Em teoria dos grupos, se é um subgrupo de um grupo e , o subconjunto de , definido por é chamado de uma coclasse (à direita) de em , ou de classe lateral (à direita) de em . Analogamente, chamamos de coclasse (à esquerda) de em , ou de classe lateral (à esquerda) de em , o subconjunto de , definido por .

As terminologias vem do fato de as coclasses serem classes de equivalência das seguintes relações de equivalência: , para as coclasses à direita e , para as coclasses à esquerda.[1]

Dada uma partição de um conjunto, um sistema de representantes é um conjunto que tem exatamente um elemento em cada subconjunto da partição. Ou seja, se for um representante da coclasse , é claro que para um para certo , então , e, portanto é outro representante da mesma coclasse .

Quando o conjunto das coclasses (à direita ou à esquerda) de em é finito, dizemos que é um subgrupo de índice finito em , e a cardinalidade do conjunto das coclasses é chamado índice de em , e denotado por , ou também por . A definição de índice é independente de ter sido tomado uma coclasse à direita ou à esquerda, pois a aplicação dada por estabelece uma bijeção bem definida entre os dois conjuntos, o que não faz, por não ser bem definida (e, portanto não é função!), pois a imagem depende do representante da coclasse.[2]

As coclasses são ferramentas básicas para o estudo de grupos; por exemplo, elas cumprem um papel fundamental no teorema de Lagrange.

Referências

  1. Garcia, Arnaldo. & Lequain, Yves. Elementos de álgebra (6.ed.). Rio de Janeiro: IMPA, 2013. ISBN 978-85-244-0190-9
  2. Martin, Paulo A. Grupos, corpos e teoria de Galois. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010. ISBN 978-85-7861-065-4