Twierdzenie Erdősa-Rado

Twierdzenie Erdősa-Rado – twierdzenie udowodnione przez Paula Erdősa i Richarda Rado będące rozszerzeniem twierdzenia Ramseya na zbiory odpowiednio dużej mocy.

Notacja

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

• Indukcyjnie definiuje się

$\exp _{0}(\kappa )=\kappa ,$

$\exp _{r}(\kappa )=2^{\exp _{r-1}(\kappa )}\;\;\;(r=1,2,3,\dots ).$

• Symbol $\kappa ^{+}$ oznacza następnik liczby kardynalnej $\kappa .$

Twierdzenie

Niech $r$ będzie liczą naturalną oraz niech $\kappa$ będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Wówczas zachodzi relacja podziałowa

$\exp _{r}(\kappa )^{+}\longrightarrow (\kappa ^{+})_{\kappa }^{r+1},$

tzn. dla każdego kolorowania $f$ rodziny $(r+1)$-elementowych podzbiorów zbioru mocy $\exp _{r}(\kappa )^{+}$ na $\kappa$ kolorów istnieje zbiór monochromatyczny mocy $\kappa ^{+},$ tj. taka podrodzina rodziny $(r+1)$-elementowych podzbiorów zbioru mocy $\exp _{r}(\kappa )^{+},$ na której funkcja $f$ jest stała.