Trójkąt

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Trójkąt

Liczba boków	3
Liczba przekątnych	0
Symbol Schläfliego	{3} (trójkąt równoboczny)
Kąt wewnętrzny	60° (trójkąt równoboczny)

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami.

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).

Rodzaje

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty
∡CAB, ∡ABC, ∡ACB — kąty (inny sposób oznaczania)

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

• trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
• trójkąt równoramienny ma dwa boki (ramiona) tej samej długości;
• trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; wszystkie jego kąty są tej samej miary.

równoboczny	równoramienny	różnoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

• trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre;
• trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
• trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Ważne pojęcia

Wysokość trójkąta to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok i który jest prostopadły do tej prostej. Często wysokością nazywa się również długość tego odcinka. Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia) nazywa się spodkiem tej wysokości. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Wysokości trójkąta (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum.

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, nazywanym środkiem ciężkości (barycentrum, środkiem masy) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela – punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a – punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkty Brocarda – w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Punkt Fermata – punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

wysokości i ortocentrum	środkowe i barycentrum	symetralne i okrąg opisany	dwusieczne i okrąg wpisany

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków $S_{1},$ symetralnych boków $S_{2},$ wysokości $S_{3}$ (odpowiednio: barycentrum, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto $|S_{1}S_{3}|=2|S_{1}S_{2}|.$

Pole powierzchni

Przyjmując dla trójkąta $ABC$ następujące oznaczenia:

$a,\ b,\ c$ – długości boków;

$h_{a},\ h_{b},\ h_{c}$ – wysokości opuszczone na boki odpowiednio $a,\ b,\ c;$

$\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ – kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio $a,\ b,\ c;$

$S$ – pole powierzchni;

$R$ – promień okręgu opisanego;

$r$ – promień okręgu wpisanego;

$p$ – połowa obwodu; $p={\frac {a+b+c}{2}};$

dostaniemy następujące wzory na pole powierzchni:

Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.

$S={\frac {ah_{a}}{2}}={\frac {bh_{b}}{2}}={\frac {ch_{c}}{2}};$

$S={\frac {ab\sin \gamma }{2}}={\frac {bc\sin \alpha }{2}}={\frac {ca\sin \beta }{2}};$

$S=pr={\frac {abc}{4R}};$

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ (wzór Herona);

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}$ (postać wyznacznikowa).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

$S={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}=$

$=2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .$

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkąta

$A=(x_{A},y_{A}),$

$B=(x_{B},y_{B}),$

$C=(x_{C},y_{C}),$

dostaniemy także następujące wzory:

$S=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}\right|,$ czyli

$S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{bmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}\left|{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{A}y_{B}+x_{B}y_{C}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}-x_{A}y_{C}-x_{B}y_{A}|;$

$S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{bmatrix}x_{B}-x_{A}&y_{B}-y_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}\end{bmatrix}}\right|.$

Środek geometryczny

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

$A=(x_{A},y_{A}),$

$B=(x_{B},y_{B}),$

$C=(x_{C},y_{C}),$

ma środek geometryczny (barycentrum) w punkcie:

$Q=\left({\frac {x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}},\ {\frac {y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}}\right).$

Nierówność trójkąta

Wizualizacja „działania” nierówności trójkąta

W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą $a,$ $b$ i $c$ zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

$a<b+c,$

i analogicznie

$b<c+a,$

$c<a+b.$

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą $a,$ $b$ i $c$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

$|b-c|<a<b+c.$

Geometrie nieeuklidesowe

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli $180^{\circ }=\pi .$

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód, a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

Zobacz też

• okrąg dziewięciu punktów
• sympleks
• trójkąt Penrose’a
• trójkąt sferyczny
• trójkąt wymierny
• twierdzenia: sinusów, cosinusów, tangensów
• twierdzenie Cevy, trygonometryczne
• twierdzenie Menelaosa
• twierdzenie Pitagorasa
• wzór Herona

Bibliografia

• Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8 .

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Dziesięć wzorów na pole trójkąta, „Delta”, kwiecień 2009, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., P = 1/2 ah, „Delta”, październik 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-01] .
• PiotrP. Pikul PiotrP., Jak wyznaczyć najbardziej dowolny trójkąt?, „Delta”, czerwiec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].