Iloczyn kartezjański

×

Iloczyn kartezjański, produkt zbiorów, produkt kartezjański – dla danych zbiorów $A$ i $B$ zbiór wszystkich takich par uporządkowanych $(a,b),$ że $a$ należy do zbioru $A$ i $b$ należy do zbioru $B$. Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ oznacza się symbolem $A\times B$.

Nazwa iloczyn kartezjański odnosi się do francuskiego matematyka Kartezjusza. Nieprzypadkowe jest też skojarzenie z kartezjańskim układem współrzędnych. Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (zbiór liczb zespolonych $\mathbb {C}$) jest iloczynem kartezjańskim $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ,$ przy czym $\mathbb {R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ każdy punkt płaszczyzny można utożsamić z uporządkowaną parą współrzędnych (liczb rzeczywistych).

Iloczyn kartezjański trójelementowych zbiorów A i B

Definicje

Iloczynem kartezjańskim zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór

$A\times B=\left\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\right\}.$

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie $A\times B\times C$ to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych $(a,b,c)$ takich, że $a\in A,$ $b\in B,$ $c\in C.$ Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nich, to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze $\{1,2,3\}$ w zbiór $A\cup B\cup C.$ Przy drugim jako $A\times B\times C$ bierze się $A\times (B\times C),$ a zatem trójka to para par: $(a,(b,c)).$ Formalnie zbiór $A\times B\times C$ zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór $A\times (B\times C)$ nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia.

Podobnie $A\times B\times C\times D$ można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych $(a,b,c,d)$ takich, że $a\in A,$ $b\in B,$ $c\in C,$ $d\in D.$ Czwórki te można interpretować dwojako:

• jako funkcje z $\{1,2,3,4\}$ w zbiór $A\cup B\cup C\cup D,$
• jako pary par $\{a,\{b,\{c,d\}\}\},$ wówczas iloczyn $A\times B\times C\times D$ określa się jako $A\times (B\times (C\times D)).$

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

Przykłady

Niech dane będą zbiory $A=\{x,y\}$ oraz $B=\{1,2,3\}.$ Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ zgodnie z definicją jest równy:

$A\times B=\{(x,1),(y,1),(x,2),(y,2),(x,3),(y,3)\}.$

Zbiór $\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R}$ służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Własności

Liczba elementów

Niech $A$ i $B$ będą skończonymi zbiorami. Jeśli $\vert A\vert =n$ oraz $\vert B\vert =m,$ to $\vert A\times B\vert =nm.$

Dowód tego faktu można przeprowadzić indukcyjnie ze względu na $n.$ Jeżeli $n=1,$ to $A=\{a\},$ przy czym $a$ jest jedynym elementem zbioru $A.$ Wówczas wprost z definicji $A\times B=\{(a,b)\mid b\in B\}.$ Zbiór ten jest równoliczny z $B,$ ponieważ przekształcenie $b\mapsto (a,b)$ jest bijekcją między tymi zbiorami. Zatem w tym przypadku $\vert A\times B\vert =m=1\cdot m.$

Ponadto, jeżeli pewna liczba $n\geq 1$ ma tę własność, że $\vert A\times B\vert =nm$ dla każdego $A$ takiego, że $\vert A\vert =n$ oraz dla każdego $\vert B\vert =m,$ to tę własność ma także liczba $n+1.$ Istotnie, można przedstawić $(n+1)$-elementowy zbiór $A$ w postaci sumy rozłącznych zbiorów $A=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\cup \{a_{n+1}\}.$ Wtedy z definicji sumy zbiorów zachodzą równości

${\begin{aligned}A\times B&=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}=\\&=\{(a,b)\mid (a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\lor a\in \{a_{n+1}\})\land b\in B\}=\\&=\{(a,b)\mid (a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\land b\in B)\lor (a\in \{a_{n+1}\}\land b\in B)\}=\\&=\{(a,b)\mid a\in \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\land b\in B\}\cup \{(a,b)\mid a\in \{a_{n+1}\}\land b\in B\}=\\&=\left(\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\times B\right)\cup \left(\{a_{n+1}\}\times B\right).\end{aligned}}$

Pierwszy z tych zbiorów ma z założenia indukcyjnego $nm$ elementów. Z kolei drugi ze zbiorów ma (na mocy rozumowania przeprowadzonego dla $n=1$) $m$ elementów. Ponieważ wobec rozłączności $\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}$ oraz $\{a_{n+1}\}$ zbiory te są rozłączne i sumują się do $A\times B,$ zachodzi równość $\vert A\times B\vert =nm+m=(n+1)m.$ To kończy dowód indukcyjny.

Uogólniony produkt kartezjański

Dla rodziny zbiorów $\{A_{i}\colon i\in I\}$ można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji

$f\colon I\to \bigcup _{i\in I}A_{i},$

takich że $f(i)\in A_{i}$ dla każdego $i\in I$ nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{A_{i}\colon i\in I\}$ i oznacza takimi symbolami jak

$\prod _{i\in I}A_{i},$ ${\underset {i\in I}{\times }}A_{i}$ lub ${\underset {i\in I}{\operatorname {P} }}\;A_{i}.$

Zobacz też

• m-produkt
• produkt (teoria kategorii)
• suma prosta
• topologia produktowa
• zbiór potęgowy

Bibliografia

• Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa; Wrocław: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, s. 51–53, 73, seria: Monografie matematyczne, t. 27. [dostęp 2016-10-24].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.