Urodzony w Rijece Šarić zaczynał karierę w tamtejszym klubie NK Rijeka, do której trafił w 1989 roku. Rijeka grała wtedy w lidze dawnej Jugosławii. W Rijece grał do lata 1993 rozgrywając przez ten okres 27 meczów i strzelając 6 bramek. Wtedy trafił do hiszpańskiegoSporting Gijón, który rok w rok bronił się przed spadkiem w Primera División. Okres gry w Sportingu nie należał dla Daniela do szczególnie udanych, w sezonie 1993/1994 zajął 13. miejsce, a w kolejnym było gorzej bo 18. miejsce i utrzymanie zapewnił sobie dopiero po barażach. Šarić latem 1995 zdecydował się odejść ze Sportingu, dla którego rozegrał 33 ligowe mecze i strzelił 3 gole. Wrócił do ojczyzny i trafił do chcącego odebrać Hajdukowi Split tytuł mistrza kraju, Dinama Zagrzeb. Dinamu całkowicie się to udało i z Šariciem w składzie pięć razy z rzędu zdobywało tytuł mistrza Chorwacji. Ogółem w Dinamie przez 5 sezonów rozegrał 108 meczów i zdobył 8 bramek. Latem 2000 wyjechał do Grecji, chciał ponownie spróbować sił w klubie zagranicznym. Trafił do Panathinaikosu AO, w którym jednak nie zawsze był zawodnikiem podstawowego składu. W "Koniczynkach" nie zdobył żadnego trofeum, zaliczył mecze w Lidze Mistrzów, a przez 3 lata gry w Atenach wystąpił w 42 meczach i zdobył 2 bramki. W 2003 roku przeszedł na zasadzie wolnego transferu do swojego obecnego klubu, NK Rijeka, w barwach której już dwukrotnie udało mu się zdobyć Puchar Chorwacji (2005, 2006).
W reprezentacji Chorwacji Šarić zadebiutował 11 października1997 roku w wygranym 3:1 meczu z reprezentacją Słowenii. Jego jedynym wielkim turniejem na jakim grał były Mistrzostwa Świata w 2002. Šarić rozegrał tam 3 mecze, w tym 2 w podstawowym składzie, jednak Chorwacja nie wyszła wówczas ze swojej grupy. Po mistrzostwach zakończył reprezentacyjną karierę. W kadrze w 30 meczach Šarić nie zdobył żadnej bramki.
