Przestrzeń Sierpińskiego

Przestrzeń Sierpińskiego – przykład przestrzeni topologicznej mającej dwa punkty, z których tylko jeden jest domknięty. Jest szczególnym przykładem przestrzeni Aleksandrowa

Konstrukcja

Niech $a,b$ będą dwoma różnymi punktami. Rodzina

$\tau =\left\{\{a,b\},\{a\},\varnothing \right\}$

jest topologią w zbiorze $F=\{a,b\}.$ Przestrzeń topologiczna $(F,\tau )$ nazywana jest przestrzenią Sierpińskiego.

Własności

• Przestrzeń $F$ jest (z dokładnością do homeomorfizmu) jedyną przestrzenią topologiczną dwuelementową różną od przestrzeni dyskretnej i antydyskretnej.
• Przestrzeń $F$ spełnia aksjomat T₀ (najsłabszy z aksjomatów oddzielania), ale nie spełnia aksjomatu T₁.
• Każda T₀-przestrzeń wagi $\kappa$ jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu $\kappa$ kopii przestrzeni Sierpińskiego $F$ (tzw. kostką Aleksandrowa wagi $\kappa$). Innymi słowy, jeśli $\kappa$ jest (nieskończoną) liczbą kardynalną, to kostka $F^{\kappa }$ jest przestrzenią uniwersalną dla klasy wszystkich T₀-przestrzeni.
• Przestrzeń $F$ jest drogowo spójna, ale nie jest łukowo spójna.

• Kazimierz Alster zauważył, że przestrzeń Sierpińskiego jest obrazem uniwersalnym dla klasy wszystkich topologicznych przestrzeni spójnych.

Zobacz też

• przestrzeń Aleksandrowa
• skończona przestrzeń topologiczna

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 115.
• Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 44–46.