Espaço completo

Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.

Exemplos

• O conjuntos dos números reais $\mathbb {R}$ com a métrica usual $d(x,y)=|x-y|$ é completo.
• Qualquer subconjunto fechado de $\mathbb {R}$ é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completos

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, ${\bar {E}}\,$, com as seguintes propriedades:

• A inclusão i: E → ${\bar {E}}\,$, i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
• E é denso em ${\bar {E}}\,$.
• ${\bar {E}}\,$ é um espaço completo.

Pode-se mostrar que ${\bar {E}}\,$ é único, no seguinte sentido:

• Se ${\bar {E_{1}}}{\mbox{ e }}{\bar {E_{2}}}\,$ são espaços métricos completos, $i_{k}:E\rightarrow {\bar {E_{k}}}\,$ são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então ${\bar {E_{1}}}{\mbox{ e }}{\bar {E_{2}}}\,$ são isométricos.

Esboço da construção

A construção de ${\bar {E}}\,$ é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.