Przestrzeń refleksywna

typ unormowanej przestrzeni liniowej

Przestrzeń refleksywnaprzestrzeń unormowana o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną

dane wzorem

jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Przykłady

edytuj

Własności

edytuj

Twierdzenie Jamesa

edytuj
Osobny artykuł: twierdzenie Jamesa.

Twierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha   jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na   osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej[5], tj. istnieje taki element   o normie 1, że

 

Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.

Twierdzenie Milmana-Pettisa

edytuj
Osobny artykuł: twierdzenie Milmana-Pettisa.

Twierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie Lp(μ) dla   są refleksywne).

Twierdzenie Phillipsa

edytuj

Przestrzeń   nazywa się:

  • gładką, gdy dla każdego takiego elementu   przestrzeni   że   istnieje dokładnie jeden taki element   przestrzeni   że   oraz  
  • silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie   takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w  

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej   (a więc w konsekwencji przestrzeni  ) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

  jest refleksywna jeśli:   ma własność Radona–Nikodýma jeśli:
  jest ściśle wypukła
  jest gładka (ang. smooth)   jest ściśle wypukła.
  jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła   jest gładka
  jest silnie gładka (ang. very smooth)   jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[6]
  jest jednostajnie wypukła   jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera[7]:

Jeśli   jest silnie wypukła oraz   zawiera właściwą podprzestrzeń liniową   dla której odwzorowanie kanoniczne   jest izometrią, to   jest przestrzenią refleksywną.

Przypisy

edytuj
  1. Morrison 2001 ↓, s. 75.
  2. Megginson 1998 ↓, s. 246–247.
  3. a b Morrison 2001 ↓, s. 136.
  4. a b Megginson 1998 ↓, s. 251.
  5. Megginson 1998 ↓, s. 262–263.
  6. J. Diestel, B. Faires, On vector measures, Trans. Amer. Math. Soc. 198 (1974), 253–271.
  7. I. Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 166–168.

Bibliografia

edytuj
  • John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.

Linki zewnętrzne

edytuj
  •   Reflexive space (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].