Para dwoista albo dualna – w algebrze liniowej para modułów nad ustalonym pierścieniem z formą dwuliniową określoną na ich iloczynie kartezjańskim i nazywaną dalej „parowaniem” oznaczanym symbolem „parowaniem” nazywa się również samą konstrukcję pary dwoistej (oraz wynik tej operacji). Para dualna nazywana jest doskonałą, jeżeli jej parowanie jest niezdegenerowane[a] (jeśli powstała para dwoista jest doskonała, to parowanie również nazywa się wtedy doskonałym). Doskonałe pary dualne umożliwiają utożsamienie jednego modułu z modułem dualnym do drugiego, a więc rozpoznanie danego modułu jako dualnego do innego nawet wtedy, gdy nie został on pierwotnie zdefiniowany w ten sposób.

Przestrzeń euklidesową utożsamia się zwykle z jej przestrzenią dualną za pomocą standardowego iloczynu skalarnego; ponieważ jest on dodatnio określoną, a więc niezdegenerowaną formą dwuliniową to parowanie to jest doskonałe. Utożsamienie to przyczyniło się prawdopodobnie do pewnego zastoju rozwoju algebry liniowej, gdyż dostrzeżenie, że przestrzeń dualna może być sama w sobie przedmiotem badań, wymaga pewnej wnikliwości w przypadku przestrzeni euklidesowych, gdzie nie różni się ona niczym od przestrzeni wyjściowej[b]. To, że przestrzeń sprzężona jest obiektem samodzielnym względem oryginalnej przestrzeni zauważono po raz pierwszy w kontekście analizy funkcjonalnej, gdzie bada się zwykle pary doskonałe przestrzeni liniowych nad wspólnym ciałem. Umożliwiają one mianowicie rozpoznanie struktury ważniejszych z punktu widzenia tej dziedziny przestrzeni sprzężonych topologicznie (przestrzeni ciągłych funkcjonałów liniowych nazywanych dalej „przestrzeniami sprzężonymi”), a nie zwykle dużo większych od nich przestrzeni sprzężonych algebraicznie (przestrzeni wszystkich funkcjonałów liniowych nazywanych dalej „przestrzeniami dualnymi”)[c] – przykładowo przestrzenie sprzężone do przestrzeni funkcji ciągłych są przestrzeniami miar, a więc funkcji nieciągłych.

Przykłady

edytuj
  • W dowolnym module   nad pierścieniem   (standardowy) iloczyn skalarny definiuje się podobnie jak w przypadku przestrzeni euklidesowych, tzn. wzorem   gdzie   jest elementem tego modułu[d]; w szczególności dla   parowanie realizowane jest przez zwykłe mnożenie.
  • W przestrzeni macierzy kwadratowych   stopnia   nad pierścieniem   istnieją dwa „naturalne” parowania:   oraz  [e]; macierze te można interpretować jako reprezentacje endomorfizmów przestrzeni liniowej (definicję tę można rozszerzyć na endomorfizmy dowolnych przestrzeni). Podobnie można zdefiniować parę dwoistą dla przestrzeni macierzy   i   (i odpowiadających im przekształceń liniowych).
  • Jeśli   a   oraz   są jest ideałami tego pierścienia, to równość   umożliwia wskazanie izomorfizmów   oraz   traktowanych jako  -moduły, przez co   i   można uważać za moduły dualne względem siebie; innymi słowy zachodzi parowanie   między tymi modułami dane wzorem  
  • Niech   gdzie   jest pierścieniem wielomianów, będzie dane wzorem   Dla dowolnego   zachodzi   choć   w   ogólniej:   dla dowolnego   o ile  
  • Parowanie   dane wzorem   jest standardowym parowaniem między modułem a modułem do niego dualnym.
  • W analizie definiuje się dla wykładników sprzężonych   i   parowanie   dane wzorem   gdzie   oznacza przestrzeń Lebesgue’a.
  • W topologii rozważa się parowanie   form różniczkowych i klas kohomologii określonych na rozmaitości   zadane jako całkowanie  
  • Istnieje naturalne parowanie   gdzie   oznacza przestrzeń  -form różniczkowych określonych na nośniku zwartym   będącym rzeczywistą rozmaitością różniczkową skończonego wymiaru   które ma postać  

Własności

edytuj

Algebra

edytuj

Jeśli   oznacza  -moduł form dwuliniowych   to moduły       są izomorficzne[f].

Niech   będzie parowaniem między  -modułami   Może być ono wykorzystane do postrzegania jednego z tych modułów jako „części” modułu dualnego do drugiego: dla każdego   wzór   definiuje funkcjonał na   podobnie dla każdego   wzór   jest funkcjonałem na   Może się zdarzyć, że   dla wszystkich   przy   (zob. czwarty przykład); wynika stąd, że różne elementy   zachowują się jak jeden element   Jeśli parowanie jest doskonałe, tzn. indukowane przekształcenia liniowe   i   są jednocześnie izomorfizmami, to taka sytuacja nie może mieć miejsca – umożliwia to utożsamienie jednego modułu z „pełnym” modułem dualnym do drugiego modułu.

Jeśli  skończenie generowanymi modułami wolnymi tej samej rangi, to sprawdzenie doskonałości parowania między nimi wymaga zbadania izomorficzności przekształcenia indukowanego   przekształcenie   będzie wówczas izomorfizmem, gdyż jest ono dualne do poprzedniego (zamiast izomorficzności wystarczy zbadać, czy homomorfizm liniowy jest epimorfizmem). W przypadku przestrzeni liniowych tego samego skończonego wymiaru wystarczy sprawdzić różnowartościowość (tj. niezdegenerowanie:   dla wszystkich   tylko gdy   lub równoważnie dla   istnieje   dla którego  ), gdyż różnowartościowe przekształcenie liniowe między przestrzeniami liniowymi równego wymiaru jest izomorfizmem.

Parowania w przykładach czwartym, piątym i szóstym nie są doskonałe; parowanie w przykładzie piątym jest doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie naturalne   jest izomorfizmem, tzn. moduł   jest refleksywny; parowanie w przykładzie szóstym jest doskonałe, jeśli wykorzystać przestrzeń sprzężoną zamiast dualnej (tzn. przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych). Powyższa uwaga dotycząca przykładu piątego wynika z ogólnej obserwacji: istnienie parowania doskonałego między   a   pociąga za sobą izomorficzność przekształcenia naturalnego   W ten sposób elementami pary doskonałej mogą być wyłącznie moduły refleksywne.

Analiza

edytuj

Niech   będą przestrzeniami liniowymi (tzn. modułami) nad wspólnym ciałem. Doskonałe parowanie między   a   wyznacza na tych przestrzeniach topologie odpowiednio   oraz   które składają się odpowiednio z otoczeń

 

oraz ich skończonych przecięć i nieskończonych sum (zob. baza otoczeń); wspomniane topologie czynią z   i   lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (sprzężone względem siebie).

W przypadku przestrzeni unormowanej   i sprzężonej do niej przestrzeni   topologie   oraz   nazywa się odpowiednio słabą oraz *-słabą. Dowolna przestrzeń Hilberta jest sprzężona względem siebie („samosprzężona”) z iloczynem skalarnym jako parowaniem (doskonałym). Każda przestrzeń lokalnie wypukła (w szczególności przestrzeń unormowana)   jest sprzężona do   ze względu na formę dwuliniową   gdzie   oraz   daną standardowo, czyli jako wartość funkcjonału   dla elementu  

  1. W przypadku skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych stosuje się często warunek   (dla wszystkich  ) lub   (dla pewnego  ); zob. forma dwuliniowa: Własności.
  2. Podobnie można utożsamiać dowolną skończeniewymiarową przestrzeń liniową z przestrzenią do niej dualną, gdyż mają one ten sam wymiar, a zatem mają one identyczną strukturę; nie istnieje jednak żaden izomorfizm kanoniczny (jak w przypadku przestrzeni współrzędnych) realizujący ten izomorfizm – zależy on od wyboru układu współrzędnych.
  3. Przestrzeń dualna i sprzężona pokrywają się w przypadku skończeniewymiarowym, gdyż wtedy dowolny funkcjonał liniowy jest ciągły (zob. operator liniowy nieciągły).
  4. Istotny jest tylko wzór: forma nie musi być dodatnio określona, lecz z pewnością jest niezdegenerowana.
  5. Ponieważ   i   a więc parowanie   jest tożsame z poprzednim.
  6. Użycie parowania   w  -moduł   daje izomorfizmy między  -modułami      

Bibliografia

edytuj