Metoda linii

Metoda linii (ang. method of lines, MOL, NMOL, NUMOL^[1]^[2]^[3]) – technika numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na dyskretyzacji przestrzennej danego równania (najczęściej za pomocą metody różnic skończonych^[2]), co prowadzi do układu równań różniczkowych zwyczajnych na siatce przestrzennej, który można scałkować względem czasu za pomocą szeroko dostępnych metod numerycznych^[4].

Pierwsze prace dotyczące metody linii zostały opublikowane w latach 60 ubiegłego wieku^[5]. W późniejszym okresie opublikowano szereg prac na temat stabilności w zastosowaniu do różnych typów równań różniczkowych cząstkowych^[6]^[7]. Nazwa metody pochodzi od tzw. całkowania wzdłuż linii. Mianowicie po dyskretyzacji przestrzennej całkowanie po czasie odbywa się dla wybranych punktów siatki przestrzennej. Jeśli otrzymane rozwiązanie zostanie przedstawione w płaszczyźnie $x-u(t,x),$ to długości poszczególnych, równoległych do siebie linii przedstawiały będą ewolucję w czasie rozwiązania równania w wybranych punktach przestrzennych (patrz ilustracja obok)^[1].

Metoda linii może być również stosowana w przypadku eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych, mimo braku pochodnej po czasie^[8]. W tym celu stosowane są tzw. metody całkowania w pseudoczasie (ang. false transient metod)^[9].

Przypisy

↑ ^a ^b William Schiesser: The Numerical Method of Lines. Academic Press, 1991. ISBN 0-12-624130-9.
↑ ^a ^b Hamdi, S., W.E. Schiesser, G.W. Griffiths (2007), Method of lines, Scholarpedia, 2(7):2859.
↑ William Schiesser, G.W. Griffiths: A Compendium of Partial Differential Equation Models: Method of Lines Analysis with Matlab. Cambridge University Press, 2009. ISBN 978-0-521-51986-1.
↑ H.J. Lee, William Schiesser: Ordinary and Partial Differential Equation Routines in C, C++, Fortran, Java, Maple and Matlab. CRC Press, 2004. ISBN 1-58488-423-1.
↑ E.N. Sarmin, L.A. Chudov (1963), On the stability of the numerical integration of systems of ordinary differential equations arising in the use of the straight line method, „USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics”, 3(6), (s. 1537–1543).
↑ A. Zafarullah (1970), Application of the Method of Lines to Parabolic Partial Differential Equations With Error Estimates, „Journal of the Association for Computing Machinery”, 17 (2), a. 294–302.
↑ J.G. Verwer, J.M. Sanz-Serna (1984), Convergence of method of lines approximations to partial differential equations, „Computing”, 33(3–4), s. 297–313.
↑ P.W.C. Northrop, P.A. Ramachandran, W.E. Schiesser, V.R. Subramanian(2013). A Robust False Transient Method of Lines for Elliptic Partial Differential Equations, „Chem. Eng. Sci.”, 90; s. 32–39.
↑ Tomasz Michałek: Metoda oceny wiarygodności symulacji numerycznych przepływów lepkich i termicznych (praca doktorska). Warszawa: Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, 2005, s. 27.

Linki zewnętrzne

Metoda linii (ang.)
Metoda linii – wikibooks (ang.)

[Schiesser1991-1] William Schiesser: The Numerical Method of Lines. Academic Press, 1991. ISBN 0-12-624130-9.

[Hamdi2007-2] Hamdi, S., W.E. Schiesser, G.W. Griffiths (2007), Method of lines, Scholarpedia, 2(7):2859.

[Schiesser2009-3] William Schiesser, G.W. Griffiths: A Compendium of Partial Differential Equation Models: Method of Lines Analysis with Matlab. Cambridge University Press, 2009. ISBN 978-0-521-51986-1.

[Lee2004-4] H.J. Lee, William Schiesser: Ordinary and Partial Differential Equation Routines in C, C++, Fortran, Java, Maple and Matlab. CRC Press, 2004. ISBN 1-58488-423-1.

[Sarmin1962-5] E.N. Sarmin, L.A. Chudov (1963), On the stability of the numerical integration of systems of ordinary differential equations arising in the use of the straight line method, „USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics”, 3(6), (s. 1537–1543).

[Zafarullah1970-6] A. Zafarullah (1970), Application of the Method of Lines to Parabolic Partial Differential Equations With Error Estimates, „Journal of the Association for Computing Machinery”, 17 (2), a. 294–302.

[Verwer1984-7] J.G. Verwer, J.M. Sanz-Serna (1984), Convergence of method of lines approximations to partial differential equations, „Computing”, 33(3–4), s. 297–313.

[P_W_C_Northrop_P_A_Ramachandran-8] P.W.C. Northrop, P.A. Ramachandran, W.E. Schiesser, V.R. Subramanian(2013). A Robust False Transient Method of Lines for Elliptic Partial Differential Equations, „Chem. Eng. Sci.”, 90; s. 32–39.

[Michałek2005-s27-9] Tomasz Michałek: Metoda oceny wiarygodności symulacji numerycznych przepływów lepkich i termicznych (praca doktorska). Warszawa: Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, 2005, s. 27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]