Gravidade quântica canônica

Em física, a gravidade quântica canônica, gravidade canônica ou relatividade quântica canônica é uma tentativa de quantizar a formulacão canônica da relatividade geral. É uma formulação hamiltoniana da Teoria Geral da Relatividade de Einstein.

A teoria básica foi descrita por Bryce DeWitt em um articulo formal em 1967, baseando-se em um trabalho prévio de Peter G. Bergmann, usando as chamadas técnicas de quantização canônica para sistemas hamiltonianos limitados inventadas por P. A. M. Dirac. O enfoque de Dirac permite a quantização de sistemas que incluem simetrias de gauge usando técnicas hamiltonianas em uma eleição de gauge fixa. Novos enfoques, baseados em parte no trabalho de DeWitt e Dirac, incluem o estado de Hartle-Hawking, o cálculo de Regge, a equação de Wheeler-DeWitt e a gravidade quântica em loop.

A quantização se baseia na decomposição do tensor métrico tal como segue,

$g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}dx^{k}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}$

onde a soma dos índices repetidos é implícita, o índice 0 indica tempo $\tau =x^{0}$, os índices gregos tomam todos los valores 0,...,3 e os índices latinos tomam os valores especiais 1,...3. A função $N$ se chama a função lapso e as funções $\beta _{k}$ se chamam funções shift. Os índices espaciais aumentam e decrescem usando a métrica espacial $\gamma _{ij}$ e sua inversa $\gamma ^{ij}$: $\gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}$ e $\beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}$, $\gamma =\det \gamma _{ij}$, onde $\delta$ é o delta de Kronecker. Com esta decomposição, a lagrangiana de Einstein-Hilbert se converte em derivadas totais,

$L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)$

onde ${}^{(3)}R$ é a curvatura escalar espacial calculada com respeito à métrica de Riemann $\gamma _{ij}$ e $K_{ij}$ é a curvatura extrínseca,

$K_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial \tau }}\right),$

onde $\nabla _{i}$ dá uma diferenciação covariante com respeito à métrica $\gamma _{ij}$. DeWitt descreve que a lagrangiana "tem a forma clássica de 'energia cinética menos energia potencial', com a curvatura extrínseca desempenhando o papel da energia cinética e o oposto da curvatura intrínseca, o da energia potencial." Ainda que esta forma da lagrangiana é manifestamente invariante se redefinem-se a coordenadas espaciais, fazendo opaca a covariância geral.

Como as funções lapso e shift podem ser eliminadas por uma transformação de gauge, não representam graus físicos de liberdade. Isto se indica movendo-nos ao formalismo hamiltoniano pelo fato de seus momentos conjugados, respectivamente, $\pi$ e $\pi ^{i}$, desaparecem de forma idêntica (on shell e off shell). Isto é o que Dirac chama limitações primárias. Uma eleição popular de gauge chamada gauge síncrono, é $N=1$ e $\beta _{i}=0$, ainda que, em princípio, pode ser eleita qualquer função das coordenadas. Neste caso, o hamiltoniano toma a forma

$H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},$

onde

${\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jk}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R$

e $\pi ^{ij}$ é o momento de conjugar a $\gamma _{ij}$. As equações de Einstein podem ser recuperadas tomando colchetes de Poisson com o hamiltoniano. Limitações on-shell adicionais, chamadas limitações secundárias por Dirac, surgem da consistência da álgebra de Poisson. São ${\mathcal {H}}=0$ e $\nabla _{j}\pi ^{ij}=0$. Esta é a teoria que está sendo quantizada em aproximações à gravidade quântica canônica.