Эксцентриситет

Запрос «Директриса (геометрия)» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Эллипс (e=½), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом $F$ и директрисой: $FP=e\cdot PP'$

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается $e$ или $\varepsilon$.

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку $F$ и прямую $L$ и зададим вещественное число $e>0$; тогда геометрическое место точек $P$, для которых отношение расстояний до точки $F$ и до прямой $L$ равно $e$, является коническим сечением; то есть, если $P'$ есть проекция $P$ на $L$, то

$FP=e\cdot PP'$.

Это число $e$ называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

• Точка $F$ называется фокусом конического сечения.

• Прямая $L$ называется директрисой.

Коническое сечение в полярных координатах

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:

$r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}$,

где $e$ — эксцентриситет, а $\ell$ — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.

Свойства

Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, составляющие одну поверхность третьего порядка (являясь её горизонтальными сечениями). Её верхняя часть («гиперболическая») «связана» с нижней частью («эллиптической») параболой с уравнением $z=1-x^{2}$, получающейся при сечении плоскостью y=0

• В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • при $e>1$ — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
  • при $e=1$ — парабола;
  • при $0\leq e<1$ — эллипс;
  • для окружности полагают $e=0$.

• Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра.
• Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой ($b$) и большой ($a$) полуосей:

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$.

• Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой ($b$) и действительной ($a$) полуосей:

$e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$.

• Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением $f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0$, равен ${\sqrt {2}}$.

• Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- ($r_{\mathrm {per} }$) и апоцентров ($r_{\mathrm {ap} }$):

$e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}$.

См. также

• Эксцентриситет орбиты
• Коническая константа

Литература

• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Ссылки

• «Эксцентриситет» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.