Symbol Newtona
Symbol Newtona, współczynnik dwumianowy (dwumienny) Newtona – funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako[1][2]:
- dla
gdzie oznacza silnię liczby całkowitej nieujemnej
Symbol odczytuje się n nad k, n po k lub k z n.
Symbol Newtona można równoważnie wyrazić wzorem rekurencyjnym:
Symbol Newtona pojawia się we wzorze dwumiennym Newtona[3] jako współczynnik w -tym wyrazie rozwinięcia -tej potęgi sumy dwu składników – stąd jego druga nazwa współczynnik dwumienny Newtona.
Własności symbolu Newtona
edytujZwiązki kombinatoryczne
edytujSymbol Newtona równy jest liczbie wszystkich -elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru -elementowego ( -elementowych podzbiorów zbioru -elementowego). Liczba ta jest też oznaczana jako w literaturze angielskiej spotyka się oznaczenie w amerykańskiej (od wyrażenia „n choose k”, czyli „n brane po k”).
Zatem poniższe symbole są równoważnymi oznaczeniami liczby dwuelementowych kombinacji ze zbioru siedmioelementowego:
Pochodzenie wzoru iteracyjnego
edytujKażdą kombinację -elementową ze zbioru -elementowego można utworzyć, wybierając kolejno różnych elementów. Uzyskuje się w ten sposób -elementowy ciąg, czyli wariację ze zbioru Wariacji takich jest
Kombinacje, jako podzbiory, w przeciwieństwie do wariacji, czyli ciągów, nie mają ustalonej kolejności elementów. Dwie różne wariacje, różniące się tylko kolejnością elementów, dają tę samą kombinację. Liczba -elementowych kombinacji jest więc mniejsza od liczby -elementowych wariacji tylokrotnie, ile jest różnych porządków (przestawień, czyli permutacji) takiego ciągu. A ponieważ permutacji -elementowych jest
ostatecznie:
Pochodzenie wzoru rekurencyjnego
edytujZ każdego zbioru -elementowego można wybrać tylko jedną kombinację 0-elementową (czyli podzbiór pusty, ), stąd liczba kombinacji pustych
Z każdego zbioru -elementowego można wybrać tylko jedną kombinację -elementową (podzbiór niewłaściwy, równy całemu zbiorowi: ), stąd liczba takich kombinacji
Oba powyższe stwierdzenia dotyczą oczywiście także zbioru pustego
Niech teraz będzie niepustym zbiorem -elementowym Wyłączymy zeń jeden element, i oznaczymy pozostały podzbiór -elementowy przez
Wśród wszystkich niepustych kombinacji k-elementowych wyróżnić można te, które zawierają element i pozostałe, które go nie zawierają.
- Każdą -elementową kombinację zawierającą można przedstawić jako unię pewnej -elementowej kombinacji i jednoelementowego zbioru Ponieważ przy tym zawiera się w -elementowym to kombinacji takich jest
- Każda k-elementowa kombinacja nie zawierająca sama zawiera się w czyli w -elementowym zbiorze Zatem kombinacji takich jest
Stąd ostatecznie dla liczba kombinacji -elementowych równa jest sumie liczb kombinacji obu rodzajów:
Tożsamości algebraiczne
edytujSkracając w definicji czynnik otrzymuje się:
co dla dodatnich wartości rozwija się do uproszczonej postaci iteracyjnej[1]:
Dla puste iloczyny stają się równe jedności, i w efekcie[1]:
Dla w liczniku i mianowniku zostaje tylko pierwszy czynnik, stąd:
– jeden element spośród wybrać można na sposobów.
Inne tożsamości:
liczba kombinacji dopełniających[1]:
liczba kombinacji pustych (i dopełniających do pustych):
liczba kombinacji w zbiorze pustym:
suma współczynników dwumianu Newtona
Teoria liczb
edytujLiczba pierwsza dzieli każdą liczbę dla
Dowód: W liczniku wyrażenia występuje zaś w mianowniku tylko liczby mniejsze, które ze względu na pierwszość liczby nie mogą być jej dzielnikami (oprócz 1). Ponieważ liczba jest całkowita, w jej rozkładzie na czynniki pierwsze występuje
Wniosek: W ciele zachodzi równość:
Trójkąt Pascala
edytujWartości kolejnych symboli Newtona można zapisać w postaci trójkąta Pascala:
0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kolejnym wierszom trójkąta odpowiadają kolejne wartości kolejnym wyrazom w każdym wierszu – kolejne wartości
Skrajne wyrazy w każdym wierszu równe są jedności, każdy wyraz (poza skrajnymi) jest sumą dwu wyrazów stojących bezpośrednio nad nim, w poprzednim wierszu. Schemat ten odpowiada wprost wzorowi rekurencyjnemu.
Obliczanie symbolu Newtona
edytujProsta, a równocześnie dość szybka metoda obliczania wartości współczynnika Newtona opiera się na uproszczonej postaci iteracyjnej:
oraz spostrzeżeniu o występowaniu czynników pierwszych w ciągu kolejnych liczb naturalnych:
- z każdych kolejnych dwu liczb naturalnych jedna jest parzysta (podzielna przez 2),
- z każdych kolejnych trzech liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 3,
- z każdych kolejnych czterech liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 4 itd.
To gwarantuje, że z liczb i jedna jest podzielna przez 2, a więc i iloczyn jest podzielny przez 2 – można więc obliczyć iloraz i iloraz ten jest liczbą całkowitą. Z kolei z liczb i jedna jest podzielna przez 3, zatem iloczyn dzieli się przez 3 (prócz tego, że na pewno dzieli się przez 2); zatem obliczony wcześniej iloraz po pomnożeniu przez można podzielić przez 3, a uzyskana wartość ilorazu znów jest liczbą całkowitą.
Tym sposobem, mnożąc i dzieląc na przemian, można obliczyć wartość współczynnika Newtona wykonując mnożeń i tyleż dzieleń całkowitoliczbowych. Dzięki odpowiedniemu uporządkowaniu działań w metodzie tej nie występują ułamki – wszystkie wyniki pośrednie są całkowite, a więc nie ma ryzyka błędów zaokrąglenia.
Przykładowa procedura w Pascalu:
function WspNewtona( n, k : integer ) : integer;
var
wynik : integer;
i : integer;
begin
wynik := 1;
for i := 1 to k do
wynik := wynik * (n - i + 1) div i;
WspNewtona := wynik;
end;
Przykładowa metoda 64-bitowa w Javie kontrolująca przepełnienie typu Long:
long symbolNewtona(final long N, final long K)
{
assert N >= 0;
assert K >= 0;
if (N < K)
return 0L;
if (K == 0 || K == N)
return 1L;
if (K == 1 || K == N - 1)
return N;
long wynik = 1L;
try
{
final long maxK = Math.min(K, N - K);
for (long i = 1L; i <= maxK; i++)
wynik = Math.multiplyExact(wynik, (N - i + 1)) / i;
}
catch (ArithmeticException e)
{
return -1L;
}
return wynik;
}
Drugi przykład w Javie daje poprawne wyniki dla dowolnych dodatnich danych wejściowych:
BigInteger symbolNewtona(final long N, final long K)
{
assert N >= 0;
assert K >= 0;
if (N < K)
return BigInteger.valueOf(0);
if (K == 0L || K == N)
return BigInteger.valueOf(1);
if (K == 1L || K == N - 1L)
return BigInteger.valueOf(N);
BigInteger result = BigInteger.valueOf(1);
final long maxK = Math.min(K, N - K);
for (long i = 1L; i <= maxK; i++)
result = result.multiply(BigInteger.valueOf(N - i + 1L)).divide(BigInteger.valueOf(i));
return result;
}
Ta druga metoda jest efektywna czasowo i pamięciowo, jest tylko około trzy razy wolniejsza od wersji poprzedniej. W obu metodach sprawdzane są przypadki szczególne oraz zoptymalizowano liczbę pętli dla korzystając z faktu, że funkcja ta jest symetryczna.
Przykładowy predykat w Prologu:
silnia(0, 1) :- !.
silnia(1, 1) :- !.
silnia(N, X) :- N1 is N-1, silnia(N1, X1), X is N * X1.
npok(N, K, X) :- silnia(N, X1), silnia(K, X2), NK is N-K, silnia(NK, X3), X is X1 / (X2 * X3).
Procedura ta działa szybko i z minimalnym kosztem pamięciowym – wymaga tylko dwu pomocniczych zmiennych (a po dodatkowym usprawnieniu nie potrzebowałaby żadnych). Drobną wadą tego sposobu jest niewielki nadmiar w trakcie obliczeń: maksymalna wartość pośrednia, otrzymana przed ostatnim dzieleniem przez jest -krotnie większa od ostatecznego wyniku. To oznacza, że metody tej nie da się wykorzystać „do granic pojemności” typu całkowitego: maksymalna wiarygodna wartość obliczana tym sposobem zawsze będzie -krotnie niższa od największej wartości całkowitej dostępnej w danym komputerze, kalkulatorze bądź języku programowania.
Poniżej przedstawiona jest procedura rekurencyjna, pozbawiona tej wady.
function WspNewtonaRek( n, k : integer ) : integer;
begin
if (k = 0) or (k = n) then
WspNewtonaRek := 1
else
WspNewtonaRek := WspNewtonaRek( n-1, k-1 ) + WspNewtonaRek( n-1, k );
end;
Implementacja rekurencyjna bez użycia silni w Prologu:
symbolnewtona(N, K, fail) :- K > N, !.
symbolnewtona(K, K, 1) :- !.
symbolnewtona(N, 0, 1) :- !.
symbolnewtona(N, K, X) :- N1 is N-1, K1 is K-1, symbolnewtona(N1, K1, X1), symbolnewtona(N1, K, X2), X is X1 + X2, !.
Ten sposób opiera się wprost na rekurencyjnym wzorze:
Procedura ta nie ma wady poprzedniej metody – oblicza końcową wartość bez żadnego nadmiaru w wynikach pośrednich. Niestety, płaci się za to ogromnym kosztem obliczeń. Funkcja przestaje wywoływać samą siebie, dopiero gdy zwraca wartość 1 – to oznacza, że obliczenie wartości wymaga co najmniej wywołań funkcji (bezpośrednich i pośrednich). Złożoność czasowa jest więc nie mniejsza niż wartość funkcji: (zobacz Notacja dużego O). Równocześnie, jeśli tylko początkowa wartość nie jest równa 0 ani co najmniej jedna ścieżka rekursji kończy się na wywołaniu WspNewtonaRek(1, 0)
albo WspNewtonaRek(1, 1)
. Ścieżka ta prowadzi przez poziomów wywołań, w których parametr był kolejno zmniejszany aż do jedności. Głębokość rekurencji, a zatem złożoność pamięciowa jest więc ściśle liniowa i to w bardzo wrażliwym obszarze stosu.
Kolejnym krokiem pozwalającym na przyspieszenie obliczeń jest wykorzystanie programowania dynamicznego – można w tabeli przechowywać wyniki obliczeń poszczególnych kroków rekurencji, aby skrócić czas potrzebny na znalezienie danej wartości symbolu. Efektem ubocznym stosowania powyższej metody jest to, że otrzymuje się od razu wszystkie elementy trójkąta Pascala poprzedzające szukaną wartość.
Ograniczenia dla symbolu Newtona
edytujZachodzą następujące nierówności (z definicji oraz przyjmujemy by uniknąć dzielenia przez zero):
- ,
Dowód zapiszmy ponieważ przy zachodzi dla każdego
Dowód ponieważ dla każdego
Dowód Z wcześniejszego ograniczenia górnego mamy zauważmy że ponieważ jest to tylko jeden składnik (dla j=k) znanego szeregu (szereg Tylora dla funkcji wykładniczej o podstawie e), a więc .
Uogólnienie na wielomiany wyższych stopni
edytujWspółczynniki dwumienne można uogólnić do współczynników wielomianowych. Definiuje się je w następujący sposób:
przy czym:
Współczynnik dwumienny określa współczynniki wyrażenia: podczas gdy współczynniki wielomianowe określają współczynniki wielomianu:
w następujący sposób:
gdzie sumujemy po wszystkich naturalnych spełniających podane wcześniej reguły.
Dla uzyskujemy współczynniki dwumianowe:
Interpretacja kombinatoryczna współczynników wielomianowych to liczba sposobów rozmieszczenia rozróżnialnych elementów w rozróżnialnych pudełkach, z których każde mieści dokładnie elementów, gdzie jest indeksem pudełka.
Współczynniki wielomianowe mają wiele własności podobnych do własności współczynników dwumianowych, takich jak rekurencja:
i symetria:
gdzie jest permutacją
Uogólnienie na liczby rzeczywiste i zespolone
edytujSymbol Newtona uogólnia się na liczby rzeczywiste i zespolone, korzystając z funkcji specjalnej gamma. Uogólnienie to opiera się na tożsamości:
spełnionej dla naturalnych wartości
Możemy także przyjąć następującą (nierównoważną) definicję:
Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wówczas przez symbol będziemy rozumieli wyrażenie
lub zapisane inaczej
Następujący wzór, zwany górną negacją, przydaje się do wyznaczania wartości symbolu Newtona dla ujemnych wartości z:
Przypisy
edytuj- ↑ a b c d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .
- ↑ Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright: Matematyka dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 277. ISBN 83-01-12129-7.
- ↑ Newtona symbol, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Binomial Coefficient, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Binomial coefficients (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-09-08].