Električna impedansa

Električna impedansa, ili jednostavno impedansa jeste mera otpora sinusoidalnoj električnoj struji. Koncept električne impedanse omogućava primenu omovog zakona u analizi električnih kola naizmenične struje. Za razliku od električnog otpora koji je intuitivno lakše shvatljiva manifestacija osobine materije da pruža otpor protoku električne struje (što ne zavisi od promenljivosti struje) i izražava se jednim brojem, impedansa električnog kola može imati pored ove realne vrednosti još i komponentu koja zavisi od frekvencije. Ova komponenta impedanse je druge prirode (nije u pitanju osobina materije već geometrija provodnika) u odnosu na otpor te se ne može sabirati sa prvom. Tako se radi jedinstvenog predstavljanja impedanse koristi kompleksan broj u kojem realni deo predstavlja otpor, često nazivan termogeni otpor jer je on uzrok grejanja provodnika, i imaginarni deo, koji se ponekad zove induktivni otpor mada nije pravi otpor a nije obavezno ni induktivan.

Ustaljena naizmenična struja

U opštem slučaju, vrednosti napona i struja u kolu koje se sastoji samo od linearnih komponenti, odnosno, otpornika, kondenzatora i kalemova, su rešenja linearne diferencijalne jednačine. Može se dokazati da ako su izvori napona i/ili struja u kolu sinusoidalni i konstantne frekvencije, rešenja imaju oblik koji se naziva ustaljena naizmenična struja. Stoga, svi naponi i struje u kolu su sinusoidalni i imaju konstantne amplitude, frekvencije i faze.

Neka je v(t) sinusoidalna funkcija vremena sa konstantnom amplitudom Um, konstantnom frekvencijom f, i konstantnom fazom φ.

$v(t)=U_{\mathrm {m} }\cos \left(2\pi ft+\phi \right)=\Re \left(U_{\mathrm {m} }e^{j2\pi ft}e^{j\phi }\right)$

gde j predstavlja imaginarni broj (${\sqrt {-1}}$) i $\Re (z)$ znači realni deo kompleksnog broja z.

Sada, neka je kompleksni broj U dat kao:

$U=U_{\mathrm {m} }e^{j\phi }\,$

U se naziva fazorskim predstavnikom u(t). U je konstantan kompleksni broj. Za kolo u ustaljenom naizmeničnom režimu, svi naponi i struje u kolu imaju fazorske predstavnike dokle god su svi izvori iste frekvencije. Odnosno, svaki napon i struja se mogu predstaviti kompleksnim brojem. Za analizu jednosmernih kola, svaki napon i struja su predstavnjeni konstantnim realnim brojem. Stoga, može se zaključiti da pravila koja važe u analizi kola jednosmerne struje mogu da se primene i na kola naizmenične struje korišćenjem kompleksnih brojeva umesto realnih.

Definicija električne impedanse

Impedansa nekog elementa kola se definiše kao količnik fazora napona na elementu i fazora struje koja teče kroz taj element:

$Z_{\mathrm {R} }={\frac {U_{\mathrm {r} }}{I_{\mathrm {r} }}}$

Treba primetiti da iako je Z količnik dva fazora, samo Z nije fazor. To je zato što Z nije asocirano sa nekom sinusoidalnom funkcijom vremena.

Za kola jednosmerne struje, otpornost je definisana Omovim zakonom kao količnik jednosmernog napona na otporniku i jednosmerne struje kroz otpornik:

$R={\frac {U_{\mathrm {R} }}{I_{\mathrm {R} }}}$

gde su $V_{\mathrm {R} }$ i $I_{\mathrm {R} }$ vrednosti (konstantne i realne) jednosmerne stuje.

Isto kao što se Omov zakon može primeniti na naizmenična kola upotrebom fazora, tako se mogu primeniti i druga pravila analize kola jednosmerne struje na kola naizmenične struje. Na primer, Tevenenova teorema, Nortonova teorema, Kirhofovi zakoni itd.

Električna impedansa jednaka je:

$z_{e}={\sqrt {r_{e}^{2}+x_{e}^{2}}}$ , $\phi =\arctan {\frac {x_{e}}{r_{e}}}$

gde je

$r_{e}=z_{e}\cos \phi \,$ realan deo kopleksne električne impedanse, nazvane efektivna električna impedansa, i

$x_{e}=z_{e}\sin \phi \,$ imaginaran deo kompleksne električne impedanse, nazvane reaktivna električna impedansa.

Impedanse raznih elemenata

Za otpornik:

$Z_{\mathrm {otpornik} }={\frac {U_{\mathrm {r} }}{I_{\mathrm {r} }}}$ $=R\,$

Za kondenzator:

$Z_{\mathrm {kondenzator} }={\frac {U_{\mathrm {c} }}{I_{\mathrm {c} }}}={\frac {1}{j\omega C}}.$

Za kalem:

$Z_{\mathrm {kalem} }=j\omega L\,$

Reaktansa

Termin reaktansa odnosi se na imaginarni deo impedanse. Par primera:

Impedansa otpornika je R (njegova otpornost) a njegova reaktansa je 0.

Impedansa kondenzatora je j (-1/ωC) a njegova reaktansa je -1/ωC.

Impedansa kalema je jωL a njegova reaktansa je ωL.

Važno je istaći da su impedanse kondenzatora i kalema funkcije frekvencije ω i da su one imaginarne vrednosti - iako je sigurno reč o realnoj fizičkoj pojavi u vezi sa razlikom u fazi između fazora napona i struje usled prisutnosi kapacitivnosti i induktivnosti. Ranije je pokazano da je impedansa otpornika realna, drugim rečima otpornik ne stvara razliku u fazi između napona i struje kao što to čine kondenzator i kalem.

Kada su otpornik, kondenzator i kalem vezani u kolu naizmenične struje, ekvivalentna impedansa se računa na isti način kao i ekvivalentna otpornost u kolim jednosmerne struje. Rezultujuća ekvivalentna impedansa je u opštem slučaju, kompleksna veličina. Odnosno, ekvivalentna impedansa ima realan i imaginaran deo. Realan deo se označava kao R a imaginaran deo kao X. Stoga:

$Z_{\mathrm {ekv} }=R_{\mathrm {ekv} }+jX_{\mathrm {ekv} }\,$

$R_{\mathrm {ekv} }$ se naziva rezistivni (otporni) deo impedanse dok se $X_{\mathrm {ekv} }$ naziva reaktivni deo impedanse. Stoga je uobičajeno da se kondenzator i kalem nazivaju reaktansa ili ekvivalntno, reaktivna komponenta (element kola). Dodatno, impedansa kondenzatora je negativna imaginarna vrednost dok je impedansa kalema pozitivna imaginarna vrednost. Stoga, kapacitivna reaktansa se odnosi na negativnu reaktansu, a induktivna reaktansa odnosi se na pozitivnu reaktansu.

Reaktivna komponenta se izdvaja po tome što su sinusoidalni napon i sinusoidalna struja fazno pomerene za π/2 u toj komponenti. Iz toga proizilazi da komponenta naizmenično akumulira energiju iz kola a zatim tu energiju vraća u kolo. Odnosno, za razaliku od odpornosti, reaktansa nema gubitke snage.

Korisno je odrediti vrednosti kapacitivne reaktanse za ekstremne vrednosti frekvencije. Ako frekvencija teži nuli, kapacitivna reaktansa teži beskonačnosti, tako da se kondenzator ponaša kao prekid u kolu za male vrednosti frekvencije sinusoidalnih izvora. Kada se frekvencija povećava, kapacitivna reaktansa se smanjuje. Tako da za veoma velike vrednosti frekvencije sinusoidalnih izvora, kapacitivnost se ponaša kao kratak spoj.

Suprotno, induktivna reaktansa teži nuli kada i frekvencija teži nuli, tako da se kalem ponaša kao kratak spoj za male vrednosti frekvencije sinusoidalnih izvora. Ako se frekvencija povećava, povećavaće se i induktivna reaktansa, tako da se kalem ponaša kao prekid u kolu za veoma velike frekvencije sinusoidalnih izvora.

Ekvivalentiranje impedansi

Ekvivalentiranje impedansi u rednoj, paralelnoj ili zvezda-trougao vezi, isto je kao i za otpornike u kolu jednosmerne struje. Razlika je u tome što se u slučaju impedansi, mora baratati kompleksnim brojevima.

Redna veza

Ekvivalentiranje impedansi u rednoj vezi je jednostavno:

$Z_{\mathrm {ekv} }=Z_{1}+Z_{2}=(R_{1}+R_{2})+j(X_{1}+X_{2})\!\$

Paralelna veza

Ekvivalentiranje impedansi u paralelnoj vezi je znatno teže nego ekvivalentiranje jednostavnih vrednosti kao što su otpornost ili kapacitet.

$Z_{\mathrm {ekv} }=Z_{1}\|Z_{2}={\frac {Z_{\mathrm {1} }Z_{\mathrm {2} }}{Z_{\mathrm {1} }+Z_{\mathrm {2} }}}\!\$

U racionalizovanom obliku, ekvivalentna rezistansa i reaktansa su:

$Z_{\mathrm {ekv} }=R_{\mathrm {ekv} }+jX_{\mathrm {ekv} }\!\$

$R_{\mathrm {ekv} }={(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2}) \over (R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}$

$X_{\mathrm {ekv} }={(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2}) \over (R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}$

Kola sa uopštenim (sinusoidalnim i nesinusoidalnim) izvorima

Pod uopštenim izvorom napona i struje smatra se onaj izvor čiji talasni oblik napona ili struje ne mora da bude obavezno sinusoidalnog oblika, ali je ipak i dalje periodičan, konstantne amplitude i konstantnog talasnog oblika. Dok se sa druge strane impedansa definiše uz pomoć sinusoidalnih funkcija vremena. Odnosno, impedansa je definisana kao količnik dva fazora, gde su fazori kompleksne amplitude sinusoidalne funkcije vremena. Za taj opšti slučaj periodičnih izvora pa čak i za aperiodične izvore, koncept impedanse se može koristiti. Može se pokazati da se svaka periodična funkcija vremena može predstaviti Furijeovim redom. Stoga, u opštem slučaju, periodični izvor napona se može predstaviti kao redna veza određenog (moguće beskonačnog) broja sinusoidalnih izvora napona. Isto tako, uopšteni periodični izvor struje se može posmatrati kao paralelna veza određenog (moguće beskonačnog) broja sinusoidalnih izvora struje.

Koristeći metod superpozicije, svaki izvor se uključuje jedan po jedan i naponi i struje u naizmeničnom kolu se nalaze koristeći impedanse izračunate za frekvenciju tog konkretnog izvora. Konačna rešenja za napone i struje u kolu se računaju kao sume rešenja nađenih za svaki izvor pojedinačno. Mada, važno je napomenuti da vrednosti napona i struja u kolu nemaju svoje fazorske predstavnike. Fazori se mogu sabirati samo kada predstavljaju vremenske funkcije iste frekvencije. Stoga, fazori napona i struja izračunatih za svaki izvor pojedinačno, moraju se konvertovati u vremenski domen pre nego što se međusobno saberu.

Ovaj metod se može primeniti i na aperiodične izvore gde se diskretne sume zamenjuju integralima. Odnosno, koristi se Furijeova transformacija umesto Furijeovih redova

Moduo i faza impedanse

Kompleksni brojevi se uobičajeno predstavljaju u dva različita oblika. U pravouglom koordinatnom sistemu je zbir realnog dela sa proizvodom j i imaginarnog dela:

$Z=R+jX\,$

Polarni oblik kompleksnog broja dobija kao proizvod modula kompleksnog broja i kompleksne faze. Ovo se može zapisati uz pomoć eksponenata, ili u fazorskoj notaciji:

$Z=\left|Z|e^{j\phi }=|Z\right|\angle \phi$

gde

$|Z|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}={\sqrt {ZZ^{*}}}$ jeste moduo Z (Z* predstavlja kompleksno konjugovano Z), i

$\phi =\arctan {\bigg (}{\frac {X}{R}}{\bigg )}$ jeste ugao.

Amplitudni fazor i efektivni fazor

Sinusoidalni napon i struja imaju i amplitudu i efektivnu vrednost. Može se dokazati da je efektivna vrednost sinusoidalnog napona ili struje data sa:

$V_{\mathrm {ef} }={\frac {U_{\mathrm {m} }}{\sqrt {2}}}$

$I_{\mathrm {ef} }={\frac {I_{\mathrm {m} }}{\sqrt {2}}}$

U mnogim slučajevima analize naizmenične struje, efektivna vrednost sinusoide je mnogo korisnija nego vrednost amplitude. Na primer, da bi se odredila količina rasipanja snage otpornika usled proticanja sinusoidalne struje, mora se znati efektivna vrednost te struje. Iz ovog razloga, fazori napona i struje se često određuju kao efektivni fazori. Odnosno, moduo fazora je efektivna vrednost date sinusoide a ne njena amplituda. U opštem slučaju, efektivni fazori se češće koriste u energetici, dok se amplitudni fazori češće koriste u elektronici.

U svakom slučaju, jasno je da je impedansa ista u oba slučaja, bez obzira da li se koriste efektivni ili amplitudni fazori, pošto se faktor skaliranja između amplitude i efektivne vrednosti poništava kada se računa količnik fazora.

Prilagođene impedanse

Kada se projektuju kola za prenos elektromagnetskih signala, važno je da se impedanse prilagode, što se postiže uz pomoć raznih uređaja za prilagođavanje. Prilagođenje impedanse je usaglašavanje odnosno izjednačavanje unutrašnje impedanse izvora signala sa impedansom potrošača. Neuspeh da se to postigne poznat je kao neprilagođenje impedanse i rezultuje gubitkom signala i refleksijama.

Na primer, konvencionalna antena za radio frekvencije za primanje televizijskog signala u Severnoj Americi je bila standardizovana na 300 oma, koristeći balansirani, neoklopljeni trakasti kabal odnosno parice. Pošto sistemi kablovske televizije koriste 75 omski nebalansirani, oklopljeni koaksijalni kabal, nije bilo moguće da se taj kabal uključi direktno u televizore čija je ipedansa prilagođena za 300 oma. Veći deo signala bi se reflektovao nazad u kabal i samo mali do signala bi dospeo u aparat. Danas su televizori standardizovani na ulaze od 75 oma.

Inverzne vrednosti

Recipročna vrednost idealne otpornosti se naziva provodnost ili konduktansa. Slično tome, recipročna vrednost impedanse naziva se admitansa. Konduktansa je realni deo admitanse, a imaginarni deo se naziva susceptansa. Konduktansa i susceptansa nisu recipročne vrednosti rezistanse i reaktanse u opštem slučaju, već samo recipročna vrednost impedanse koja je čisto rezistivna ili čisto reaktivna.

Analogne impedanse

Elektromagnetna impedansa

U problemima prostiranja elektromagnetnih talasa u homogenim sredinama, impedansa sredine se definiše kao:

$\eta ={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$

gde su μ i ε permeabilnost i permitivnost sredine, respektivno.

Akustična impedansa

U kompletnoj analogiji sa električnom impedansom, može se definisati i akustična impedansa, kompleksni broj koji opisuje kako materijal ili sredina apsorbuju zvuk upoređujući amplitudu i fazu primenjenog zvučnog pritiska sa amplitudom i fazom rezultujućeg zvučnog fluksa.

Primena na realne elemente

Treba primetiti da gornje relacije važe samo za teoretske, idealne, elemente. Stvarni otpornici, kondenzatori i kalemovi su mnogo složeniji i svaki može biti modelovan kao mreža teorijskih, idealnih, otpornika, kondenzatora i kalemova. Naznačene impedanse realnih elemenata su u stvarnosti tačne samo za uski opseg frekvencija, i tipično postaju manje tačne na višim frekvencijama. Čak i u naznačenom opsegu frekvencije, otpornost kalema može biti različita od nule. Iznad naznačene frekvencije, otpornosti postaju induktivne, a kondenzatori i kalemovi dobijaju sve više i rezistivnu komponentu. Zavisnost frekvencije i impedanse ne mora čak ni da bude linearne izvan naznačenog opsega frekvencije.

Vanjske veze

Električna impedansa na Wikimedijinoj ostavi

• Objašnjava impedansu

Izvori

[1] Pohl R. W., Electrizitâtslehre, Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1960.

[2] Popov V. P., The Principles of Theory of Circuits, – M.: Higher School, 1985, 496 p.

[3] Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.