As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:
Cada coeficiente e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.
Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:
Onde é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:
Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.
As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:
Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
Dividindo ambos os membros por obtém-se uma equação da forma
(0.3)
Na equação (0.3) supõe-se que e são contínuas num certo intervalo onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.
Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante Multiplicando ambos os membros da equação por obtém-se a seguinte equação equivalente:
(0.4)
Deve-se notar que, como gera uma expressão da forma pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).
Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por
(0.5)
Com efeito, (0.4) é equivalente a
(0.6)
(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função nas condições de (0.5), i.e., tal que
(0.7)
é solução da equação diferencial (0.3). (Derive ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua e em (0.3)).
Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus são funções constantes. Por exemplo:
A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.
É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:
Equação diferencial com funções constantes nos termos e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.
Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira[2]:
↑Sauter, Esequia; Azevedo, Fábio (2015). Transformada de Laplace. [S.l.: s.n.]
↑Boyce, William E; Brannan, James R (2010). Differential Equations. An Introduction to Modern Methods and Applications. [S.l.: s.n.] ISBN978-0-470-45824-2