Postulat Euklidesa
Postulat Euklidesa, postulat równoległości, piąty aksjomat Euklidesa – jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej. Ma on postać[1]:
- Jeżeli prosta przecina dwie proste, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przecinają się po tej stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne.
Nazwa piąty postulat jest nazwą historyczną, wynikającą z kolejności jego występowania w Elementach autorstwa Euklidesa. Spośród wielu określeń tego postulatu, określenie postulat Euklidesa, choć bardzo popularne, jest nieco mylące, bowiem każdy z pięciu postulatów jest postulatem Euklidesa i w równej mierze konstytuuje geometrię euklidesową.
Euklides w Elementach, zgodnie z metodologią Arystotelesowską, osobno wyliczał aksjomaty (tj. aksjomaty logiczne i identyczności w dzisiejszej terminologii) i postulaty (tj. aksjomaty pozalogiczne)[2]. We współczesnej metodologii nauk określeń postulat i aksjomat używa się zamiennie, stąd niekiedy piąty postulat nazywa się nieprecyzyjnie piątym aksjomatem Euklidesa.
Historia
[edytuj | edytuj kod]Wyjątkowość piątego postulatu wynikała z tego, że od początku wydał się bardziej skomplikowany od pozostałych[a]. Nasuwało to podejrzenia, że może on być wnioskiem z pozostałych, bowiem zgodnie z ówczesnymi wyobrażeniami każdy postulat powinien być prosty i oczywisty. Ponieważ piąty postulat nie był ani prosty, ani oczywisty, całe pokolenia matematyków próbowały go dowieść na podstawie pierwszych czterech. Wszystkie te próby – choć nie mogły się powieść – walnie przyczyniły się do uściślenia pojęć, wysublimowania metod dowodowych. Było to zagadnienie wytyczające przez wiele wieków kierunki rozwoju geometrii.
Na początku XVIII w. matematycy jak dotąd bezskutecznie zmagający się z problemem piątego postulatu zmienili podejście: zamiast podejmować kolejne próby jego dowodzenia, zaczęli starannie wyodrębniać twierdzenia wynikające z wyłącznie pierwszych czterech postulatów, a dołączając zaprzeczenie piątego postulatu, starali się uzyskać sprzeczność. Nieświadomie stworzyli przy tym podwaliny geometrii absolutnej, czyli geometrii opartej na pierwszych czterech postulatach Euklidesa. Największe zasługi mają tutaj Giovanni Gerolamo Saccheri[b] i Johann Heinrich Lambert[c].
Przez wiele lat podejmowane nieskuteczne próby znalezienia sprzeczności zrodziły najpierw podejrzenia, a potem przekonanie, że takiej sprzeczności po prostu nie ma, a teoria z zaprzeczonym piątym postulatem jest jak najbardziej poprawna (Gauss, Bolyai, Łobaczewski). Stworzenie przez Kleina modelu dla takiej teorii definitywnie zamknęło problem – aksjomat ten okazał się niezależny od pierwszych czterech.
Współcześnie geometria absolutna jest teorią, która ma dokładnie dwa rozszerzenia do teorii kategorycznej w zależności od tego, czy dołączy się do niej aksjomat Euklidesa o równoległych, czy też jego zaprzeczenie. W pierwszym przypadku jest to geometria euklidesowa, w drugim – geometria hiperboliczna.
Zdania równoważne
[edytuj | edytuj kod]W zasadzie aż do XVII w. wszystkie próby udowodnienia aksjomatu Euklidesa sprowadzały się do „przemycenia” zdania, które dowodzący uważał za wynikające z pierwszych czterech postulatów, a które okazywało się być zdaniem równoważnym piątemu postulatowi. Za każdym razem skutkowało to dalszym przedłużaniem listy takich zdań.
Oto wybór niektórych takich zdań, pominięto w nim oryginalny piąty postulat:
- Do danej prostej przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną (John Playfair, 1785)[3].
- Na każdym trójkącie można opisać okrąg (Wolfgang Bolyai, ojciec Janosa)[4].
- Wysokości trójkąta przecinają się[d][5].
- Przez dowolny punkt wnętrza kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba jego ramiona[e][6] (Legendre ok. 1800).
- Prostopadła i pochyła do danej prostej zawsze się przecinają (Legendre)[7].
- Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa dwóm kątom prostym[8].
- Istnieje czworokąt, którego suma kątów wewnętrznych jest równa czterem kątom prostym[9].
- Istnieje prostokąt.
- Istnieją trzy różne współliniowe punkty tak samo odległe od danej prostej (Posidonius I w. n.e.)[9].
- Istnieją dwa trójkąty podobne, ale nieprzystające (Wallis ok. 1650)[10].
- Odległość między nieprzecinającymi się prostymi jest ograniczona z góry (Proklos)[11].
- Istnieje prosta p i istnieje punkt A nie należący do prostej p, przez który można poprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z prostą p.
- Istnieje trójkąt, którego suma kątów wewnętrznych równa się dwóm kątom prostym.
- Rzut prostopadły jednej prostej na inną nieprostopadłą jest zawsze prostą.
Równoważność powyżej zamieszczonych zdań polega na tym, że
- uzupełniając aksjomatykę geometrii absolutnej o dowolne z nich można dowieść każde z pozostałych,
- uzupełniając ją o zaprzeczenie dowolnego z nich można dowieść zaprzeczenia każdego z pozostałych.
Niektóre z powyższych zdań układają się w pary zdań równoważnych, dla których wynikanie w jedną stronę jest trywialne: [6]→ [13], [1]→ [12], wynikanie w drugą stronę wymaga jakiegoś dowodu, np. [12]→ [1] patrz[12].
Aksjomat Euklidesa w geometrii afinicznej
[edytuj | edytuj kod]Pierwszy z aksjomatów na powyższej liście jest afiniczną[13] wersją piątego postulatu:
Do danej prostej, przez dany punkt, można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną.
Jego zaletą jest to, że nie odwołuje się do pojęcia kąta prostego, odległości ani do pojęcia porządku[f] (jak w czwartym z wymienionych na liście). Dlatego też jest również wykorzystywane w aksjomatykach geometrii afinicznej[14].
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Proklos sugerował, że Euklides traktował piąty postulat z pewną podejrzliwością i nie powoływał się na niego w swoich dowodach twierdzeń tak długo, jak to było możliwe; por. Kordos 1994 ↓, s. 101.
- ↑ W dziele Euklides z wszelkich zmaz oczyszczony opublikowanym w 1733 wprowadził pojęcie czworokąta Saccheriego.
- ↑ W dziele Teoria równoległych opublikowanym w 1791 wprowadził m.in. pojęcie defektu trójkąta.
- ↑ Zdanie to nie postuluje przecinania się wszystkich trzech wysokości w jednym punkcie, ale jedynie przecinanie się dowolnych dwóch.
- ↑ Z tego zdania wynika m.in. nieistnienie prostej zagradzającej.
- ↑ Geometria afiniczna zawiera geometrię uporządkowania. Postulat Euklidesa w postaci Playfaira może być jednym z aksjomatów, który należy dodać, by geometrię afiniczną uzyskać; por. Coxeter 1967 ↓, s. 209.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Euklidesa postulat równoległości, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30].
- ↑ Murawski 2008 ↓, s. 24.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 202.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 204.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 205.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 212.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 203.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 206.
- ↑ a b Kostin 1961 ↓, s. 210.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 211.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 215.
- ↑ Kostin 1961 ↓, s. 216.
- ↑ Coxeter 1967 ↓, s. 209.
- ↑ Szmielew 1981 ↓, s. 21.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Harold Scott MacDonald Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.
- Marek Kordos: Wykłady z historii matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1994.
- W. Kostin: Podstawy geometrii. Warszawa: PZWS, 1961.
- Roman Murawski: Filozofia matematyki. Poznań: Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza, 2008. ISBN 978-83-232-1925-5.
- Wanda Szmielew: Od geometrii afinicznej do euklidesowej. Rozważania nad aksjomatyką. Warszawa: PWN, 1981, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 55.
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1972, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 55.
- M. Kordos, L. Włodarski, O geometrii dla postronnych, PWN, Warszawa, 1981, Biblioteka Problemów 274.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Geometria Jana Zydlera: Rozdział 17. Kąty przy równoległych. Postulat Euklidesa. Wnioski
Jeff Dekofsky, Euclid's puzzling parallel postulate (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 26 marca 2013 [dostęp 2024-08-29].