Przestrzeń pseudometryczna

Przestrzeń pseudometryczna – zbiór z wprowadzonym rozszerzeniem pojęcia metryki, od której odróżnia ją to, że pseudometryka dla punktów nieidentycznych (różnych) może przyjmować wartości dodatnie, ale też zerowe lub nawet ujemne, gdy zaś metryka jest zawsze dodatnia dla takich punktów.

Pseudometryką jest interwał czasoprzestrzenny określający odległości pomiędzy punktami czasoprzestrzeni; interwał dla punktów nieidentycznych może być dodatni, ujemny lub zerowy. Wprowadzają go szczególna i ogólna teoria względności Einsteina, będące de facto najbardziej dokładnym opisem metrycznych właściwości naszego świata fizycznego.

Przestrzenie pseudometryczne znajdują też zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową $d\colon X\times X\to \mathbb {R} ,$ zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego $x,y,z\in X$ warunki:

1. zerowa odległość

   $d(x,x)=0$

2. symetria

   $d(a,b)=d(b,a)$

3. nierówność trójkąta

   $d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(c,b)$

Para uporządkowana $(X,d)$ nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.

Uwagi:

(1) Z definicji wynika, że odległość $d(x,y)$ dla różnych punktów przestrzeni $x\neq y$ może być liczbą nie tylko dodatnią (jak to jest w przypadku metryki), ale też może być liczbą ujemną lub zerową.

(2) Definicja metryki różni się pierwszym aksjomatem, pozostałe dwa są identyczne: zamiast warunku $d(x,x)=0$ przyjmuje aksjomat identyczności nierozróżnialnych $d(a,b)=0\iff a=b,$ z czego wynika nieujemność odległości punktów przestrzeni.

Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej

W przestrzeni $X_{x_{0}}^{\mathbb {R} }$ funkcji $f,g\colon X\to \mathbb {R}$ z wyróżnionym punktem $x_{0}\in X$ można zdefiniować pseudometrykę wzorem:

$d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|.$

Np. niech $X=\mathbb {R} ,x_{0}=0$

oraz

$f\colon f(x)=\sin(x),$ $g\colon g(x)=x,$

wtedy

$f(0)=\sin(0)=0,$ $g(0)=0$

oraz

$d(f,g)=0$

– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje $\sin x$ oraz $x$ są różne.

Interwał jako pseudometryka. Przestrzenie pseudoriemannowskie

Pseudometrykę wprowadza szczególna i ogólna teoria względności Einsteina poprzez definicję interwału czasoprzestrzennego, który może przyjmować wartości zarówno dodatnie, zerowe, jak i ujemne. Np. interwał dla światła jest zawsze równy zeru, mimo że punkty przez które przechodzi światło są dowolnie odległe w przestrzeni. Dla zdarzeń nie powiązanych związkami przyczynowymi interwał zaś jest mniejszy od zera. To odróżnia pseudometrykę czasoprzestrzeni od metryki, która określa odległości np. w przestrzeni euklidesowej: odległość dla różnych punktów jest zawsze dodatnia.

Konieczność wprowadzenia interwału czasoprzestrzennego do opisu czasoprzestrzeni wynika stąd, że to interwał jest wielkością niezmienniczą grupy izometrii w czasoprzestrzeni (do których należą obroty i translacje przestrzenne oraz transformacje Lorentza – te ostatnie wymusza postulat o stałości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia). Zaś odległość punktów w przestrzeni nie ma tej własności, ale zależy od układu odniesienia (por. np. skrócenie Lorentza). Podobnie odległość w czasie zdarzeń nie jest wielkością niezależną od układu odniesienia (por. dylatacja czasu).

Ze względu na fakt, że niezmiennikiem geometrycznym izometrii w czasoprzestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny, czasoprzestrzeń jest w ogólności 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską (w szczególnym przypadku, przy pominięciu odziaływań grawitacyjnych – przestrzenią pseudoeuklidesową).

Własności

W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.

Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte

$B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(p,x)<r\},$

które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.

Zobacz też

• przestrzeń metryczna
• przestrzeń pseudounormowana
• przestrzeń unormowana

Przestrzeń z pseudometryką

• rozmaitość pseudoriemannowska

Linki zewnętrzne

• Pseudo-metric (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].