Rzut stereograficzny

Rzut stereograficzny lub odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie geometryczne, rzut środkowy sfery na płaszczyznę, w którym środkiem rzutu jest punkt sfery, zaś rzutnia jest styczna do sfery w antypodzie środka rzutu.

Panorama sferyczna wykonana przy użyciu projekcji stereograficznej

Przykład stereograficznej projekcji 3D z bieguna północnego na płaszczyźnie poniżej kuli

Podstawowe własności

Odwzorowanie stereograficzne jest wzajemnie jednoznaczne ze sfery z wyłączonym jednym punktem (środkiem rzutu) na płaszczyznę.

Odwzorowanie to jest wiernokątne: dwie linie na sferze i ich obrazy na płaszczyźnie przecinają się pod takim samym kątem (zob. Kąt między dwiema krzywymi).

Każdy okrąg na sferze, „przechodzący”^[a] przez środek rzutu, odwzorowuje się na prostą na płaszczyźnie, zaś każdy inny okrąg na sferze odwzorowuje się na okrąg na płaszczyźnie.
W przekształceniu odwrotnym każda prosta na płaszczyźnie–rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze „przechodzący” przez środek rzutu, każdy okrąg na rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze.

Z dwu powyższych własności wynika, że w odwzorowaniu stereograficznym odwrotnym rodzina prostych równoległych na płaszczyźnie odwzorowuje się na rodzinę okręgów na sferze, „stycznych” w środku rzutu.

W kartografii

Odwzorowanie stereograficzne znane było w starożytnej Grecji – jego matematyczny opis dał Hipparchos z Nikei (II wiek p.n.e.).

W kartografii jest stosowane głównie (choć nie tylko) do przedstawiania obszarów podbiegunowych. Od innych rodzajów odwzorowania azymutalnego różni się tym, że jest wiernokątne, nie zachowuje jednak odległości ani pól.

W krystalografii

Odwzorowanie stereograficzne zostało wprowadzone do krystalografii w 1839 przez W.H. Millera.

Stosuje się je w celu wiernej prezentacji kątów pomiędzy normalnymi ścian. Umożliwia ona przedstawienie trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie z wiernym zachowaniem kątów.

Każda ściana, każda prosta i punkt reprezentowane są przez rzut punktu przecięcia sfery przez normalną na płaszczyznę równikową.

Uwagi

↑ Ściśle ujmując, rzutowany okrąg nie może przechodzić przez środek rzutu, ponieważ środek rzutu jest wyłączony z rzutowania (sam ze sobą nie definiuje prostej rzutującej, bo do zdefiniowania prostej niezbędne są dwa różne punkty). W tym przypadku mamy więc rzutowanie okręgu z wyłączonym jednym punktem – stąd cudzysłów.

Linki zewnętrzne

MichałM. Kieza MichałM., Kącik przestrzenny (14): Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny, „Delta”, grudzień 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .

[1] Ściśle ujmując, rzutowany okrąg nie może przechodzić przez środek rzutu, ponieważ środek rzutu jest wyłączony z rzutowania (sam ze sobą nie definiuje prostej rzutującej, bo do zdefiniowania prostej niezbędne są dwa różne punkty). W tym przypadku mamy więc rzutowanie okręgu z wyłączonym jednym punktem – stąd cudzysłów.

[a]