Operator ściśle singularny

Operator ściśle singularny (operator Kato) – operator liniowy i ograniczony $T$ między przestrzeniami Banacha $X$ i $Y$ o tej własności, że dla każdej skończenie wymiarowej podprzestrzeni $D$ przestrzeni $X$ i dla każdej dodatniej liczby $\varepsilon$ istnieje taki wektor $x$ o normie 1 należący do $D,$ że

$\|Tx\|<\varepsilon .$

Mówiąc obrazowo, operator ściśle singularny, to taki operator ograniczony, który nie działa jako izomorfizm na żadnej domkniętej nieskończenie wymiarowej podprzestrzeni swojej dziedziny. Klasa operatorów ściśle singularnych została wyróżniona w 1958 roku przez Tosio Kato.

Rodzinę operatorów ściśle singularnych między przestrzeniami $X$ i $Y$ oznacza się na ogół symbolem

${\mathcal {S}}(X,Y)$

(bądź $S(X),$ gdy $X=Y$).

Własności

• Zbiór $S(X)$ jest domkniętym ideałem w algebrze $B(X)$ wszystkich operatorów ograniczonych na $X.$ Ideał ten zawiera ideał $K(X)$ wszystkich operatorów zwartych. Jeżeli $X$ jest (niekoniecznie ośrodkową) przestrzenią Hilberta bądź $X=\ell _{p}$(przestrzeń Lp) bądź $X=c_{0}$ (przestrzeń c0) lub $X$ jest $p$-tą przestrzenią Jamesa $(1<p<\infty )$, to ideał operatorów ściśle singularnych na $X$ pokrywa się z ideałem operatorów zwartych. Istnieją przestrzenie Banacha $X$ dla których ideał $S(X)$ jest ściśle większy od $K(X),$ na przykład, $X=\ell _{p}\oplus \ell _{q}$ przy $1<p<q<\infty$.
• W przeciwieństwie do natury operatorów (słabo) zwartych, operator sprzężony do operatora ściśle singularnego nie musi być ściśle singularny (por. twierdzenie Gantmacher).
• W.T. Gowers i B. Maurey podali jako pierwsi przykład nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha $E$ o tej własności, że każda podprzestrzeń komplementarna jest skończenie wymiarowa oraz każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni $E$ również ma tę własność (tzw. dziedzicznie nierozkładalna przestrzeń Banacha lub przestrzeń HI). Każdy operator ograniczony $T\colon E\to E$ na zespolonej przestrzeni HI $E$ może być zapisany w postaci $T=cI+S,$ gdzie $c$ jest pewnym skalarem, $I$ operatorem identyczności, a $S$ pewnym operatorem ściśle singularnym na $E.$

Bibliografia

• A. Pietsch, Operator ideals, North-Holland Math. Lib. 20, North-Holland, 1980.