Zdarzenia losowe niezależne

Zdarzenia losowe niezależne – zdarzenia $A,B\in {\mathcal {A}}$ na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ spełniające warunek

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).

Taka postać warunku na niezależność zdarzeń $A$ i $B$ wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie $A$ nie zależy od zdarzenia $B,$ jeśli wiedza na temat zajścia $B$ nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia $A.$

Wychodząc z tych intuicji można korzystając z pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego podać równoważną definicję niezależności zdarzeń $A,B{:}$

P(A|B)=P(A)

P(B|A)=P(B)

przy założeniu $P(A)\neq 0,\;P(B)\neq 0.$

Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli $A_{1},\dots ,A_{m}\in {\mathcal {A}},$ to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek

P(A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot P(A_{i_{k}})

dla każdego układu indeksów

i_{1},\dots ,i_{k}

oraz dla każdego

k=1,2,\dots ,m.

Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia $A_{1},A_{2},\dots$ są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia $A_{i_{1}},\dots ,A_{i_{n}}$ są niezależne.

Z drugiej strony definiuje się też zdarzenia losowe niezależne parami, co w przypadku (skończonego lub nieskończonego) ciągu zdarzeń $(A_{i})$ ma miejsce wtedy, gdy dowolna para zdarzeń z tego ciągu jest niezależna. Warunek ten jest słabszy od warunku „pełnej” niezależności zdarzeń.

Własności

Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. Mylenie zdarzeń niezależnych z rozłącznymi jest często występującym i bardzo poważnym błędem.
Gdy zdarzenia $A_{1},\dots ,A_{n}$ są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne $A_{1}',\dots ,A_{n}'$ też są niezależne oraz:

P\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)=P\left(\left(\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}'\right)'\right)=1-P\left(\bigcap _{k=1}^{n}A_{k}'\right)=1-\prod _{k=1}^{n}P(A_{k}')=1-\prod _{k=1}^{n}(1-P(A_{k})).

Porównaj: prawa De Morgana.

Niezależność σ-ciał

σ-ciała ${\mathcal {F}}_{1},\dots ,{\mathcal {F}}_{n},$ gdzie ${\mathcal {F}}_{i}\subseteq {\mathcal {A}}$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$ nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych $A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}$

P(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n})=P(A_{1})\cdot \ldots \cdot P(A_{n}).

Jeżeli $A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n},$ to przez $\sigma (A_{i})$ rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie $A_{i},$ tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór $A_{i}.$ Dokładniej, dla $i\in \{1,\dots ,n\}$

\sigma (A_{i})=\{\varnothing ,\Omega ,A_{i},\Omega \setminus A_{i}\}.

Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia $A_{1},\dots ,A_{n}$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała $\sigma (A_{1}),\dots ,\sigma (A_{n})$ są niezależne.

Zobacz też

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43–47.
Przystępne wyjaśnienie niezależności zdarzeń na przykładzie