Cristalografia

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SIMETRIA EM CRISTALOGRAFIA

Conteúdo

1. Operações de simetria

2. Elementos de simetria

3. Origem dos elementos de simetria

4. Classificação dos elementos de simetria

5. Justapondo elementos de simetria

6. Classes de simetria e sua nomenclatura

7. Símbolos das classes

8. Formação das classes

9. Holoedria e meroedria

10. Região de simetria, polos determinantes e domínio de simetria

A simetria é a igualdade, a semelhança, a harmonia, o equilíbrio e/ou a correspondência entre as diferentes partes de um conjunto, e dela dependem:

os sistemas cristalinos;

as classes de simetria;

a forma dos cristais;

a estrutura cristalina.

Praticamente tudo, em cristalografia, depende da simetria. A partir disso, podemos concluir que:

A simetria é, sem dúvida, o capítulo mais importante da cristalografia.

1.1 Operações de simetria

Tomando um motivo qualquer de preferência tridimensional e submetendo-o a um elemento operador de simetria, esse motivo será repetido no espaço, de acordo com a natureza do elemento de simetria considerado. A essa operação, daremos o nome de operação de simetria. As principais operações de simetria são:

deslizamento: é o deslocamento em que todos os pontos do motivo dado se deslocam segundo vetores paralelos e iguais. O elemento operador é o próprio vetor, indicando o módulo e o sentido da operação;

rotação: é a operação em que todos os pontos do motivo dado se deslocam, segundo arcos paralelos e iguais, em torno do eixo que é o elemento operador;

reflexão: é a operação em que todos os pontos do motivo dado se reproduzem a igual distância do outro lado do plano, como se houvesse reflexão num espelho. O elemento operador é o plano;

inversão: é a operação em que todos os elementos do motivo dado se reproduzem através de um ponto. De cada ponto do motivo dado, se baixa uma reta na direção do ponto. Essa reta será prolongada a igual distância, do outro lado deste (como se houvesse reflexão no ponto). O elemento de simetria é o próprio ponto chamado centro de simetria ou centro de inversão.

O deslizamento e a rotação ou giro não alteram o motivo dado, por isso são chamados operações de primeira espécie. A reflexão e a inversão alteram o motivo dado, por isso são chamadas operações de segunda espécie. Por exemplo: a mão direita refletida num plano produz a mão esquerda, não superponível à direita, porém simétrica.

O deslizamento é uma operação que, continuada, não retoma à posição inicial. Por isso não interessa à cristalografia morfológica. As operações podem agir de forma isolada ou combinadamente.

Operações combinadas são:

giro e deslizamento: combina giro em torno de um eixo e deslizamento segundo vetores paralelos a este, sem interesse para cristalografia morfológica. O elemento operador é o eixo helicoidal;

giro e reflexão: combina giro em torno de um eixo e reflexão num plano perpendicular a este. O elemento operador é o eixo giroide;

giro e inversão: combina giro em torno de um eixo e inversão num ponto situado neste. O elemento operador é o eixo de inversão;

a ordem do eixo depende do número de vezes que o eixo repete o motivo dado, num giro de 360 graus, que pode ser:

eixo unitário (E1), que retorna ao motivo dado aos 360 graus, sem reprodução deste; por isso, não é eixo de simetria. É o caso do eixo básico do sistema monoclínico;

eixo binário (E2), que repete o motivo dado de 180 em 180 graus;

eixo ternário (E3) repete de 120 em 120 graus;

eixo quaternário (E4) com repetição de 90 em 90 graus;

eixo senário (E6) repetindo de 60 em 60 graus;

o giro de 72 graus, aparente em certas substâncias sintéticas, ainda merece mais estudos;

o giro completo de 360 graus, dividido pelo número de graus girados em cada repetição, dará a ordem do eixo;

na reflexão de todos os pontos do motivo dado, baixam-se perpendiculares ao plano que serão prolongadas a igual distância do outro lado para formar os respectivos pontos homólogos;

na inversão, a partir de todos os pontos de um motivo dado, baixam-se linhas na direção do ponto (centro de simetria), que serão prolongadas até igual distância do outro lado, para formar os pontos homólogos. Nas operações combinadas, é bom lembrar a posição relativa dos elementos de simetria e o novo nome do elemento operador;

giro e deslizamento: o vetor será paralelo ao eixo de giro e o elemento correspondente será o eixo helicoidal. (Sem interesse para a cristalografia morfológica por não retornar à origem);

reflexão e deslizamento. O vetor será paralelo ao plano refletor e o elemento é o Plano de deslizamento (sem interesse por não retornar ao início);

giro e reflexão: o plano será perpendicular ao eixo e o novo elemento irá chamar-se eixo giroide. (Tende a ser abandonado);

giro e inversão: o centro de inversão, o qual está situado no meio do eixo, chama-se eixo de inversão. Os eixos de inversão são simbolizados pelo sinal negativo (-) sobre o algarismo que representa a ordem do eixo, conforme o exemplo: 4 = eixo quaternário de inversão. O eixo giroide acrescenta a letra g (giroide) ao mesmo algarismo;

o resultado final do uso dos eixos giroides ou de inversão é o mesmo, porém com algumas observações:

O eixo de inversão gira num sentido e o resultado aparece no sentido oposto.

No eixo giroide, o giro e o resultado seguem o mesmo sentido.

O resultado do eixo senário de inversão é igual ao resultado do eixo ternário giroide e o resultado do eixo ternário de inversão é igual ao resultado do eixo senário giroide. O mesmo se constata na comparação dos eixos giroides e de inversão binários e unitários.

Na prática pode-se substituir:

o centro de simetria por um eixo unitário de inversão C (centro) = 1. O motivo dado, uma face, por exemplo, gira 360 graus retornando ao ponto de partida e inverte. Ou por um eixo binário giroide gira 180 graus e reflete na vertical (plano horizontal);

o plano horizontal por um eixo unitário giroide ou por um eixo binário de inversão.

1.2 Elementos de simetria

Chamamos de elementos de simetria os planos, eixos e centro que podemos imaginar no interior dos cristais e em função dos quais as diferentes partes simétricas se correspondem.

Elementos operadores e elementos de simetria

Quando tomamos o elemento de simetria e colocamos junto dele um motivo dado qualquer, para que este, de acordo com sua natureza, o multiplique (reproduza), estamos tratando de um elemento operador. Quando o elemento de simetria está situado entre