Notația Coxeter

sistem de clasificare și descriere al grupurilor de simetrie
Domeniile fundamentale ale grupurilor punctuale de reflexie tridimensională
, [ ]=[1]
C1v
, [2]
C2v
, [3]
C3v
, [4]
C4v
, [5]
C5v
, [6]
C6v

Ordin 2

Ordin 4

Ordin 6

Ordin 8

Ordin 10

Ordin 12

[2]=[2,1]
D1h

[2,2]
D2h

[2,3]
D3h

[2,4]
D4h

[2,5]
D5h

[2,6]
D6h

Ordin 4

Ordin 8

Ordin 12

Ordin 16

Ordin 20

Ordin 24
, [3,3], Td , [4,3], Oh , [5,3], Ih

Ordin 24

Ordin 48

Ordin 120
Notația Coxeter prezintă grupurile Coxeter ca o listă ordonată de ramuri ale unei diagrame Coxeter, cum ar fi grupurile poliedrice, = [p,q]. Grupurile diedrale, , pot fi exprimate printr-un produs [ ]×[n] sau printr-un singur simbol cu o ramură explicită de ordinul 2, [2,n].

În geometrie notația Coxeter (sau simbol Coxeter) este un sistem de clasificare al grupurilor de simetrie, care descrie unghiurile dintre reflexiile fundamentale ale unui grup Coxeter într-o notație între paranteze care exprimă structura unei diagrame Coxeter–Dynkin, cu modificatori pentru a indica anumite subgrupuri. Notația este numită după H.S.M. Coxeter și a fost definită mai cuprinzător de Norman Johnson.

Grupuri de reflexie

modificare

La grupurile Coxeter, definite prin reflexii pure, există o corespondență directă între notația cu paranteze și diagrama Coxeter–Dynkin. Numerele din notația cu paranteze drepte reprezintă ordinea reflexiilor în oglindă în ramurile diagramei Coxeter. Folosește aceeași simplificare, suprimând 2s între planele de oglindire ortogonale.

Notația Coxeter este simplificată prin exponenți care reprezentă numărul de ramuri într-un rând pentru diagrama liniară.Grupul An este reprezentat de [3n−1], pentru a descrie n noduri conectate prin n−1 ramuri de ordinul 3. Exemplul A2 = [3,3] = [32], respectiv [31,1] reprezintă diagramele      , respectiv    .

Inițial Coxeter a reprezentat diagramele bifurcate prin poziționarea verticală a numerelor, dar ulterior notația a fost abreviată la una cu exponenți, cum ar fi [...,3p,q] sau [3p,q,r], începând cu [31,1,1] sau [3,31,1] =      sau     pentru D4. Coxeter admite zerourile drept cazuri particulare pentru a se potrivi cu familia An, de exemplu A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], drept           =         =      .

Grupurile Coxeter formate din diagrame ciclice sunt reprezentate prin paranteze rotunde între parantezele drepte, cum ar fi [(p,q,r)] =   pentru grupul triunghiului⁠(d) (p q r). Dacă ordinele ramurilor sunt egale, ele pot fi grupate printr-un exponent între paranteze drepte, care indică lungimea ciclului, de exemplu [(3,3,3,3)] = [3[4]], reprezentând diagramele Coxeter       sau    .       poate fi reprezentată prin [3,(3,3,3)] sau [3,3[3]].

Diagramele în buclă mai complicate pot fi și ele exprimate, dar cu grijă. Grupul Coxeter paracompact       poate fi reprezentat prin notația Coxeter [(3,3,(3),3,3)], cu paranteze imbricate, având două bucle [(3,3,3)] adiacente și care poate fi reprezentat mai compact prin [3[ ]×[ ]], reprezentând simetria rombică a diagramei Coxeter. Graful complet al diagramei paracompacte   sau     este reprezentat ca [3[3,3]] cu exponentul [3,3] pentru simetria diagramei sale Coxeter a tetraedrului regulat.

De obicei în diagrama Coxeter ramurile de ordinul 2 nu sunt trasate, dar notația cu paranteze are un 2 explicit pentru a conecta subgrafurile. Deci diagrama Coxeter         = A2×A2 = 2A2 poate fi reprezentat prin [3]×[3] = [3]2 = [3,2,3]. Uneori ramurile explicite de ordinul 2 pot fi descrise fie cu o etichetă 2, fie cu o linie cu un interval:         sau          , ca o prezentare identică cu [3,2,3].

Grpuri finite
Rang Simbolul
grupului
Notația cu
paranteze
 Diagramă 
Coxeter
2 A2 [3]    
2 B2 [4]    
2 H2 [5]    
2 G2 [6]    
2 I2(p) [p]    
3 Ih, H3 [5,3]      
3 Td, A3 [3,3]      
3 Oh, B3 [4,3]      
4 A4 [3,3,3]        
4 B4 [4,3,3]        
4 D4 [31,1,1]      
4 F4 [3,4,3]        
4 H4 [5,3,3]        
n An [3n−1]     ..    
n Bn [4,3n−2]     ...    
n Dn [3n−3,1,1]     ...    
6 E6 [32,2,1]          
7 E7 [33,2,1]            
8 E8 [34,2,1]              
Grupuri afine
Simbolul
grupului
Notația cu
paranteze
   Diagramă   
Coxeter
  [∞]    
  [3[3]]    
  [4,4]      
  [6,3]      
  [3[4]]      
  [4,31,1]      
  [4,3,4]        
  [3[5]]      
  [4,3,31,1]        
  [4,3,3,4]          
  [ 31,1,1,1]      
  [3,4,3,3]          
  [3[n+1]]           ...    
sau     ...    
  [4,3n−3,31,1]       ...    
  [4,3n−2,4]       ...    
  [ 31,1,3n−4,31,1]       ...    
  [32,2,2]          
  [33,3,1]              
  [35,2,1]                
Grupuri hiperbolice
Simbolul
grupului
Notația cu
paranteze
Diagramă
Coxeter
[p,q]   cu
2(p + q) < pq
     
[(p,q,r)]   cu
 
 
  [4,3,5]        
  [5,3,5]        
  [3,5,3]        
  [5,31,1]      
  [(3,3,3,4)]      
  [(3,3,3,5)]      
  [(3,4,3,4)]      
  [(3,4,3,5)]      
  [(3,5,3,5)]      
  [3,3,3,5]          
  [4,3,3,5]          
  [5,3,3,5]          
  [5,3,31,1]        
  [(3,3,3,3,4)]       

Pentru grupurile afine și hiperbolice, indicele este cu unul mai mic decât numărul de noduri în fiecare caz, deoarece fiecare dintre aceste grupuri a fost obținut prin adăugarea unui nod la diagrama unui grup finit.

Există numeroase extensii ale notației Coxeter, folosite pentru subgrupuri.

Bibliografie

modificare
  • en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Paper 22) Coxeter, H.S.M. (), „Regular and Semi Regular Polytopes I”, Math. Z., 46: 380–407, doi:10.1007/bf01181449 
  • (Paper 23) Coxeter, H.S.M. (), „Regular and Semi-Regular Polytopes II”, Math. Z., 188 (4): 559–591, doi:10.1007/bf01161657 
  • (Paper 24) Coxeter, H.S.M. (), „Regular and Semi-Regular Polytopes III”, Math. Z., 200: 3–45, doi:10.1007/bf01161745 
  • en Coxeter, H.S.M.; Moser, W.O.J. (). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. 
  • en Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • en Norman Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)