Diagram Schlegela

Diagramy Schlegela wielościanów

Diagram Schlegela wielościanu wypukłego – obraz brzegu wielościanu w rzucie środkowym o środku S na płaszczyznę $\pi ,$ gdzie:

1. Płaszczyzna $\pi$ jest równoległa do jednej ze ścian ${\mathfrak {s}}$ wielościanu i leży po tej samej stronie płaszczyzny $\pi _{\mathfrak {s}}$ zawierającej ścianę ${\mathfrak {s}}$
2. Środek rzutowania S znajduje się w takiej odległości od ściany ${\mathfrak {s}},$ że rzuty wszystkich ścian wielościanu są zawarte w rzucie ${\mathfrak {s}}.$

W przypadku wielościanu foremnego punkt rzutowania umieszcza się zwykle nad środkiem ściany, odpowiednio blisko jej.

Podstawowa własność diagramu Schlegela. Rzuty wszystkich ścian wielościanu poza ${\mathfrak {s}}$ wypełniają rzut ściany ${\mathfrak {s}},$ a rzuty poszczególnych ścian mają wspólny wierzchołek lub wspólny bok wtedy i tylko wtedy, gdy same ściany wielościanu mają tę własność.

Korzystając z powyższej własności, można opisać diagram Schlegela wielościanu w sposób następujący: Jest to zbiór wielokątów wypukłych ${\mathfrak {w}}_{1},\dots ,{\mathfrak {w}}_{n}$ odpowiadających (wszystkim) ścianom wielościanu ${\mathfrak {s}}_{1},\dots ,{\mathfrak {s}}_{n}$ o następujących własnościach:

1. Dla każdego $k\in \{1,\dots n\}$ wielokąt ${\mathfrak {w}}_{k}$ ma tyle samo boków, co ściana ${\mathfrak {s}}_{k}.$
2. Suma mnogościowa wielokątów ${\mathfrak {w}}_{2},\dots ,{\mathfrak {w}}_{n}$ jest równa wielokątowi ${\mathfrak {w}}_{1}.$
3. Dwa wielokąty mają wspólny wierzchołek (wspólną ścianę) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im ściany mają wspólny wierzchołek (wspólną krawędź)

Konstrukcja diagramu Schlegela wielościanu zwykłego

W deformacji (homeomorfizmie) ${\mathfrak {d}}$ przekształcającej wielościan zwykły na kulę powierzchnia wielościanu jest przekształcana na sferę. Przy czym wierzchołki wielościanu są przekształcane na wierzchołki, a krawędzie na łuki położone na sferze. Ściany ${\mathfrak {s}}_{1},\dots ,{\mathfrak {s}}_{n}$ są w deformacji przekształcane na obszary ${\mathfrak {o}}_{1},\dots ,{\mathfrak {o}}_{n},$ które można uznać za wielokąty krzywoliniowe, a krawędzie i wierzchołki każdej ściany są przekształcane na łuki, których sumy tworzą brzeg odpowiadającego jej obszaru. Niech X będzie dowolnie wybranym punktem obszaru ${\mathfrak {o}}_{1}.$ Rzuty stereograficzne wielokątów krzywoliniowych ${\mathfrak {o}}_{2},\dots ,{\mathfrak {o}}_{n}$ to wielokąty krzywoliniowe ${\mathfrak {v}}_{1},\dots ,{\mathfrak {v}}_{n},$ których suma domknięć ma brzeg równy brzegowi obrazu obszaru ${\mathfrak {o}}_{1}.$ Otrzymany układ wielokątów krzywoliniowych tworzy diagram Schlegela wielościanu zwykłego.

Bibliografia

• Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956. Brak numerów stron w książce
• Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967. Brak numerów stron w książce
• Loeb A. L.: Space Structures. Addison-Wesley, 1976. Brak numerów stron w książce