Przestrzeń refleksywna
Przestrzeń refleksywna – przestrzeń unormowana o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną
dane wzorem
jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).
Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.
Przykłady
edytuj- Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, co wynika z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału (zob. dowód).
- Dla każdego i dowolnej miary przestrzeń Lp(μ) jest refleksywna.
- Przestrzeń Tsirelsona jest refleksywna.
- Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne – historycznie pierwszym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Jamesa (przestrzeń ilorazowa jest jednowymiarowa).
Własności
edytuj- Przestrzenie refleksywne są zupełne (są przestrzeniami Banacha), twierdzenie to wynika z twierdzenia Banacha-Steinhausa[1].
- W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają własność Heinego-Borela. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta[2][3] (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine’a).
- Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Ponadto, przestrzeń jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej ośrodkowa domknięta podprzestrzeń jest refleksywna[3][4].
- Przestrzeń Banacha jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest refleksywna. Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
- Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
- Używając twierdzenia Eberleina-Szmuljana, można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny.
- Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie – przykładem jest przestrzeń ℓ1[4].
Twierdzenie Jamesa
edytujTwierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej[5], tj. istnieje taki element o normie 1, że
Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
Twierdzenie Milmana-Pettisa
edytujTwierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie Lp(μ) dla są refleksywne).
Twierdzenie Phillipsa
edytujPrzestrzeń nazywa się:
- gładką, gdy dla każdego takiego elementu przestrzeni że istnieje dokładnie jeden taki element przestrzeni że oraz
- silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w
Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej (a więc w konsekwencji przestrzeni ) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:
jest refleksywna jeśli: ma własność Radona–Nikodýma jeśli: jest ściśle wypukła jest gładka (ang. smooth) jest ściśle wypukła. jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła jest gładka jest silnie gładka (ang. very smooth) jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[6] jest jednostajnie wypukła jest silnie gładka
Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera[7]:
- Jeśli jest silnie wypukła oraz zawiera właściwą podprzestrzeń liniową dla której odwzorowanie kanoniczne jest izometrią, to jest przestrzenią refleksywną.
Przypisy
edytuj- ↑ Morrison 2001 ↓, s. 75.
- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 246–247.
- ↑ a b Morrison 2001 ↓, s. 136.
- ↑ a b Megginson 1998 ↓, s. 251.
- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 262–263.
- ↑ J. Diestel, B. Faires, On vector measures, Trans. Amer. Math. Soc. 198 (1974), 253–271.
- ↑ I. Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 166–168.
Bibliografia
edytuj- John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
- Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
- Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
- Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
- Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.
Linki zewnętrzne
edytuj- Reflexive space (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].