Laplaciano

Em matemática e física, o laplaciano ou operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por $\Delta \,$  ou $\nabla ^{2}$, sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações diferenciais parciais que modelam problemas físicos, tais como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, e também fazendo parte das equações de Poisson para eletrostática e da equação de Schrödinger independente do tempo.

Definição do laplaciano escalar

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:

$\Delta \phi ={{\nabla }^{2}}\phi =\nabla \cdot \left(\nabla \phi \right)=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \phi \right)$

Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, assim, o Laplaciano é definido como:

$\Delta u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}$

Significado físico

Através de um desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto $r_{0}$, demonstra-se que o laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o valor médio de $\phi$ do campo no elemento de volume em torno do ponto e o valor $\phi _{0}$ do campo em $r_{0}$. Logo, é possível interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que governa o potencial eletrostático no vazio:

$\nabla ^{2}V=0$

Essa equação diz que o valor médio do potencial em torno de um ponto $P$ é igual ao valor do potencial no próprio ponto $P$.

Laplaciano escalar em R²

O caso particular em $\mathbf {R} ^{2}$, onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

$\Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$

Em coordenadas polares $\left(r,\phi \right)$, assume a forma:

$\Delta u={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial u \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial \phi ^{2}}$

Laplaciano escalar em R³

O caso particular em $\mathbf {R} ^{3}$, onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

$\Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}$

Em coordenadas esféricas $\left(r,\theta ,\phi \right)$, assume a forma:

$\Delta u={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial u \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial u \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}u \over \partial \phi ^{2}}$

Em coordenadas cilíndricas $\left(r,\phi ,z\right)$, assume a forma:

$\Delta u={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial u \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}$

Definição do laplaciano vetorial

Seja $\mathbf {A} :\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, o Laplaciano é denotado por $\Delta$ e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de $\mathbf {u} =\left(A_{1},\ldots ,A_{m}\right)$:

$\Delta \mathbf {A} =\left(\triangle A_{1},\ldots ,\triangle A_{m}\right)=\Delta \mathbf {A} =\left(\Delta {{A}_{x}}\right)\mathbf {i} +\left(\Delta {{A}_{y}}\right)\mathbf {j} +\left(\Delta {{A}_{z}}\right)\mathbf {k}$

Laplaciano vetorial em R³

Coordenadas cartesianas

Em $\mathbb {R} ^{3}$, vale a igualdade:

$\Delta \mathbf {A} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \nabla \times \mathbf {A}$

O (importante) caso particular em que $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$, vale:

$\Delta \mathbf {A} =-\nabla \times \nabla \times \mathbf {A}$

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas usual $r$, $\theta$, $z$, em $\mathbf {A}$:

${\begin{aligned}&\Delta \mathbf {A} =\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{r}^{2}}}}+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\theta }^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{z}^{2}}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial {{A}_{r}}}{\partial r}}-{\frac {2}{{r}^{2}}}{\frac {\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }}-{\frac {{A}_{r}}{{r}^{2}}}\right){{\mathbf {a} }_{r}}+\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{r}^{2}}}}+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\theta }^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{z}^{2}}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial {{A}_{\theta }}}{\partial r}}+{\frac {2}{{r}^{2}}}{\frac {\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }}-{\frac {{A}_{\theta }}{{r}^{2}}}\right){{\mathbf {a} }_{\theta }}+\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{r}^{2}}}}+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{\theta }^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{z}^{2}}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial {{A}_{z}}}{\partial r}}\right){{\mathbf {a} }_{z}}\\\end{aligned}}$

Coordenadas esféricas

O sistema de coordenadas esféricas usual $r$, $\theta$, $\phi$, em $\mathbf {A}$:

${\begin{aligned}&\Delta \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r}}{\frac {{{\partial }^{2}}(r{{A}_{r}})}{\partial {{r}^{2}}}}+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\theta }^{2}}}}+{\frac {1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\phi }^{2}}}}+{\frac {\cot \theta }{{r}^{2}}}{\frac {\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }}-{\frac {2}{{r}^{2}}}{\frac {\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }}-{\frac {2}{{{r}^{2}}\sin \theta }}{\frac {\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \phi }}-{\frac {2{{A}_{r}}}{{r}^{2}}}-{\frac {2\cot \theta }{{r}^{2}}}{{A}_{\theta }}\right){{\mathbf {a} }_{r}}+\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left({\frac {1}{r}}{\frac {{{\partial }^{2}}(r{{A}_{\theta }})}{\partial {{r}^{2}}}}+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\theta }^{2}}}}+{\frac {1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\phi }^{2}}}}+{\frac {\cot \theta }{{r}^{2}}}{\frac {\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }}-{\frac {2}{{r}^{2}}}{\frac {\cot \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \phi }}+{\frac {2}{{r}^{2}}}{\frac {\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }}-{\frac {{A}_{\theta }}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }}\right){{\mathbf {a} }_{\theta }}+\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left({\frac {1}{r}}{\frac {{{\partial }^{2}}(r{{A}_{\phi }})}{\partial {{r}^{2}}}}+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{\phi }}}{\partial {{\theta }^{2}}}}+{\frac {1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }}{\frac {{{\partial }^{2}}{{A}_{\phi }}}{\partial {{\phi }^{2}}}}+{\frac {\cot \theta }{{r}^{2}}}{\frac {\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \theta }}+{\frac {2}{{{r}^{2}}\sin \theta }}{\frac {\partial {{A}_{r}}}{\partial \phi }}+{\frac {2}{{r}^{2}}}{\frac {\cot \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \phi }}-{\frac {{A}_{\phi }}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }}\right){{\mathbf {a} }_{\phi }}\\\end{aligned}}$

Propriedades

O laplaciano tem as seguintes propriedades:

• ${\overrightarrow {\nabla }}^{2}\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)=\alpha {\overrightarrow {\nabla }}^{2}f(x)+\beta {\overrightarrow {\nabla }}^{2}g(x)$

• ${\overrightarrow {\nabla }}^{2}(fg)=({\overrightarrow {\nabla }}^{2}f)g+2({\overrightarrow {\nabla }}f)\cdot ({\overrightarrow {\nabla }}g)+f({\overrightarrow {\nabla }}^{2}g)$

• ${\overrightarrow {\nabla }}^{2}f(r)=2{\frac {f'(r)}{r}}+f''(r)$

Resultados importantes

Há os seguintes resultados importantes a respeito do laplaciano:

• O rotacional do gradiente de um campo escalar $V$ é nulo.

$\nabla \times (\nabla V)=0$

Um campo vetorial $\mathbf {V}$ cujo rotacional seja nulo pode ser associado a um campo escalar $\phi$. Um exemplo é o campo eletrostático $\mathbf {E}$ que se associa com o potencial eletrostático $V$, e, dessa forma, convenciona: $\mathbf {E} =-\nabla V$.

• A divergência do rotacional de um campo vetorial $A$ é nula.

$\nabla \cdot (\nabla \times A)=0$

Um campo vetorial $\mathbf {B}$ cuja divergência seja nula pode ser associado a um campo vetorial $\mathbf {A}$. Um exemplo é o campo magnetostático $\mathbf {B}$ que se associa com o potencial vetor $\mathbf {A}$, e, dessa forma, convenciona: $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$.

• Um campo vetorial numa região do espaço pode ser completamente especificado através de sua divergência e do seu rotacional, e de um conjunto adequado de condições de fronteira.

A condições de fronteira exigida é a especificação da componente normal no campo na fronteira da região.

Ver também

• Potencial newtoniano
• Gradiente
• Divergência
• Rotacional
• Cálculo vetorial

Ligações externas

• Roldao da Rocha Jr. E. Capelas de Oliveira e Jayme Vaz Jr.; O laplaciano: de Gauss a Beltrami até Hodge-de Rham (formato PostScript)