Szereg Grandiego

Szereg Grandiego – szereg naprzemienny $1-1+1-1+\dots$ zapisywany również jako

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}

Nazwa szeregu pochodzi od Guido Grandiego, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Uważał on, że suma tego szeregu wynosi ${\tfrac {1}{2}}.$ Leibniz zgadzał się z opinią Grandio w liście do Christiana Wolffa z 1713. Dodatkowo określił, że ciąg ten musi posiadać sumę $0$ , gdy szereg ma parzystą liczbę elementów oraz $1,$ gdy nieparzystą. Dlatego obie wartości były równie prawdopodobne dla sumy nieskończonej liczby elementów. Stąd wartość ${\tfrac {1}{2}}$ ^[1]. Mimo że szereg rozbieżny z definicji nie posiada sumy, to taki sam wynik daje sumowanie metodą Cesàro.

Heurystyka

Aby znaleźć sumę szeregu

1-1+1-1+1-1+1-1+\dots

Grandi próbował grupować sąsiednie wyrazy szeregu, aby znaleźć rozwiązania cząstkowe

(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots =0+0+0+\dots =0.

Z drugiej strony, podobna procedura rozmieszczania nawiasów prowadzi do zupełnie innego wyniku:

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =1+0+0+0+\dots =1.

Stąd wynika, że w zależności od umieszczenia nawiasów w szeregu, ostateczny wynik może przyjąć jedną z dwóch „wartości”: 0 lub 1.

Stosując przekształcenie podobne do tych, jakie są stosowane dla zbieżnych szeregów geometrycznych, można uzyskać trzecią wartość:

S=1-1+1-1+\dots ,

czyli

1-S=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-1+1-1+\ldots =S,

która w wyniku daje $S={\tfrac {1}{2}}.$ Do tego samego wyniku można dojść obliczając $-S,$ odejmując wynik od $S$ i rozwiązując $2S=1$ ^[2].

Powyższe przekształcenie nie rozważa, co taka suma właściwie oznacza. Na podstawie wszystkich powyższych metod można wyciągnąć dwa następujące wnioski:

szereg $1-1+1-1+\ldots$ nie ma sumy^[2]^[3]
..., ale jego suma „powinna” wynosić ${\tfrac {1}{2}}$ ^[3].

W rzeczywistości oba te twierdzenia można dokładnie i formalnie udowodnić, ale tylko dzięki dobrze zdefiniowanym matematycznym koncepcjom, które powstały w XIX wieku. Zanim to nastąpiło, odpowiedzi na te pytania były „niekończącymi się” i „gwałtownymi” dyskusjami między matematykami^[4]^[5].

Zobacz też

szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …

Przypisy

↑ Jahnke 2003 ↓, s. 121.
↑ ^a ^b Devlin 1994 ↓, s. 77.
↑ ^a ^b Devlin 1994 ↓, s. 152.
↑ Kline 1983 ↓, s. 307.
↑ Knopp 1990 ↓, s. 457.

Bibliografia

Harry F.H.F. Davis Harry F.H.F., Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, maj 1989, ISBN 0-486-65973-9 (ang.).
KeithK. Devlin KeithK., Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe, Scientific American Library, 1994, ISBN 0-7167-6022-3 .
MorrisM. Kline MorrisM., Euler and Infinite Series, „Mathematics Magazine”, 56 (5), 1983, s. 307–314, DOI: 10.2307/2690371, JSTOR: 2690371 .
KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2 .
Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

[CITEREFJahnke2003121-1] Jahnke 2003 ↓, s. 121.

[CITEREFDevlin199477-2] Devlin 1994 ↓, s. 77.

[CITEREFDevlin1994152-3] Devlin 1994 ↓, s. 152.

[CITEREFKline1983307-4] Kline 1983 ↓, s. 307.

[CITEREFKnopp1990457-5] Knopp 1990 ↓, s. 457.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]