Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa

Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).

Założenia

Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:

$ds^{2}=e^{\nu (r)}c^{2}dt^{2}-e^{\lambda (r)}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),$

gdzie standardowo:

$t$ – współrzędna czasowa,

$r$ – radialna,

$\theta$ i $\varphi$ – kątowe (odpowiednio, zenitalna i azymutalna).

Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających, tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie $p$ jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii $\rho$), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną $\nu (r){:}$

${\frac {d\nu (r)}{dr}}=-{\frac {2}{P(r)+\rho (r)c^{2}}}{\frac {dP(r)}{dr}},$

funkcją $\lambda (r){:}$

$e^{\lambda (r)}={\frac {1}{(1-2GM(r)/rc^{2})}},$

a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu $r$ a promieniem tej sfery, $M(0)=0{:}$

${\frac {dM(r)}{dr}}=4\pi \rho (r)r^{2}.$

Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4{\pi }r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}.$

Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii): npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon. Linia niebieska: „naga” (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem „worka” MIT o stałej sprzężenia $\alpha =0{,}17,$ stałej worka B=60 MeV/fm³, masie kwarku dziwnego m_s=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).

Równanie TOV jest zatem newtonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).

Warunki brzegowe

Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:

• znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, $p(R)=0$ (warunek ten wyznacza współrzędną $r=R,$ czyli promień gwiazdy),
• zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:

dla $r\geqslant R$ funkcja metryczna $e^{\nu (r)}=1-2GM/rc^{2},$ gdzie $M$ jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.

Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej

Całkowita masa grawitacyjna $M$ gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy), występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy $R,$ wyraża się następującym wzorem:

$M=M_{g}(R)=4\pi \int _{0}^{R}\rho (r)r^{2}dr.$

Pamiętając o tym, że element objętości $dV$ pomiędzy sferami o promieniach $r$ oraz $r+dr$ jest równy

$dV={\frac {4\pi r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}},$

można definiować dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. Masą właściwą $M_{p}$ gwiazdy nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę $M(r)$

$M_{p}=M_{p}(R)=\int _{0}^{R}\rho dV=4\pi \int _{0}^{R}{\frac {\rho (r)r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}.$

Jako że

${\frac {1}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\geqslant 1\implies M_{p}\geqslant M_{g}.$

Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa

$A_{b}=4\pi \int _{0}^{R}{\frac {n_{b}(r)r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}},$

gdzie:

$n_{b}(r)$ jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm³),

$A_{b}$ dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 10⁵⁷ cząstek.

Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10¹⁵ g/cm³ (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).

Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej $A_{b}$ gwiazdy pomnożonej przez masę barionu $m_{b}\approx$ m_n:

$M_{b}=m_{b}A_{b}.$

Zdefiniowane wyżej masy używa się do obliczenia energii wiązania. Różnica

$E_{G}=\left(M_{g}-M_{p}\right)c^{2}$

jest energią grawitacyjną gwiazdy (energią zmagazynowaną w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy $dm$ do nieskończoności). Grawitacyjna energia wiązania to

$BE_{G}=-E_{B}=\left(M_{p}-M_{g}\right)c^{2}.$

Energia wewnętrzna gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to

$E_{I}=\left(M_{p}-M_{b}\right)c^{2},$

z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną wewnętrzną energią wiązania

$BE_{I}=-E_{I}=\left(M_{b}-M_{p}\right)c^{2}.$

Całkowita energia wiązania gwiazdy to zatem

$BE=BE_{G}+BE_{I}=\left(M_{b}-M_{g}\right)c^{2}.$

Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie $M=1{,}4$ masy Słońca jest związana energią wiązania $BE\approx 0{,}1M.$

Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej

W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. można otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu $\rho =\mathrm {const} .$ Mamy wtedy

$M(r)={\frac {4}{3}}\pi \rho r^{3}.$

Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:

${\frac {p(r)}{\rho }}={\frac {{\sqrt {1-2GMr^{2}/R^{3}c^{2}}}-{\sqrt {1-2GM/Rc^{2}}}}{3{\sqrt {1-2GM/Rc^{2}}}-{\sqrt {1-2GMr^{2}/R^{3}c^{2}}}}}.$

Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, $p_{c}=p(r=0).$ Warunek $p_{c}=\infty$ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:

${\frac {2GM}{Rc^{2}}}<{\frac {8}{9}}.$

Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.

Historia

Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym „Physical Review” przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. On Massive Neutron Cores, jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934 pt. Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models oraz 1939 r. pt. Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.