Rotor (matematika)

U vektorskoj analizi i teoriji polja, rotor ili rotacija (rot, eng. curl) je veličina koja odražava svojstva vektorskoga polja u prostoru. Najviše se primjenjuje u fizici, pogotovo u elektromagnetizmu i hidrodinamici.

Definicija

Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja

Pogledajmo linijski integral vektorskog polja ${\overrightarrow {W}}$ duž zatvorne krivulje $C$ koja ograničava površinu $S$ . Premostimo krivulju nekim lukom, tako da je vanjska krivulja razdvojena na dvije ( $C_{1}+C_{2}=C$ ). Pri integriranju sada udio imaju samo vanjski dijelovi početne linije, jer se po luku integrira jednom u jedom, a drugi put u suprotom smijeru pa se taj integral poništava (v. sl.). Naravno, isto se događa i za velik broj razdioba početne površine $S$ :

\oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=\int \limits _{C}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=\sum _{i=1}^{N}\int \limits _{C_{i}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}_{i}.

Uzmimo sada omjer te vrijednosti i infinitezimalno malog dijela površine $A_{i}$ koji okružuje krivulja $C_{i}$ . Pustimo li da $N\mapsto \infty$ , odnosno $A_{i}\mapsto 0$ , dobivamo graničnu vrijednost koja predstavlja skalarnu veličinu pridruženu određenoj točki prostora, pa je stoga možemo smatrati komponentom vektora. Pomnožimo li dati izraz s vektorom normale ${\hat {n}}$ , dolazimo upravo do definicije rotacje ili rotora vektorskog polja:

{\hat {n}}\cdot {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}{\stackrel {def.}{=}}\lim _{A_{i}\rightarrow 0}{\frac {\int \limits _{C_{i}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}}{A_{i}}}=\lim _{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}}{\Delta S}}.

Svojstva i pretpostavke

Nije nužno da ploha omeđena krvuljom koju promatramo leži u ravnini, traži se jedino da ta ploha nema singularnosti.

Nadalje, pretpostavlja se da se vektor normale ${\hat {n}}$ ne mijenja dok se element plohe smanjuje k nuli. Rotor je, kao i Divergencija, također invarijanta vektorskog polja.

Rotor u kartezijevu sustavu

Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja

Kako bismo izveli izraz za rotor u kartezijevu sustavu, napravimo integraciju po rubu pravokutnika paralelnog s $xOy$ - ravinom ( ${\hat {n}}={\hat {z}}$ ), kao na sl.

\oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=\int \limits _{C_{1}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}+\int \limits _{C_{2}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}+\int \limits _{C_{3}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}+\int \limits _{C_{4}}{\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}=

=\int \limits _{C_{1}}W_{x}(x,y_{0},z_{0})dx+\int \limits _{C_{2}}W_{y}(x_{0}+\Delta x,y,z_{0})dy-

-\int \limits _{C_{3}}W_{x}(x,y_{0}+\Delta y,z_{0})dx-\int \limits _{C_{4}}W_{y}(x_{0},y,z_{0})dy=

=\int {\Bigl [}W_{x}(x,y_{0},z_{0})-W_{x}(x,y_{0}+\Delta y,z_{0}){\Bigr ]}dx+

+\int {\Bigl [}W_{y}(x_{0}+\Delta x,y,z_{0})-W_{y}(x_{0},y,z_{0}){\Bigr ]}dy=

={\frac {\partial W_{y}}{\partial x}}\cdot \Delta x\Delta y-{\frac {\partial W_{x}}{\partial y}}\cdot \Delta x\Delta y=

=\Delta S\cdot {\Bigl (}{\frac {\partial W_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}.

Uvršatavanjem u definiciju rotacije, te potpunom analogijom, imamo:

{\hat {z}}\cdot {\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}=\lim _{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {W}}d{\vec {S}}}{\Delta S}}=\lim _{\Delta S\rightarrow 0}{\frac {{\Bigl (}{\frac {\partial W_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}\Delta S}{\Delta S}}={\Bigl (}{\frac {\partial W_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}=({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{z}.

({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{x}={\Bigl (}{\frac {\partial W_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial W_{y}}{\partial z}}{\Bigr )}

({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{y}={\Bigl (}{\frac {\partial W_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial W_{z}}{\partial x}}{\Bigr )}

({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{z}={\Bigl (}{\frac {\partial W_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}

{\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\hat {x}}{\Bigl (}{\frac {\partial W_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial W_{y}}{\partial z}}{\Bigr )}+{\hat {y}}{\Bigl (}{\frac {\partial W_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial W_{z}}{\partial x}}{\Bigr )}+{\hat {z}}{\Bigl (}{\frac {\partial W_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial W_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}.

Očito u danoj fomuli možemo prepoznati simbolički zapisanu determinantu:

{\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}=\left|{\begin{array}{ccc}\displaystyle {\hat {x}}&\displaystyle {\hat {y}}&\displaystyle {\hat {z}}\\\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\\\displaystyle {W_{x}}&\displaystyle {W_{y}}&\displaystyle {W_{z}}\end{array}}\right|.

Nadalje, očito je

{\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\Bigl (}{\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\Bigr )}\times ({\hat {x}}W_{x}+{\hat {y}}W_{y}+{\hat {z}}W_{z})={\vec {\nabla }}\times {\overrightarrow {W}},

pa ${\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}$ često označavamo s ${\vec {\nabla }}\times {\overrightarrow {W}}$ , gdje je ${\vec {\nabla }}$ Hamiltonov operator.

Rotacija i Stokesov teorem

Za rotaciju vrijedi Stokesov teorem

\int \limits _{S}{\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {A}}=\int \limits _{C}{\overrightarrow {W}}\cdot d{\vec {S}}.

Izrazi za rotaciju u drugim koordinatnim sustavima

u cilindričnom:

|({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{\rho }|={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial W_{\varphi }}{\partial z}}

|({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{\varphi }|={\frac {\partial W_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial W_{z}}{\partial \rho }}

|({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{z}|={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho W_{\varphi })-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W_{\rho }}{\partial \varphi }}

{\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\biggl [}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial W_{\varphi }}{\partial z}}{\biggr ]}{\hat {\rho }}+{\biggl [}{\frac {\partial W_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial W_{z}}{\partial \rho }}{\biggr ]}{\hat {\varphi }}+{\biggl [}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho W_{\varphi })-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial W_{\rho }}{\partial \varphi }}{\biggr ]}{\hat {z}}

u sfernom:

|({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{r}|={\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(W_{\varphi }\sin \vartheta )-{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W_{\vartheta }}{\partial \varphi }}

|({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{\vartheta }|={\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\varphi })

|({\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}})_{\varphi }|={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\vartheta })-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial W_{r}}{\partial \vartheta }}

{\mbox{rot}}{\overrightarrow {W}}={\biggl [}{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(W_{\varphi }\sin \vartheta )-{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W_{\vartheta }}{\partial \varphi }}{\biggr ]}{\hat {r}}+{\biggl [}{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial W_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\varphi }){\biggr ]}{\hat {\vartheta }}+{\biggl [}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\vartheta })-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial W_{r}}{\partial \vartheta }}{\biggr ]}{\hat {\varphi }}.

Rotacija i algebarske operacije

Neka su dana vektorska polja ${\vec {u}}$ i ${\vec {v}}$ , skalar $U$ , skalarna funkcija $f(U)$ i radij-vektor ${\vec {r}}$ . Tada vrijedi:

${\textrm {rot}}({\vec {u}}+{\vec {v}})={\textrm {rot}}{\vec {u}}+{\textrm {rot}}{\vec {v}}$
${\textrm {rot}}(U\cdot {\vec {v}})=U\cdot {\textrm {rot}}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times {\mbox{grad}}U$
${\textrm {rot}}[f(U)\cdot {\vec {v}}]=f(U)\cdot {\textrm {rot}}{\vec {v}}-{\vec {v}}\times f_{U}^{'}(U){\textrm {grad}}U$
${\textrm {rot}}{\vec {r}}=0$
${\mbox{rot}}({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}{\mbox{div}}{\vec {v}}-{\vec {v}}{\mbox{div}}{\vec {u}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}$
${\mbox{grad}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {v}}\times {\mbox{rot}}{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\mbox{rot}}{\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}$
${\mbox{div}}({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {v}}{\mbox{rot}}{\vec {u}}-{\vec {u}}{\mbox{rot}}{\vec {v}}.$

Primjeri

Rotor elektrostaskog polja točkastog naboja, ${\overrightarrow {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}$ :

{\mbox{rot}}{\overrightarrow {E}}={\mbox{rot}}{\Bigl (}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}{\Bigr )}{\stackrel {(2.)}{=}}{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\mbox{rot}}{\vec {r}}-{\vec {r}}\times {\mbox{grad}}{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}=-{\frac {3q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{4}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {r}}=[{\vec {r}}\times {\vec {r}}=0]=0.

Rotor vektorskog polja obodne kružne brzine, ${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$ (v. sl.).

Shematski prikaz uz rotaciju polja obodne brzine

{\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\x&y&z\end{array}}\right|={\hat {x}}(z\omega _{y}-y\omega _{z})+{\hat {y}}(x\omega _{z}-z\omega _{x})+{\hat {z}}(y\omega _{x}-x\omega _{y});

{\mbox{rot}}{\vec {v}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\(z\omega _{y}-y\omega _{z})&(x\omega _{z}-z\omega _{x})&(y\omega _{x}-x\omega _{y})\end{array}}\right|=2\omega _{x}{\hat {x}}+2\omega _{y}{\hat {y}}+2\omega _{z}{\hat {z}}=2{\vec {\omega }}.

Odatle se lako mogu iščitati komponente kutne brzine:

\omega _{x}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}{\Bigr )}

\omega _{y}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}{\Bigr )}

\omega _{z}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}{\Bigr )}.

Na ovom primjeru primijetimo: vektor brzine ${\vec {v}}$ je polarni vektor, a vektor ${\mbox{rot}}{\vec {v}}$ je aksijalni vektor. Međutim, to vrijedi i općenito: rotor polarnog vektora je aksijalni vektor, a rotor aksijalnog vektora je polarni vektor.