PFA (aksjomat)

PFA (z ang. proper forcing axiom) – aksjomat forsingowy używany w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

Definicje formalne

Pojęcia wstępne

Niech $\mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )$ będzie pojęciem forsingu.

Powiemy, że zbiór $G\subseteq \mathbb {P}$ jest filtrem w $\mathbb {P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)

G\neq \varnothing ,

(ii) jeśli

p,q\in \mathbb {P} ,

q\leqslant p

oraz

q\in G,

to również

p\in G,

(iii) jeśli

p,q\in G,

to można znaleźć

r\in G

taki że

r\leqslant p

oraz

r\leqslant q.

Zbiór $I\subseteq \mathbb {P}$ jest gęstym podzbiorem $\mathbb {P}$ jeśli $(\forall p\in \mathbb {P} )(\exists q\in I)(q\leqslant p).$
Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal {H}}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb {P} \in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb {P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb {P} )$ -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb {P} ,$ który należy do modelu $N$ mamy:

dla każdego

r\in A,

jeśli

r,q

są niesprzeczne, to

r\in N.

(Przypomnijmy, że warunki

r,q

są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek

s\in \mathbb {P}

silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in {\mathcal {H}}(\chi )$ taki, że:

jeśli

N

jest przeliczalnym elementarnym podmodelem

({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),

\mathbb {P} ,x\in N

oraz

p\in \mathbb {P} \cap N,

to istnieje warunek

q\leqslant p

który jest

(N,\mathbb {P} )

-generyczny.

PFA i BPFA

PFA oznacza następujące zdanie:

jeśli pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, ${\mathcal {I}}$ jest rodziną gęstych podzbiorów $\mathbb {P}$ oraz $|{\mathcal {I}}|\leqslant \aleph _{1},$

to istnieje filtr $G\subseteq \mathbb {P} ,$ który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z ${\mathcal {I}}$ (tzn. $(\forall D\in {\mathcal {I}})(D\cap G\neq \varnothing )$ ).

BPFA jest następującym zdaniem:

jeśli pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, ${\mathcal {A}}$ jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole’a $\mathrm {RO} (\mathbb {P} )$ wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno $|{\mathcal {A}}|\leqslant \aleph _{1},$ jak i każdy antyłańcuch w rodzinie ${\mathcal {A}}$ jest mocy co najwyżej $\aleph _{1},$

to istnieje filtr $G\subseteq \mathrm {RO} (\mathbb {P} ),$ który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z ${\mathcal {A}}$ (tzn. $(\forall A\in {\mathcal {A}})(A\cap G\neq \varnothing )$ ).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

Historia i niesprzeczność

Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980^[1].
W 1982, Szelach opublikował monografię^[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
W 1995, Martin Goldstern i Saharon Szelach wprowadzają BPFA^[3] który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Szelacha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje $\omega _{1}$ )^[4]^[5]^[6] Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej $\aleph _{1}$ mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby złapać swój własny ogon. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą.

Twierdzenie [Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba super-zwarta” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+PFA” jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:

Twierdzenie [Goldstern-Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba Mahlo” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+BPFA” jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Szelach podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

Przykłady forsingów proper

Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.
Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkach^[7].

Przykłady konsekwencji

Załóżmy PFA. Wówczas:

$2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{1}}=\aleph _{2},$
MA,
SCH,
nie istnieją drzewa Kurepy,
suma $\aleph _{1}$ (s₀)-zbiorów Marczewskiego jest $(s_{0})$ -zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór $A\subseteq \mathbb {R}$ prostej rzeczywistej jest $\aleph _{1}$ -gęsty w $\mathbb {R}$ jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego $P\subseteq \mathbb {R}$ mamy, że $|A\cap P|=\aleph _{1}.$

Zakładając PFA, każde dwa $\aleph _{1}$ -gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzne^[8].

Zobacz też

Przypisy

↑ Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.
↑ Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.
↑ Goldstern, Martin; Szelach, Saharon: The bounded proper forcing axiom. „J. Symbolic Logic” 60 (1995), s. 58–73.
↑ Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.
↑ Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
↑ Rosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.
↑ Baumgartner, James: Applications of the proper forcing axiom, w: Handbook of set-theoretic topology, s. 913–959. North-Holland, Amsterdam, 1984.

[1] Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.

[2] Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.

[3] Goldstern, Martin; Szelach, Saharon: The bounded proper forcing axiom. „J. Symbolic Logic” 60 (1995), s. 58–73.

[4] Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.

[5] Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.

[6] Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.

[7] Rosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.

[8] Baumgartner, James: Applications of the proper forcing axiom, w: Handbook of set-theoretic topology, s. 913–959. North-Holland, Amsterdam, 1984.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]