Miara Dieudonnégo

Miara Dieudonnégo – przykład miary zewnętrznie regularnej, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich przestrzeni $\omega _{1},$ tj. przestrzeni wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych z topologią porządkową. Nazwa tej miary została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Jeana Dieudonnégo.

Konstrukcja

Na zbiorze (liczbie porządkowej) $\omega _{1}$ można rozważać topologię porządkową. Można wykazać, że σ-ciało Bor(ω₁) borelowskich podzbiorów przestrzeni ω₁ daje się opisać w następujący sposób:

${\mbox{Bor}}(\omega _{1})=\{A\subseteq \omega _{1}\colon \;(\exists {C\in \operatorname {Club} (\omega _{1})})(C\subseteq A\vee C\cap A=\varnothing )\},$

gdzie Club(ω₁) oznacza zbiór wszystkich clubów na liczbie kardynalnej $\omega _{1},$ tj. rodzinę jej domkniętych i nieograniczonych podzbiorów.

Funkcja

$\mu \colon {\mbox{Bor}}(\omega _{1})\to [0,\infty ]$

dana wzorem:

$\mu (A)=1,$ gdy istnieje taki zbiór C ∈ Club(ω₁), że C ⊆ A, oraz

$\mu (A)=0,$ w przeciwnym wypadku,

dla A ∈ Bor(ω₁), jest miarą. Miarę tę nazywa się miarą Dieudonnégo.

Własności

• $\mu (\omega _{1})=1,$ więc miara Dieudonnégo jest miarą probablilistyczną; miara ta przyjmuje tylko dwie wartości: 0 i 1.
• Miara Dieudonnégo jest zewnętrznie regularna.
• Miara Dieudonnégo jest zupełna.
• Przy założeniu AD, każdy podzbiór ω₁ jest mierzalny w sensie miary Dieudonnégo (czyli każdy podzbiór $\omega _{1}$ albo jest niestacjonarny albo zawiera zbiór domknięty nieograniczony), tj. pod tym założeniem ω₁ jest liczbą mierzalną. Jednocześnie istnieje podzbiór produktu $\omega _{1}\times \omega _{1}$ który nie jest mierzalny względem odpowiedniej miary produktowej. (To ostatnie stwierdzenie jest twierdzeniem w ZF + DC.)