Ângulo reto

Na geometria e trigonometria, um ângulo reto é um ângulo de exatamente 90° (graus), correspondendo a um quarto de volta. Se um raio é colocado de modo que seu ponto final esteja em uma linha e os ângulos adjacentes sejam iguais, então eles são ângulos retos. O termo é um calque do latim angulus rectus; aqui, reto significa "vertical", referindo-se à vertical perpendicular a uma linha de base horizontal.

Um ângulo reto é igual a 90 graus

Um segmento de linha (AB) desenhado para formar ângulos retos com uma linha (CD)

Conceitos geométricos intimamente relacionados e importantes são retas perpendiculares, que significam retas que formam ângulos retos em seu ponto de intersecção, e ortogonalidade, que é a propriedade de formar ângulos retos, geralmente aplicados a vetores. A presença de um ângulo reto em um triângulo é o fator que define os triângulos retos, fazendo o ângulo direito básico à trigonometria.

Na geometria elementar

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos. Um quadrado tem quatro ângulos retos, além de lados de comprimento igual.

O Teorema de Pitágoras indica como determinar um lado quando um triângulo é um triângulo retângulo.

Símbolos

Triângulo retângulo, com o ângulo reto mostrado através de um pequeno quadrado

Outra opção de indicar diagramaticamente um ângulo reto, usando uma curva angular e um pequeno ponto

Em Unicode, o símbolo para um ângulo reto é U+221F ∟ RIGHT ANGLE (∟). Não deve ser confundido com o símbolo de forma semelhante U+231E ⌞ BOTTOM LEFT CORNER (⌞, ⌞). Símbolos relacionados são U+22BE ⊾ RIGHT ANGLE WITH ARC (⊾), U+299C ⦜ RIGHT ANGLE VARIANT WITH SQUARE (⦜), e U+299D ⦝ MEASURED RIGHT ANGLE WITH DOT (⦝).

Nos diagramas, o fato de um ângulo ser um ângulo reto geralmente é expresso pela adição de um pequeno ângulo reto que forma um quadrado com o ângulo no diagrama, como visto no diagrama de um triângulo retângulo à direita. O símbolo para um ângulo medido, um arco com um ponto, é usado em alguns países europeus, incluindo países de língua alemã e na Polônia, como um símbolo alternativo para um ângulo reto.

Euclides

Os ângulos retos são fundamentais nos Elementos de Euclides. Eles são definidos no Livro 1, definição 10, que também define retas perpendiculares. A definição 10 não usa medições de graus numéricos, mas implica diretamente no que é um ângulo reto, ou seja, duas linhas retas que se interceptam para formar dois ângulos iguais e adjacentes. As linhas retas que formam ângulos retos são chamadas perpendiculares. Euclides usa ângulos retos nas definições 11 e 12 para definir ângulos agudos (aqueles menores que um ângulo reto) e ângulos obtusos (aqueles maiores que um ângulo reto). Dois ângulos são chamados complementares se a soma deles for um ângulo reto.

Livro 1, Postulado 4 afirma que todos os ângulos retos são iguais, o que permite que Euclides use um ângulo reto como uma unidade para medir outros ângulos. O comentador de Euclides, Proclus, deu uma prova desse postulado usando os postulados anteriores, mas pode-se argumentar que essa prova faz uso de algumas suposições ocultas. Saccheri deu uma prova também, mas usando uma suposição mais explícita. Na axiomatização da geometria de Hilbert, essa afirmação é dada como um teorema, mas somente depois de muito trabalho de base. Pode-se argumentar que, mesmo que o postulado 4 possa ser comprovado a partir dos anteriores, na ordem em que Euclides apresenta seu material é necessário incluí-lo, pois sem ele o postulado 5, que usa o ângulo reto como unidade de medida, não faz sentido.

Conversão para outras unidades

Um ângulo reto pode ser expresso em diferentes unidades:

• ${\frac {1}{4}}$ de volta
• 90° (graus)
• ${\frac {\pi }{2}}$ radianos
• 100 grado (também chamado de gradiano ou gon)
• 8 pontos (de uma rosa dos ventos de 32 pontos)
• 6 horas (ângulo horário astronômico)

Regra do 3-4-5

Ao longo da história, os carpinteiros e pedreiros conheceram uma maneira rápida de confirmar se um ângulo é um verdadeiro "ângulo reto". Baseia-se no triplo pitagórico mais amplamente conhecido (3, 4, 5) e é chamado de "regra do 3-4-5". Do ângulo em questão, correndo uma linha reta ao longo de um lado com exatamente 3 unidades de comprimento, e ao longo do segundo lado exatamente 4 unidades de comprimento, criará uma hipotenusa (a linha mais longa oposta ao ângulo reto que conecta os dois pontos finais) exatamente 5 unidades de comprimento. Essa medição pode ser feita rapidamente e sem instrumentos técnicos. A lei geométrica por trás da medida é o teorema de Pitágoras ("O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes").

Teorema de Tales

Construção da perpendicular à meia-linha h do ponto P (aplicável não só no ponto final A, M é livremente selecionável),
animação no final com pausa de 10 s

Construção alternativa se P fora da meia-linha h e a distância A a P' é pequena (B é livremente selecionável),
animação no final com pausa de 10 s

Ver artigo principal: Teorema de Tales (círculo)

O teorema de Tales afirma que um ângulo inscrito em um semicírculo (com um vértice no semicírculo e seus raios definidores passando pelos pontos finais do semicírculo) é um ângulo reto.

Ver também

• Sistema de coordenada cartesiana
• Perpendicularidade
• Retângulo

Bibliografia

• Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. [S.l.]: Ginn & Co. 
• Euclides; Irineu Bicudo (tradução) (2009). Os elementos. São Paulo: Unesp. ISBN 978-85-7139-935-8