Критерий Лоусона

Критерий Лоусона: график.

В исследованиях по управляемому термоядерному синтезу критерий Лоусона позволяет оценить, будет ли термоядерный синтез в заданном реакторе источником энергии.

Другими словами, критерий Лоусона позволяет оценить баланс тепла в плазме во время реакции. Если количество энергии, выделившейся в результате термоядерной реакции, превысит количество затраченной энергии на ее поджиг и удержание — баланс тепла будет положительным.

Еще одна интерпретация критерия Лоусона — оценка минимальной частоты реакций синтеза в секунду, необходимую для устойчивого поддержания реакции в плазме.

Критерий впервые сформулирован в 1955 году британским физиком Дж. Д. Лоусоном в засекреченной работе. В 1957 году была опубликована открытая научная статья.

Вывод критерия Лоусона для термоядерной реакции D + T

Основной источник:

Например, рассмотрим реакцию ${}_{1}^{2}{\mbox{H}}+{}_{1}^{3}{\mbox{H}}\rightarrow {}_{2}^{4}{\mbox{He}}+{}_{0}^{1}{\mbox{n}}+17.6{\mbox{ MeV}}$. Здесь ядро дейтерия, дейтон D ( ${}_{1}^{2}{\mbox{H}}$ ) сталкивается с ядром трития тритоном T ( ${}_{1}^{3}{\mbox{H}}$ ). В результате реакции образуется ядро гелия ${}_{2}^{4}{\mbox{He}}$ и нейтрон ${}_{0}^{1}{\mbox{n}}$.

При этом энергия в количестве $E_{He}=3.5{\mbox{ MeV}}$ достается ядру гелия, а $E_{n}=14.1{\mbox{ MeV}}$ приходится на долю нейтрона. Если размер плазмы и ее плотность достаточно велики, ядро гелия за счет упругих соударений практически полностью передаст свою энергию другим частицам плазмы. Нейтрон гораздо легче, его заряд нейтрален, поэтому сечение реакции для него невелико. Плазма для него практически прозрачна, поэтому он покинет зону реакции, унеся энергию с собой.

Допустим, эта энергия выделилась на стенках бланкета реактора. Мы преобразовали полученное тепло в электроэнергию, и эту электроэнергию затрачиваем на подогрев плазмы. Коэффициент полезного действия такого каскада преобразований обозначим как $\eta$.

Таким образом, можно считать, что в плазму с каждого ядерного взаимодействия возвращается энергия $E=E_{He}+\eta E_{n}$.

Теперь попробуем оценить количества тепла, выделяющегося в реакторе, и сравнить его с потерями.

Количество выделяющегося тепла

Всего количество ядерных взаимодействий можно оценить так. В нагретом теле средняя кинетическая энергия частиц зависит от температуры тела $T$ как

${\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {3}{2}}kT$,

где $k=1.38\cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана,

$v$ — средняя скорость частицы,

$m$ — ее масса.

Можно считать, что распределение частиц по скоростям определяется распределением Максвелла. Не все частицы обладают одинаковой скоростью. Попадаются те, у которых скорость ниже средней, но есть и те, скорость которых выше.

Теперь представим себе дейтрон и тритон в виде шариков с радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно. Будем считать, что ядерная реакция произойдет, если одна частица столкнется с другой. Можно представить себе мишень в виде точки, а ударник в виде диска с радиусом $R=r_{1}+r_{2}$. Ударник (налетающее ядро) за одну секунду проходит путь $v$.

Скорость реакции в такой модели легко подсчитать: вдоль направления скорости налетающего ядра образуется объем $V=\pi R^{2}v$. Обозначив $\sigma =\pi R^{2}$, получаем $V=\sigma v$.

Просуммировав произведение $\sigma v$ по всем значениям скорости с учетом относительного числа частиц, обладающих такой скоростью, мы получим величину, обозначаемую как $<\sigma v>$ (сигма вэ в угловых скобках).

Естественно, скорость реакции равна произведению числа частиц $n$, находящихся в этом объеме, на величину объема. Например, плотность мишени равна $n_{1}$ ядер/м³, а плотность ударника $n_{2}$ ядер/м³. Тогда скорость реакции на 1 м³ составит

$S=n_{1}n_{2}<\sigma v>$ событий·с^-1·м^-3.

Для реакции D + T мы берем поровну каждого изотопа, то есть при концентрации $n$ атомов в 1 м³ число дейтонов составит $n/2$ и, естественно, равное ему число тритонов $n/2$. Каждый атом обладает одним электроном, таким образом, после ионизации мы получаем $2n$ частиц на один кубометр.

В одном кубическом метре будет происходить $<\sigma v>n^{2}/4$ столкновений дейтонов с тритонами, то есть тепловыделение составит

$(E_{He}+\eta E_{n})<\sigma v>n^{2}/4$.

Оценка потерь

Сколько нужно затратить энергии на нагрев плазмы? Для простоты считаем, что все частицы имеют одинаковую температуру $T$. Следовательно, на одну частицу приходится энергия ${\frac {3}{2}}kT$. Суммарная энергия всех частиц в 1 м³ тогда ${\frac {3}{2}}kT\cdot 2n=3kTn$.

Можно представить себе, что мы каким-то образом нагрели плазму и выключили нагреватели. Плазма начнет остывать и за каждую секунду терять ${\frac {3kTn}{\tau }}$. Здесь $\tau$ — время удержания плазмы, временна́я величина, характеризующая совершенство теплоизоляции реактора.

Баланс тепла

Теперь, когда мы оценили тепловыделение и потери, попробуем составить баланс энергии для реактора. Выделившаяся энергия должна быть никак не меньше потерянной: $(E_{He}+\eta E_{n})<\sigma v>n^{2}/4\geqslant {3kTn}/{\tau }$.

Отсюда находим условие успешной работы термоядерного реактора:

$n{\tau }\geqslant {\frac {12kT}{(E_{He}+\eta E_{n})<\sigma v>}}$

При выполнении критерия Лоусона энергия, выделяющаяся при управляемом термоядерном синтезе, превышает энергию, вводимую в систему.

Численные значения критерия для различных реакций

Критерий Лоусона $n\tau$, м^-3·с

D + T	D + D	D + 3He
$>2\cdot 10^{20}$	$>5\cdot 10^{22}$	$>7.5\cdot 10^{24}$

Практическое применение критерия Лоусона

Критерий Лоусона используется для оценки конструктивного совершенства термоядерных реакторов. Например, если реактор использует DT-топливо, то критерий для этой реакции равен $n{\tau }\geqslant 10^{20}$ м^-3·с.

Будем считать, что технические параметры магнитных систем реактора позволяют создать плазму с плотностью $n$=10¹⁷ м^-3. Тогда, для положительного баланса энергии, необходимое время удержания составит ${\frac {n\tau }{n}}\geqslant 10^{3}$c.

Если увеличить индукцию магнитного поля, то удастся создать плазму большей плотности. Допустим, мы подняли плотность плазмы на три порядка и $n$=10²⁰ м^-3. В этом случае необходимое время удержания снизится на три порядка, и окажется ${\tau }\geqslant 1$ c.

Литература

• J. D. Lawson. Some Criteria for a Power Producing Thermonuclear Reactor // Proceedings of the Physical Society. — 1957. — Vol. 70. — doi:10.1088/0370-1301/70/1/303.
• Г.С. Воронов Штурм термоядерной крепости. Библиотечка "Квант", 1985 г.

См. также

• Лоусона Критерий // Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Критерий Лоусона // Элементы, 2010