Zbiór otwarto-domknięty

Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów.

Przykłady

• W każdej przestrzeni topologicznej $X,$ zbiór pusty oraz cała przestrzeń $X$ są zbiorami otwarto-domkniętymi.
• Niech przestrzeń $X=[0,1]\cup [2,3]$ będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń $X$ ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, $X,[0,1],[2,3].$
• Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru $\mathbb {Q}$ liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór $A=\{r\in \mathbb {Q} :r^{2}<2\}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem $\mathbb {Q} .$ Ogólniej, jeśli $I$ jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to $I\cap \mathbb {Q}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem $\mathbb {Q}$ (mimo iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej $\mathbb {R}$).
• Jeśli $J\subseteq \mathbb {R}$ jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to $J\setminus \mathbb {Q}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w $\mathbb {R}$).

Własności

• Przestrzeń topologiczna $X$ jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w $X$ są zbiór pusty oraz cała przestrzeń $X.$
• Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
• Rodzina $\mathrm {Clop} (X)$ wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni $X$ tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura $(\mathrm {Clop} (X),\cup ,\cap ,{}',\varnothing ,X)$ jest algebrą Boole’a.
• Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Zobacz też

• przestrzeń całkowicie niespójna
• przestrzeń ekstremalnie niespójna
• przestrzeń zero-wymiarowa

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 234. ISBN 978-83-01-15232-1.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Clopen, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].