Movimento uniformemente variado

Movimento uniformemente variado é o movimento no qual a velocidade escalar varia uniformemente no decorrer do tempo. O movimento caracteriza-se por haver uma aceleração escalar constante e diferente de 0.

Função horária da velocidade

A equação da velocidade em função do tempo é:

$v=v_{0}+\alpha t$

onde:

$v$ (ou $v(t)$)momento $t$;
$v_{0}$ é a velocidade inicial. Caso o instante inicial seja $t=0$, teremos $v_{0}=v(0)$;
$\alpha$ é a aceleração; e
$t$ é o tempo decorrido desde o início do movimento.

Como a aceleração escalar é a mesma em todos os instantes, ela coincide com a aceleração escalar média, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado.

Então escrevemos:

$\alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}\Rightarrow \alpha ={\frac {v-v_{0}}{t-0}}\Rightarrow v=v_{0}+\alpha t$

Essa função estabelece como varia a velocidade escalar no percorrer do tempo no movimento uniformemente variado:$v_{0}$ e $\alpha$ são constantes, e a cada valor de $t$ corresponde um único valor de $v$

Na tabela a seguir vemos alguns exemplos, considerando a velocidade $v$ em metros por segundo (m/s) e a aceleração $\alpha$ em metros por segundo ao quadrado.

$v=v_{0}+\alpha _{t}$	$v_{0}$	$\alpha$
v = 5 + 2t	$v_{0}$ = +5 m/s	$\alpha$ = +2 m/s²
v = -3 + 8t	$v_{0}$ = -3 m/s	$\alpha$ = +8 m/s²
v = 2 + 3t	$v_{0}$ = 2 m/s	$\alpha$ = +3 m/s²
v = 2 - 3t	$v_{0}$ = +2 m/s	$\alpha$ = -3 m/s²
v = -4 - 9t	$v_{0}$ = -4 m/s	$\alpha$ = -9 m/s²

Função horária do espaço

A equação que fornece a posição do móvel em qualquer instante t é:

$s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}$

A fórmula acima é obtida integrando-se a função horária da velocidade:

$\Delta s=\int v(t)dt=\int (v_{0}+\alpha t)dt\Rightarrow s-s_{0}=v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}\Rightarrow s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}$

onde $s$ é a posição (distância) atual do corpo (o s vem do latim spatio, mas também é utilizada o d, por indicar distância), $s_{0}$ é a posição da qual ele começou o movimento, $v_{0}$ é a velocidade inicial do corpo, $a$ é a aceleração e $t$ é o tempo decorrido desde o início do movimento. Na função horária do MUV, o coeficiente de $t^{2}$ é ${\frac {\alpha }{2}}$.

Assim , se a função for do tipo: $s=5+2t+4t^{2}$ (s em metros e t em segundos) , observaremos que:

$4={\frac {\alpha }{2}}\Rightarrow \alpha =2\cdot 4\Rightarrow \alpha =8\,{\text{ m/s²}}$

Portanto , para se ter a aceleração escalar $\alpha$ basta multiplicarmos o coeficiente de $t^{2}$ por 2. Obtemos assim:

Movimento Uniformemente Variado
$s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}$      $v=v_{0}+\alpha t$       $\alpha =constante\neq 0$

Essas funções têm o papel de definir o MUV em qualquer trajetória. No entanto apenas o conhecimento dessas, não permite nenhuma conclusão sobre a forma da trajetória.

Da função horária após identificarmos $s_{0}$, $v_{0}$ e $\alpha$ , podemos chegar à função horária da velocidade escalar, como vemos no exemplo:

$s={\underset {\Bigg \downarrow }{s_{0}}}+{\underset {\Bigg \downarrow }{v_{0}t}}+{\underset {\Bigg \downarrow }{\frac {\alpha }{2}}}t^{2}{\xrightarrow[{\text{ligando-se à função horária de v}}]{v}}v=v_{0}+\alpha t$

$\underbrace {s=5-2t\ +{\frac {3}{2}}t^{2}} _{Fs}$ $\Rightarrow$ $Temos:s_{0}=5m;\ v_{0}=-2m/s;\ \alpha =3m/s^{2}\Rightarrow \underbrace {v=-2+3t} _{Fv}$

Perceba que da função horária dos espaços (Fs) chega-se à função horária da velocidade , representada por (Fv).

Equação de Torricelli no MUV

No MUV há muitos casos em que podemos relacionar a velocidade escalar v em função do espaço s o que é feito com o emprego da equação de Torricelli que mostra-se a seguir:

$v^{2}=v_{0}^{2}+2\alpha tv_{0}+\alpha ^{2}t^{2}\quad \Rightarrow \quad v^{2}=v_{0}^{2}+2\alpha {\Bigg (}v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}{\Bigg )}$

Comparando com a função horária ...

$s-s_{0}=v_{0}t+{\frac {\alpha }{2}}t^{2}\quad ,temos:v^{2}=v_{0}^{2}+2\alpha (s-s_{0})$

ou ainda:

$v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\,$ equação de Torricelli para o MUV

onde $v$ é a velocidade atual, $v_{0}$ é a velocidade inicial, $a$ é a aceleração e $\Delta s$ é a variação de posição durante o movimento.Sabendo-se que as variações são iguais a zero (...) Nessa fórmula, a velocidade escalar varia em função do espaço; $v_{0}$ é a velocidade inicial, e $\alpha$ é a aceleração escalar do movimento, podendo ser positiva ou negativa de acordo com as convenções adotadas.

Velocidade média

A velocidade média no MUV é dada pela média aritmética entre a velocidade final e inicial:

${\overline {v}}={\frac {\Delta S}{\Delta t}}={\frac {v_{0}+v_{f}}{2}}=v_{0}+{\frac {at}{2}}\,$

Gráficos do MUV

Gráfico da velocidade em função do tempo

No movimento uniformemente variado podemos perceber três funções distintas:

1. Aceleração em função do tempo - Como a aceleração nesse movimento é constante e diferente de zero, então apresenta-se uma função constante. Logo o gráfico apresenta-se como uma reta paralela ao eixo das abscissas.
2. Velocidade em função do tempo - A função da velocidade em função do tempo é uma função de primeiro grau. Logo apresenta-se como uma linha reta que concorre com o eixo das abscissas.
3. Deslocamento em função do tempo - O deslocamento em função do tempo é uma função de segundo grau. Logo ela se apresenta como uma parábola.