Rekurencyjna metoda NK

Wstęp i oznaczenia

Algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów (WRMNK) został wyprowadzony dla obiektu typu ARX, którego postać przytacza się dla wygody:

y(i)=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}u(i)+{\frac {1}{A(z^{-1})}}e(i).

Zakłada się, że znany jest ciąg wejść obiektu $u(1),u(2),\dots$ oraz ciąg wyjść obiektu $y(1),y(2),\dots ,$ natomiast sekwencja białego szumu, modelującego zakłócenie sprowadzone na wyjście obiektu $e(1),e(2),\dots ,$ jest nieznana.

Niech $\mathbf {\Theta }$ oznacza wektor nieznanych parametrów obiektu:

\mathbf {\Theta } =\left\lbrack b_{0}\ b_{1}\ldots \ b_{dB}\ a_{1}\quad a_{2}\ldots \ a_{dA}\right\rbrack ^{T}.

Niech $\mathbf {\hat {\Theta }} (i)$ oznacza wektor zawierający oszacowania (estymaty) tych parametrów w chwili $i,$ oraz niech ${\boldsymbol {\varphi }}(i-1)$ oznacza wektor zawierający próbki wejść i wyjść odpowiadające tym parametrom (zwany wektorem regresyjnym):

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\varphi }}(i-1)={}&\left\lbrack u(i-k)\ u(i-k-1)\ldots \ u(i-k-dB)\right.\\&\left.-y(i-1)\ -y(i-2)\ldots \ -y(i-dA)\right\rbrack ^{T}\end{aligned}}

Niech ponadto wskaźnik jakości będzie dany jako:

J_{N}(\mathbf {\hat {\Theta }} )={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\lambda ^{N-i}\varepsilon ^{2}(i)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\lambda ^{N-i}\left(y(i)-\mathbf {\hat {\Theta }} ^{T}(i-1){\boldsymbol {\varphi }}(i-1)\right)^{2},

gdzie $\lambda \in (0,1\rbrack$ zwany jest współczynnikiem ważenia lub zapominania, a $\varepsilon (i)$ zwany jest błędem predykcji jednokrokowej.

Algorytm WRMNK

Algorytmem, który minimalizuje tak zdefiniowany wskaźnik jakości, jest algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, dany wzorem:

\mathbf {\hat {\Theta }} (i)=\mathbf {\hat {\Theta }} (i-1)+\mathbf {k} (i)\varepsilon (i),

gdzie $\mathbf {k} (i)$ zwany jest wektorem wzmocnienia i liczony jest zgodnie z zależnością:

\mathbf {k} (i)=\mathbf {P} (i)\cdot {\boldsymbol {\varphi }}(i-1).

Użyta w powyższym wzorze macierz $\mathbf {P} (i)$ zwana jest macierzą kowariancji. Podstawową zależnością pozwalającą na rekurencyjne wyznaczania tej macierzy jest równanie:

\mathbf {P} ^{-1}(i)=\lambda \mathbf {P} ^{-1}(i-1)+{\boldsymbol {\varphi }}(i-1){\boldsymbol {\varphi }}^{T}(i-1).

Ponieważ jednak zastosowanie powyższego wzoru wiązałoby się z koniecznością odwracania macierzy, algorytm byłby niezwykle skomplikowany w implementacji i potencjalnie niestabilny numerycznie. Na szczęście udało się wyprowadzić zależność rekurencyjną pozwalającą na aktualizację macierzy kowariancji z pominięciem odwracania macierzy, która jest dana zależnością:

\mathbf {P} (i)={\frac {1}{\lambda }}\left\lbrack \mathbf {P} (i-1)-{\frac {\mathbf {P} (i-1){\boldsymbol {\varphi }}(i-1){\boldsymbol {\varphi }}^{T}(i-1)\mathbf {P} (i-1)}{\lambda +{\boldsymbol {\varphi }}^{T}(i-1)\mathbf {P} (i-1){\boldsymbol {\varphi }}(i-1)}}\right\rbrack

Warunek początkowy

Warunek początkowy dla macierzy kowariancji dany jest wzorem:

\mathbf {P} (0)=\beta \mathbf {I} ,

gdzie $\beta$ jest pewną, dużą wartością dodatnią (np. 1000).

Zobacz też

metoda najmniejszych kwadratów

Uwagi

W przypadku, gdy $\lambda =1$ o metodzie mówi się, że jest bez ważenia (czyli jest to RMNK). Tak sparametryzowana metoda nie nadaje się do identyfikacji obiektów niestacjonarnych (czyli takich, których parametry zmieniają się w czasie), gdyż w macierzy $\mathbf {P}$ pamiętana jest cała historia zmian wejścia i wyjścia obiektu. W przypadku identyfikacji obiektów niestacjonarnych zazwyczaj wartość parametru $\lambda$ ustala się na nieco mniejszą od jedności (na przykład 0,99).

Bibliografia

Dariusz Bismor: Adaptive Algorithms for Active Noise Control in an Acoustic Duct. Gliwice: Studio Komputerowe Jacka Skalmierskiego, 1999.