Espaço conexo

De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos **conexos**, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é **desconexo**. Para além disso, A e B são também **simplesmente conexos** (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia, conexidade ^{(português brasileiro)} ou conectividade ^{(português europeu)} é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.^[1]

Definição

Uma cisão de um conjunto é a decomposição $X=A\cup B$ em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que $A=X$ e $B=\emptyset$ . Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.^[1]

Equivalências

Os subconjuntos $\emptyset$ e $X$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de $X$ . Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então $X$ é conexo. Por outro lado, se existe $A$ não-vazio aberto e fechado em $X$ , então $X$ é desconexo.^[2]

Exemplos

$\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ são conexos, enquanto $\mathbb {N} ,$ $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.
Em $\mathbb {R}$ , os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.^[3]
$\mathbb {R} -\{0\}$ é desconexo pois possui a cisão não-trivial $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ .^[1]

Propriedades

A imagem de um conexo por uma aplicação contínua é um conexo.^[4]
Todo conjunto homeomorfo a um conexo é conexo.^[4]
A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.^[5]
O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.^[5]
O fecho de um conjunto conexo é conexo.^[6]

Componentes conexas

Mesmo que um conjunto $X$ não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.^[7]

A componente conexa $C_{x}$ é o maior subconjunto conexo que contém $x\in X$ .^[7] Para quaisquer dois pontos de $X$ , suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.^[7]

Por exemplo, para $\mathbb {R} -\{0\}$ , a componente conexa de $-1$ é $(-\infty ,0)$ e a componente conexa de $1$ é $(0,+\infty )$ . No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.^[7]

Propriedades

Toda componente conexa de $X$ é um conjunto fechado em $X$ .^[7]

Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.^[7] Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.^[7]

Conexo por caminhos

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.^[8]

Um caminho num conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de $X$ . Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho $f$ tal que esses pontos estejam na imagem de $f$ .^[9] Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.^[9]

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.^[10] Por exemplo, no $\mathbb {R} ^{2},$ o gráfico da função $f(x)={\mbox{sen}}{\frac {1}{x}}$ para $0<x\leq 1$ com a origem $(0,0)$ é conexo mas não é conexo por caminhos.^[10]

Propriedades

A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos.[carece de fontes]
A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.[carece de fontes]
Todo conjunto convexo é conexo por caminhos.^[11]
No $\mathbb {R} ^{n}$ , um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.^[12]

Ver também

Conexidade simples

Referências

↑ ^a ^b ^c Lima 1981, p. 54.
↑ Lima 1981, p. 55.
↑ Lima 1981, p. 55, Teorema 31.
↑ ^a ^b Lima 1981, p. 55, Teorema 30.
↑ ^a ^b Lima 1981, p. 57, Teorema 33.
↑ Lima 1981, p. 59, Teorema 35.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Lima 1981, p. 63.
↑ Lima 1981, p. 59.
↑ ^a ^b Lima 1981, pp. 59-60.
↑ ^a ^b Lima 1981, p. 61.
↑ Lima 1981, p. 60.
↑ Lima 1981, p. 61, Teorema 36.

Bibliografia

Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .

[FOOTNOTELima198154-1] Lima 1981, p. 54.

[FOOTNOTELima198155-2] Lima 1981, p. 55.

[FOOTNOTELima198155Teorema_31-3] Lima 1981, p. 55, Teorema 31.

[FOOTNOTELima198155Teorema_30-4] Lima 1981, p. 55, Teorema 30.

[FOOTNOTELima198157Teorema_33-5] Lima 1981, p. 57, Teorema 33.

[FOOTNOTELima198159Teorema_35-6] Lima 1981, p. 59, Teorema 35.

[FOOTNOTELima198163-7] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Lima 1981, p. 63.

[FOOTNOTELima198159-8] Lima 1981, p. 59.

[FOOTNOTELima198159-60-9] Lima 1981, pp. 59-60.

[FOOTNOTELima198161-10] Lima 1981, p. 61.

[FOOTNOTELima198160-11] Lima 1981, p. 60.

[FOOTNOTELima198161Teorema_36-12] Lima 1981, p. 61, Teorema 36.

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