Crilly, T.: Matematika 50 myšlienok, ktoré by ste mali poznať, Bratislava: Slovart, 2011

Externé odkazy

• Ludolfovo číslo s presnosťou na 4,2 milióna desatinných čísiel na stiahnutie^{[nefunkčný odkaz]}