Mostrar código-fonte de Estrutura algébrica

{{revisão-sobre|matemática|data=maio de 2009}}<!--NOTAS: #Terminologia duvidosa. Em inglês, recebe o nome de ''loop''. #Em inglês, recebe o nome de ''field''.-->
{{Estruturas algébricas}}
Em [[álgebra abstracta]], uma '''estrutura algébrica''' consiste num [[conjunto]] associado a uma ou mais [[Operação (matemática)|operações]] sobre o conjunto que satisfazem certos [[axioma]]s.<ref name="ksu">[http://www.math.ksu.edu/~bennett/gc/824.html Introduction to Algebraic Structures], ''site'' do Department of Mathematics da [[Kansas State University]]</ref> Caso não existam ambiguidades, geralmente identifica-se o conjunto com a estrutura algébrica. Por exemplo, um [[grupo (matemática)|grupo]] (''G'',*) refere-se geralmente apenas como grupo ''G''.

Em algumas estruturas algébricas aléuuum do conjunto principal existe mais um conjunto, denominado conjunto de escalares. Neste caso a estrutura terá dois tipos de operações: operações internas, que operam os objetos principais entre si e operações externas, que representam ações dos escalares sobre elementos do conjunto principal. Por exemplo, um [[espaço vetorial|espaço vectorial]] tem dois conjuntos, um conjunto de vectores e outro de escalares. Assim, se v1 e v2 são dois vetores e k é um escalar v1 * v2 seria o produto (interno) de vetores e k * v1 seria o produto (externo) de um escalar por um vetor.

O conceito de '''estrutura algébrica''' pode ser considerado sinônimo de [[Álgebra]] e [[Álgebra universal]].

== Notação ==
É comum representar uma estrutura algébrica por uma ''n-upla'' do tipo ''(G,F,+,-,f,<,1)''. Nesta notação, são enumerados os conjuntos que fazem parte da estrutura, seguido de constantes, funções e relações.

== Exemplos ==
Dependendo das operações e axiomas, as estruturas algébricas ganham os seus nomes específicos.

O que se segue é uma lista parcial de estruturas algébricas:

*[[Grupoide (teoria das categorias)|Grupoide]]: um conjunto com uma única [[operação binária]]
*[[Quasegrupo]]: um grupoide no qual a [[divisão]] é sempre possível
*[[Laço (álgebra)|Laço]]<sup>1</sup>: um quase-grupo com um [[elemento neutro]]
*[[Semi-grupo|Semigrupo]]: um grupoide [[associativo]]
*[[Monoide]]: um semigrupo com um elemento neutro
*[[Grupo (matemática)|Grupo]]: um monoide, no qual cada elemento tem um [[elemento inverso|inverso]] ou, o que é equivalente, um laço<sup>1</sup> [[associativo]]
*[[Grupo abeliano]]: um grupo que obedece a [[comutatividade]]
*[[Anel (álgebra)|Anel]]: um conjunto com uma operação de grupo abeliano definida como adição, junto com uma operação de semigrupo como a multiplicação, que satisfaça a [[distributividade]]
*[[Corpo (matemática)|Corpo]]<sup>2</sup>: um anel no qual os elementos não-zero formam um grupo abeliano sob multiplicação
*[[Reticulado]]: um conjunto com duas operações comutativas, associativas e [[idempotente]]s, que satisfazem a [[lei de absorção]]
*[[Álgebra booleana]]: um reticulado [[reticulado limitado|limitado]], [[reticulado distributivo|distributivo]] e [[reticulado complementado|complementado]]

Nas estruturas seguintes, temos dois conjuntos, um deles (auxiliar), chamado de ''conjunto de escalares'' e outro, o conjunto principal. Além das operações internas sobre o conjunto principal, podemos ter operações conectando os dois conjuntos:

*[[Módulo (álgebra)|Módulo]]: ''M'' é um módulo sobre um anel ''A'' quando ''M'' é um grupo abeliano, e temos uma função de A x M em M, definida como multiplicação escalar, com regras que se parecem formalmente com a distributividade e a associatividade
*[[Espaço vetorial|Espaço vectorial]]: um módulo sobre um corpo. Se ''V'' é um espaço vectorial sobre um corpo ''F'', chamamos os elementos de ''V'' de vectores e os elementos de ''F'' de escalares
*[[Álgebra sobre um corpo|Álgebra]]: um módulo ou espaço vectorial, junto com uma operação [[operador bilinear|bilinear]] entre vectores definida como multiplicação
*[[Álgebra associativa]]: uma álgebra cuja multiplicação é associativa
*[[Álgebra comutativa]]: uma álgebra associativa cuja multiplicação é comutativa
*[[Álgebra de Kleene]]: duas operações binárias e um operador unitário, modelados em [[expressão regular|expressões regulares]]
*[[Conjunto]]: embora alguns matemáticos discordem, um conjunto pode ser considerado uma estrutura algébrica degenerada, com zero operações definidas sobre ela

As proposições que se aplicam colectivamente a todas as estruturas algébricas são investigadas no ramo da matemática conhecido como [[álgebra universal]].

As estruturas algébricas também podem ser definidas em conjuntos com estruturas não-algébricas adicionais, como os [[espaço topológico|espaços topológicos]]. Por exemplo, um [[grupo topológico]] é um espaço topológico com uma estrutura de grupo tal que as operações de multiplicação e inversão são [[função contínua|contínuas]]; um grupo topológico possui quer uma estrutura topológica, quer uma estrutura algébrica. Outros exemplos comuns são [[espaço vectorial topológico|espaços vectoriais topológicos]] e [[grupo de Lie|grupos de Lie]].

Cada estrutura algébrica tem a sua própria noção de [[homomorfismo]], uma [[função (matemática)|função]] que é compatível com a operação ou as operações dadas. Desta forma, cada estrutura algébrica define uma [[teoria das categorias|categoria]]. Por exemplo, a categoria dos grupos tem como objectos todos os grupos e como morfismos todos os homomorfismos desses grupos. Esta categoria, uma vez que é uma [[categoria concreta]], pode ser vista como uma categoria de conjuntos com [[estrutura (teoria de categorias)|estrutura]] extra, no sentido teórico das categorias. Analogamente, a categoria dos grupos topológicos (com os homomorfismos contínuos de grupo como morfismos) é uma categoria de espaços topológicos com estrutura extra.

Além das estruturas algébricas, existem mais duas estruturas fundamentais na [[matemática]]. São elas:
*'''Estruturas de ordem''', em que ao conjunto principal é associado uma [[relação (matemática)|relação]] de ordem. Por exemplo, um [[reticulado]] é um conjunto parcialmente ordenado em que para quaisquer dois elementos a,b existe um [[Supremo e ínfimo|supremo]] sup(a,b) e um [[Supremo e ínfimo|ínfimo]] inf(a,b).
*'''Estruturas topológicas''' em que o foco está no [[conjunto das partes]] P(C) de um conjunto C.

A partir destas três estruturas podem ser definidas estruturas mistas, quando para um conjunto são considerados operações, relações e partes de forma combinada. Por exemplo, um [[grupo topológico]] é um espaço topológico com uma estrutura de grupo tal que as operações de multiplicação e inversão são [[função contínua|contínuas]]; um grupo topológico possui quer uma estrutura topológica, quer uma estrutura algébrica. Outros exemplos comuns são [[espaço vectorial topológico|espaços vectoriais topológicos]] e [[grupo de Lie|grupos de Lie]].

== Classificação dos grupos ==
*'''[[Semigrupo]]'''
**'''[[Monóide|Monoide]]'''
::*'''[[Grupo (matemática)|Grupo]]'''
:::*'''[[Grupo solúvel]]'''
::::*'''[[Grupos nilpotentes]]'''
:::::*'''[[Grupo abeliano]]''' ('''grupo comutativo''')
::::::*'''[[Grupo cíclico]]'''

== Classificação dos anéis ==
*'''[[Anel (álgebra)|Anel]]'''
**'''[[Anel comutativo]]'''
::*'''[[Domínio de integridade]]''' ('''anel de integridade''')
:::*'''[[Domínio de fatoração única]]''' ('''anel fatorial''')
::::*'''[[Domínio principal]]'''
:::::*'''[[Domínio euclidiano]]'''
::::::*'''[[Corpo (matemática)|Corpo]]'''

== Classificação dos módulos ==
*'''[[Módulo (álgebra)|Módulo]]'''
**'''[[Módulo finitamente gerado]]'''
::*'''[[Módulo cíclico]]'''
:*'''[[Álgebra sobre um anel]]'''
:*'''[[Espaço vetorial]]'''
::*'''[[Álgebra sobre um corpo]]'''

{{Referências}}
{{Álgebra}}
{{Portal3|Matemática}}
{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Álgebra abstrata]]
[[Categoria:Estruturas algébricas|*]]