Estrutura algébrica

Em álgebra abstracta, uma estrutura algébrica consiste num conjunto associado a uma ou mais operações sobre o conjunto que satisfazem certos axiomas. Caso não existam ambiguidades, geralmente identifica-se o conjunto com a estrutura algébrica. Por exemplo, um grupo (G,*) refere-se geralmente apenas como grupo G.

Algumas estruturas algébricas são definidas com mais de um conjunto, por exemplo, um espaço vectorial tem dois conjuntos, um conjunto de vectores e outro de escalares.

Dependendo das operações e axiomas, assim as estruturas algébricas ganham os seus nomes.

O que se segue é uma lista parcial de estruturas algébricas:

• Grupóide: um conjunto com uma única operação binária
• Quase-grupo: um grupóide no qual a divisão é sempre possível
• Laço¹: um quase-grupo com um elemento neutro
• Semi-grupo: um grupóide associativo
• Monóide: um semigrupo com um elemento neutro
• Grupo: um monóide, no qual cada elemento tem um inverso ou, o que é equivalente, um laço¹ associativo
• Grupo abeliano: um grupo que obedece a comutatividade
• Anel: um conjunto com uma operação de grupo abeliano definida como adição, junto com uma operação de semigrupo como a multiplicação, que satisfaça a distributividade
• Corpo²: um anel no qual os elementos não-zero formam um grupo abeliano sob multiplicação
• Reticulado: um conjunto com duas operações comutativas, associativas e idempotentes, que satisfazem a lei de absorção
• Álgebra booleana: um reticulado limitado, distributivo e complementado

Nas estruturas seguintes, temos dois conjuntos, um deles (em princípio mais simples, chamado de conjunto de escalares) e outro mais complicado. Além das operações internas de cada conjunto, podemos ter operações conectando os dois conjuntos:

• Módulo: M é um módulo sobre um anel A quando M é um grupo abeliano, e temos uma função de A x M em M, definida como multiplicação escalar, com regras que se parecem formalmente com a distributividade e a associatividade
• Espaço vectorial: um módulo sobre um corpo. Se V é um espaço vectorial sobre um corpo F, chamamos os elementos de V de vectores e os elementos de F de escalares
• Álgebra: um módulo ou espaço vectorial, junto com uma operação bilinear entre vectores definida como multiplicação
• Álgebra associativa: uma álgebra cuja multiplicação é associativa
• Álgebra comutativa: uma álgebra associativa cuja multiplicação é comutativa
• Álgebra de Kleene: duas operações binárias e um operador unitário, modelados em expressões regulares
• Conjunto: embora alguns matemáticos discordem, um conjunto pode ser considerado uma estrutura algébrica degenerada, com zero operações definidas sobre ela

As proposições que se aplicam colectivamente a todas as estruturas algébricas são investigadas no ramo da matemática conhecido como álgebra universal.

As estruturas algébricas também podem ser definidas em conjuntos com estruturas não-algébricas adicionais, como os espaços topológicos. Por exemplo, um grupo topológico é um espaço topológico com uma estrutura de grupo tal que as operações de multiplicação e inversão são contínuas; um grupo topológico possui quer uma estrutura topológica, quer uma estrutura algébrica. Outros exemplos comuns são espaços vectoriais topológicos e grupos de Lie.

Cada estrutura algébrica tem a sua própria noção de homomorfismo, uma função que é compatível com a operação ou as operações dadas. Desta forma, cada estrutura algébrica define uma categoria. Por exemplo, a categoria dos grupos tem como objectos todos os grupos e como morfismos todos os homomorfismos desses grupos. Esta categoria, uma vez que é uma categoria concreta, pode ser vista como uma categoria de conjuntos com estrutura extra, no sentido teórico das categorias. Analogamente, a categoria dos grupos topológicos (com os homomorfismos contínuos de grupo como morfismos) é uma categoria de espaços topológicos com estrutura extra.

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Notas:

1. Terminologia duvidosa. Em inglês, recebe o nome de loop.
2. Em inglês, recebe o nome de field.