Curva elíptica

Classe de curvas planas

Em matemática, as curvas elípticas se definem mediante equações cúbicas (de terceiro grau). Têm sido usadas para provar o último teorema de Fermat e se empregam também em criptografia (para mais detalhes pode-se ver o artigo sobre criptografia de curvas elípticas) e em fatoração de inteiros. Estas curvas não são elipses: pode ser visto também o verbete sobre integral elíptica para aprender algo sobre a origem do termo.

As curvas elípticas são "regulares", ou pode-se dizer "não-singulares", o que significa que não têm "cúspides" nem auto-intersecções, e se pode definir uma operação binária para o conjunto de seus pontos de uma maneira geométrica natural, o que faz deste conjunto um grupo abeliano.

As curvas elípticas sobre o corpo dos números reais vêm a ser dadas pelas equações e por .

As curvas elípticas podem definir-se sobre qualquer corpo ; a definição formal de uma curva elíptica é a de uma curva algébrica projetiva não singular sobre de gênero 1. Se a característica de não é nem 2 nem 3, então toda curva elíptica sobre pode escrever-se na forma: , onde e são elementos de tais que o polinômio do membro direito não tenha nenhuma raiz dupla. Se a característica é 2 ou 3 farão falta mais termos.

Sendo assim, vale salientar que há uma forma geral para expressar a equação de uma curva elíptica, a qual é válida para qualquer corpo. Essa forma é conhecida como Equação de Weierstrass e é dada por:

Definição

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Normalmente se define a curva como o conjunto de todos os pontos   que satisfazem a equação acima e tais que   e   sejam elementos do fecho algébrico de  . Os pontos da curva cujas coordenadas pertençam ambas a   se chamam pontos K-racionais.

Se adicionarmos um ponto "ao infinito", obteremos a versão projetiva de tal curva. Se temos dois pontos da curva,   e   então podemos descrever de forma unívoca um terceiro ponto que seja a intersecção da curva com a linha que atravessa aos dois pontos   e  . Se a linha é tangente à curva em um ponto, então esse ponto contará duas vezes; e se a linha é paralela ao eixo  , definimos o terceiro ponto como o "no" infinito. Então justo uma de tais condições será a que cumpra qualquer par de pontos de uma curva elíptica.

  subgrupo deste grupo.

Se a curva se denota por  , este subgrupo se denota normalmente como  .

O grupo acima se pode descrever geométrica e algebricamente. Dada a curva   sobre o corpo   (cuja característica assumimos que não é nem 2 nem 3), e os pontos   e   na curva, assumimos primeiro que  . Seja  , já que   é um corpo,   está bem definido. Então podemos definir   mediante

 
 

Se  , então há duas opções: se  , então a soma se define como 0; assim que o inverso de cada ponto da curva se encontra refletindo-o no eixo  . Se  , então   será dado por

 
 
 

Se  , então  ;

Implicações do teorema de Mordell-Weil

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O teorema de Mordell-Weil estabelece que se o corpo subjacente   é o dos racionais (ou de maneira mais geral um corpo numérico), então o grupo de pontos  -racionais será finitamente gerado. Ainda que se possa determinar facilmente o subgrupo de torsão de  , não se conhece um algoritmo geral para computar sua ordem. Uma fórmula para um dado conjunto imagem vem a ser dada pela conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer.

Implicações para o último teorema de Fermat

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A demonstração recente do último teorema de Fermat se leva a cabo provando um caso especial da profunda conjectura de Taniyama-Shimura que relaciona as curvas elípticas sobre os racionais com as formas modulares; esta conjectura foi também completamente demonstrada.

Se o corpo subjacente   é o dos complexos, toda curva elíptica poderá ser parametrizada por certa função elíptica e sua derivada. Especificamente, a cada curva elíptica E se associa um reticulado   e uma função elíptica de Weierstrass correspondente  , tal que a aplicação

 

com

 

seja um isomorfismo de grupos e um isomorfismo de superfícies de Riemann.

O que prova em particular que topologicamente, E assemelha-se a um toro (já que   é um toro). Se o reticulado   está relacionado com outro reticulado   mediante a multiplicação por um número complexo distinto de zero  , então as curvas correspondentes são isomorfas. As classes de isomorfismo das curvas elípticas se especificam mediante o j-invariante.

Enquanto que o número de pontos racionais de uma curva elíptica E sobre um corpo finito Fp é difícil de computar em geral, um teorema de Hasse sobre curvas elípticas diz que

 

Este fato pode entender-se e demostrar-se com algo da teoria geral; ver função zeta local, cohomologia étale.

Para desenvolvimentos posteriores ver aritmética de variedades abelianas.

Teorema de Bezout

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Sejam   e   curvas projetivas planas de graus   e   definidas sobre um corpo algebricamente fechado. Se   e   não possuem componentes comuns, então o número de intersecções  , contadas com a multiplicidade, é o produto de seus graus, isto é,  .

Demonstração: ver [1].

Curvas Elípticas e Teoria dos Grupos

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É possível traçar uma relação entre curvas elípticas e a Teoria dos Grupos, conforme mencionado anteriormente. Nesta seção, será introduzida a ideia para demonstrar que uma curva elíptica   sobre um corpo   é um Grupo abeliano. Para isso, vamos definir uma operação que nos auxiliará para realizar essa demonstração. Sejam   e   pontos com coordenadas racionais na curva elíptica  , e tracemos uma reta que passa por   e  . Além disso, seja   o terceiro ponto ponto de interseção da reta traçada com a curva  , conforme a Figura 1 acima.

 
Figura 1

Agora, vamos definir o  , o qual facilmente é provado como elemento neutro. Assim, seja a reta que passa por   e   e seja   o terceiro ponto ponto de interseção com a curva. Seja   um ponto tal que a reta que passa por   e por   intersecta a curva no ponto denotado por  . Assim, teremos que  . Veja na Figura 2 a seguir.

 
Figura 2

A partir dessa construção, podemos definir um grupo. Sejam   uma curva elíptica sobre um corpo   denotada por   e  . Então,   é um grupo abeliano com a operação "+" definida, isto é,   satisfaz as seguintes propriedades

  1. Elemento Neutro:  , para todo   com coordenadas racionais.
  2. Inverso: Para todo   com coordenadas racionais existe um ponto   com coordenadas racionais tal que  .
  3. Associatividade: Sejam  ,   e   pontos quaisquer com coordenadas racionais, então  .
  4. Comutatividade: Sejam   e   pontos quaisquer com coordenadas racionais, então  .

A demonstração desse resultado pode ser vista em [2].

Curvas elípticas e criptografia

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As curvas elípticas sobre corpos finitos são usadas em algumas aplicações em criptografia assim como na fatoração de inteiros. Uns dos precursores dos estudos relacionando curvas elípticas e criptografia foram Victor Miller e Neal Koblitz. A ideia geral nessas aplicações é que se temos um algoritmo que usa certos grupos finitos podemos reescrevê-lo usando os grupos de pontos racionais de curvas elípticas. Vários são os problemas tópicos relacionados a esse tema, tais como

  • O problema do logaritmo discreto em curvas elípticas
  • A troca de chaves de Diffie-Hellman com curvas elípticas
  • A analogia de Massey-Omura
  • A escolha do ponto na curva e seleção "aleatória" de (E, B)
  • A redução Global de (E, B)    
  • Ordem do ponto B

Ver também

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Commons
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Ligações externas

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Sugestões de Leitura

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[1] ANDRIA, Sally. e GONDIM, Rodrigo. Criptografia com Curvas Elípticas, 2017 - VIII Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática - Rio de Janeiro - RJ. [2] Carneiro, J. S., & Almeida, K. E. de. (2015). Uma Introdução às Curvas Elípticas com Aplicações para o Ensino Médio. Ciência E Natura, 37, 452–462. https://doi.org/10.5902/2179460X14815

[3] FLOSE, Vania Batista Schunck. Criptografia e Curvas Elípticas. 2011. 55 f. Dissertação (Mestrado), Universidade Estadual Paulista, São Paulo, 2011.

Referências

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[1] VAINSENCHER, I. Introdução às Curvas Algébricas Planas, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 1996.

[2] Carneiro, J. S., & Almeida, K. E. de. (2015). Uma Introdução às Curvas Elípticas com Aplicações para o Ensino Médio. Ciência E Natura, 37, 452–462. https://doi.org/10.5902/2179460X14815

[3] FLOSE, Vania Batista Schunck. Criptografia e Curvas Elípticas. 2011. 55 f. Dissertação (Mestrado), Universidade Estadual Paulista, São Paulo, 2011.