Ułamek

Ułamek – wyrażenie arytmetyczne lub algebraiczne postaci ${\tfrac {a}{b}},$ gdzie $a$ i $b$ są dowolnymi wyrażeniami tego typu. Wielkość $a$ jest znana jako licznik, $b$ jako mianownik, a oddzielającą je linia jako kreska ułamkowa. Wartością ułamka jest iloraz licznika przez mianownik, dlatego wartość ta istnieje tylko dla mianowników różnych od zera – dzielenie ${\tfrac {a}{0}}$ nie jest określone.

W tych przegródkach znajduje się 7 gołębi. Jeden gołąb to jedna część z siedmiu – jedna siódma stadka, czyli nieco więcej niż 14% wszystkich.

Ciasto dzielimy na cztery równe części. Jedna część to ¼, czyli 25% całego ciasta – jeśli dodamy wszystkie cztery kawałki, uzyskamy całe ciasto.

Podstawowy typ ułamków to ułamki zwykłe – ich liczniki i mianowniki są liczbami całkowitymi. Są to zapisy (reprezentacje) liczb wymiernych. Wyróżnia się kilka rodzajów ułamków zwykłych jak właściwe, niewłaściwe, skracalne i nieskracalne, opisane dalej. Do ułamków zwykłych czasem zalicza się:

• ułamki dziesiętne, które są jednak zapisywane bez kreski ułamkowej, jako dwa ciągi cyfr rozdzielone separatorem dziesiętnym;
• procenty, promile i tym podobne zapisy stosunków bezwymiarowych;
• ułamki egipskie, przy czym ten termin ma różne znaczenia.

Ułamki zwykłe są rozważane od starożytności, a ułamki dziesiętne z zapisem pozycyjnym upowszechniły się w nowożytności. Ułamki zwykłe, dziesiętne i procenty stały się tematem nauczanym w szkołach podstawowych, np. w Polsce w XXI wieku są częścią podstawy programowej klas IV–VIII.

W arytmetyce oprócz ułamków zwykłych wyróżnia się też:

• ułamki mieszane, czyli sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego;
• ułamki piętrowe, gdzie licznik i mianownik same są ułamkami;
• ułamki łańcuchowe – sumy liczby całkowitej i ułamka, którego licznik jest jedynką, a mianownik innym ułamkiem łańcuchowym.

W algebrze rozważa się między innymi ułamki zbudowane z wielomianów – wyrażenia wymierne. Operowanie na nich jest wymagane w polskich szkołach średnich, także w zakresie podstawowym. Algebra wyższa bada między innymi ułamki zbudowane z bardziej ogólnych, abstrakcyjnych obiektów jak elementy innych pierścieni całkowitych – zbiorów z działaniami dodawania, odejmowania i mnożenia o odpowiednich własnościach.

Liczby wymierne

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. $1+{\tfrac {2}{3}}$ staje się $1{\tfrac {2}{3}}.$

Działania na ułamkach

Dla każdego $c\neq 0$ ułamek ${\tfrac {a}{b}}$ jest równy ${\tfrac {ac}{bc}}.$ Operację zamiany ${\tfrac {a}{b}}$ na ${\tfrac {ac}{bc}}$ nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}},\quad {}$ na przykład: ${\frac {2}{9}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {8}{45}}$

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.$

Przedstawienie liczby $k$ w postaci ułamka ${\tfrac {k}{1}}$ prowadzi do wzorów:

${\frac {a}{b}}\cdot k={\frac {ak}{b}},$

${\frac {a}{b}}:k={\frac {a}{bk}}.$

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

${\frac {a}{m}}+{\frac {b}{m}}={\frac {a+b}{m}},\qquad {\frac {a}{m}}-{\frac {b}{m}}={\frac {a-b}{m}}.$

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}},\qquad {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.$

Liczba $bd$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $b$ i $d.$

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

${\frac {450}{3150}}={\frac {450:50}{3150:50}}={\frac {9}{63}}={\frac {9:9}{63:9}}={\frac {1}{7}}$

Wzór:

${\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}}={\frac {d:f}{e:f}}={\frac {g}{h}}$ lub można skrócić na ${\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}},$ gdzie $b\neq 0,$ $c\neq 0,$ $e\neq 0,$ $f\neq 0$ oraz $h\neq 0.$

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 1) lub ma postać ${\frac {1}{a}},$ gdzie $a\neq 0.$

Przykład: Ułamek ${\frac {9}{40}}$ jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Ułamki często wykorzystywane są do obliczania stóp procentowych, gdzie stopa procentowa wyrażana jest jako ułamek, na przykład 5% to ${\tfrac {5}{100}}$

Przykład: Obliczenie rocznych odsetek z lokaty 1000 zł przy stopie 5%: Odsetki = 1000 zł × ​${\tfrac {5}{100}}$ = 50 zł

Wyrażenia wymierne

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków

Dla każdego pierścienia całkowitego $P$ (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Istotność założenia całkowitości pierścienia

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli $xy=0$ dla niezerowych $x,y\in P,$ to

$[1,1]\sim [x,x]=[x,1]\cdot [1,x]\sim [xy,y]\cdot [1,x]=[0,y]\cdot [1,x]\sim [0,1]\cdot [1,x]=[0,x]\sim [0,1],$

czyli

$[1,1]\sim [0,1],$

stąd zaś dla dowolnego

$[a,b]=[a,b]\cdot [1,1]\sim [a,b]\cdot [0,1]=[0,b]\sim [0,1],$

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa $[0,1],$ a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. $3/4;$ jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. ${\tfrac {3}{4}}.$

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:

Nazwa	Znak	Unicode	Kod HTML
Jedna czwarta	¼	U+00BC	¼ lub ¼
Jedna druga	½	U+00BD	½ lub ½
Trzy czwarte	¾	U+00BE	¾ lub ¾
Jedna siódma	⅐	U+2150	⅐ lub ⅐
Jedna dziewiąta	⅑	U+2151	⅑ lub ⅑
Jedna dziesiąta	⅒	U+2152	⅒ lub ⅒
Jedna trzecia	⅓	U+2153	⅓ lub ⅓
Dwie trzecie	⅔	U+2154	⅔ lub ⅔
Jedna piąta	⅕	U+2155	⅕ lub ⅕
Dwie piąte	⅖	U+2156	⅖ lub ⅖
Trzy piąte	⅗	U+2157	⅗ lub ⅗
Cztery piąte	⅘	U+2158	⅘ lub ⅘
Jedna szósta	⅙	U+2159	⅙ lub ⅙
Pięć szóstych	⅚	U+215A	⅚ lub ⅚
Jedna ósma	⅛	U+215B	⅛ lub ⅛
Trzy ósme	⅜	U+215C	⅜ lub ⅜
Pięć ósmych	⅝	U+215D	⅝ lub ⅝
Siedem ósmych	⅞	U+215E	⅞ lub ⅞
Jedna ...	⅟	U+215F	⅟ lub ⅟

Zobacz też

• proporcja

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fraction, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Fraction (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].