Intervalo (matemática)

Em Matemática, um intervalo (real) é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter os próprios extremos. Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1 (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0 e 1, bem como todos os números reais entre eles. Outros exemplos de intervalos são o conjunto dos números reais e o conjunto dos números reais negativos.

Representação geométrica de um exemplo de intervalo. Neste caso, tem-se que , pois a reta real é orientada para a direita e, portanto, cresce nesse sentido. As "bolinhas vazias" nos extremos e indicam que esses números não pertencem ao intervalo. Logo, qualquer número real menor ou igual a não pertence a esse intervalo, assim como qualquer número real maior ou igual a .[1]

Os extremos podem ser números reais como também podem ser e . Existem divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo.[2] Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção.[2]

Representação

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Notações comuns para representar intervalos são:[3][4]

  •  : intervalo aberto
  •  : intervalo semi-fechado ou semi-aberto
  •  : intervalo semi-aberto ou semi-fechado
  •  : intervalo fechado
  •  : intervalo fechado
  •  : intervalo aberto
  •  : intervalo fechado
  •  : intervalo aberto
  •  : a reta toda é um intervalo aberto e fechado
  •  : conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.

O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado.[2][4]

Explicação

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  • ] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
  • [ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
  • ] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
  • [ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
  • ° → bolinha vazada significa que esse número está excluído.
  • • → bolinha preenchida significa que ele está incluído.

Referências

  1. Souza, Joamir Roberto de (2013). «1». Matemática. Col: Novo Olhar. 1 2 ed. São Paulo: FTD. p. 39;41. 320 páginas. ISBN 978-85-322-8520-1 
  2. a b c Jaulin, Luc (2001). Applied Interval Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 1852332190 
  3. Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H. (1964). Counterexamples in Analysis (em inglês). [S.l.]: Dover Publications, Inc. 
  4. a b Lages, Elon Lima (2012). Análise real volume 1 funções de uma variável 11 ed. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 9788524400483 

Ligações externas

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